博弈论完整课件[浙江大学]GAME_Chapter3

1、大学课件1Chapter 3 Repeated Games In this chapter we analyze whether threats and promises about future behavior can influence current behavior in repeated relationships. Much of the intuition is given in the two-period case; a few ideas require an infinite horizon.区分：区分：repeated games and sequential gam

2、es大学课件2张维迎张维迎P207209Sequential game的特征的特征：参与人在前一阶段的：参与人在前一阶段的行动选择决定随后的子博弈的结构，因此，从行动选择决定随后的子博弈的结构，因此，从后一个决策结开始的子博弈不同于从前一个决后一个决策结开始的子博弈不同于从前一个决策结开始的子博弈，或者说，同样结构的子博策结开始的子博弈，或者说，同样结构的子博弈只出现一次。弈只出现一次。Repeated game，顾名思义，就是同样结构的，顾名思义，就是同样结构的博弈重复多次，其中每一次博弈称为阶段博博弈重复多次，其中每一次博弈称为阶段博弈弈Stage game（也称为原博弈）。（也称为原博弈

3、）。 Repeated Game的基本特征有的基本特征有3项：项：大学课件31、阶段博弈之间没有、阶段博弈之间没有“物质上物质上”的联系（的联系（no Physical links），也就是说，前一阶段博弈），也就是说，前一阶段博弈不改变后一阶段博弈的结构（对比之下，序惯不改变后一阶段博弈的结构（对比之下，序惯博弈涉及到物质上的联系）；博弈涉及到物质上的联系）；、所有参与人都观测到博弈过去的历史；、所有参与人都观测到博弈过去的历史；、参与人的总支付是所有阶段支付的贴现、参与人的总支付是所有阶段支付的贴现值之和或加权平均值。值之和或加权平均值。：阶段博弈本身可能是一个静态博弈，：阶段博弈本身可能

4、是一个静态博弈，也可能是一个动态博弈。因此重复博弈可能是也可能是一个动态博弈。因此重复博弈可能是不完美信息博弈，也可能是完美信息博弈，尽不完美信息博弈，也可能是完美信息博弈，尽管博弈论专家谈到重复博弈时一般是指前一种管博弈论专家谈到重复博弈时一般是指前一种情况。情况。大学课件4：分析重复博弈的意义因为其他参与人：分析重复博弈的意义因为其他参与人过去行动的历史是观测得到的，一个参与人可以过去行动的历史是观测得到的，一个参与人可以使自己在某个阶段博弈的选择依赖于其他参与人使自己在某个阶段博弈的选择依赖于其他参与人过去的行动历史，因此，参与人在重复博弈中的过去的行动历史，因此，参与人在重复博弈中的策

5、略空间远远大于和复杂于每一个阶段博弈的策策略空间远远大于和复杂于每一个阶段博弈的策略空间（试想囚徒困境博弈重复次，每个略空间（试想囚徒困境博弈重复次，每个囚徒的纯策略数量会有多少？策略组合的数量会囚徒的纯策略数量会有多少？策略组合的数量会更多）。这意味着，重复博弈可能带来一些更多）。这意味着，重复博弈可能带来一些“额额外的外的”均衡结果，这些结果在一次性博弈中是不均衡结果，这些结果在一次性博弈中是不会出现的。会出现的。影响重复博弈均衡结果的主要因素是重复影响重复博弈均衡结果的主要因素是重复博弈的次数和信息的完备性（博弈的次数和信息的完备性（completeness）.大学课件5重复次数的重要性

6、来自于参与人在短期利益和重复次数的重要性来自于参与人在短期利益和长期利益之间的权衡。当博弈只进行一次，参长期利益之间的权衡。当博弈只进行一次，参与人只关心一次性的支付；但如果博弈重复多与人只关心一次性的支付；但如果博弈重复多次，参与认可能会为了长远利益而牺牲眼前利次，参与认可能会为了长远利益而牺牲眼前利益从而选择不同的均衡策略。这是重复博弈分益从而选择不同的均衡策略。这是重复博弈分析给出的一个强有力的结果，它为现实中观测析给出的一个强有力的结果，它为现实中观测到的许多合作行为和社会规范提供了解释。到的许多合作行为和社会规范提供了解释。信息不完备的影响将在下一章讨论，这里只讨信息不完备的影响将在

7、下一章讨论，这里只讨论重复次数对均衡结果的影响，并假定信息是论重复次数对均衡结果的影响，并假定信息是完备的。完备的。大学课件6一、有限次重复博弈一、有限次重复博弈（以（以two-stage repeated games为例）为例） 考虑曾经给出的囚徒困境的标准式（回忆并考虑曾经给出的囚徒困境的标准式（回忆并画出支付矩阵）。画出支付矩阵）。 假设两个参与者要把这样一个同时行动博弈重假设两个参与者要把这样一个同时行动博弈重复两次，并且在第二次博弈开始之前可观测第一复两次，并且在第二次博弈开始之前可观测第一次的结果。再假设整个过程博弈的收益等于两阶次的结果。再假设整个过程博弈的收益等于两阶段各自收益

8、的简单相加（即不考虑贴现因素），段各自收益的简单相加（即不考虑贴现因素），我们称这一重复进行的博弈为两阶段囚徒困境。我们称这一重复进行的博弈为两阶段囚徒困境。（一）阶段博弈只有唯一（一）阶段博弈只有唯一NE大学课件7 回忆第二章第四节的回忆第二章第四节的“有同时选择的两阶段动有同时选择的两阶段动态博弈态博弈”。两阶段囚徒困境其实属于这种类型博弈。无非这两阶段囚徒困境其实属于这种类型博弈。无非这里的参与人里的参与人3、4与参与人与参与人1、2是相同的，行动空是相同的，行动空间间A3、A4 也与也与A1 、A2相同，并且总收益相同，并且总收益i(a1,a2, a3, a4)等于第一阶段结果等于第一

9、阶段结果(a1,a2）的收益与）的收益与第二阶段结果第二阶段结果 (a3, a4)的收益简单相加。的收益简单相加。在在“有同时选择的两阶段动态博弈有同时选择的两阶段动态博弈”中第二阶中第二阶段参与人段参与人3和和4的稳定行动依赖于第一阶段的可的稳定行动依赖于第一阶段的可行结果行结果(a1,a2)，表示为，表示为(a3*(a1,a2), a4*(a1,a2)，而，而不是简单的不是简单的(a3*, a4*)(关税博弈中第二阶段企业的关税博弈中第二阶段企业的均衡产量依赖于政府第一阶段所选择的关税）均衡产量依赖于政府第一阶段所选择的关税）.大学课件8而在两阶段囚徒困境中而在两阶段囚徒困境中,第二阶段的

10、第二阶段的NE可以完全可以完全不依赖于第一阶段的结果。不依赖于第一阶段的结果。分析时要注意分析时要注意3点：点：1 逆推归纳法逆推归纳法backwards-induction 2 参与人在第二阶段行动只须考虑该阶段的参与人在第二阶段行动只须考虑该阶段的利益最大化，因为无须利益最大化，因为无须“瞻前顾后瞻前顾后”。 3 分析第一阶段时，可把第二阶段的均衡结分析第一阶段时，可把第二阶段的均衡结果下的支付值叠加到第一阶段的相应支付值上。果下的支付值叠加到第一阶段的相应支付值上。大学课件9下面给出有限次重复博弈的定义下面给出有限次重复博弈的定义Definition Given a stage game

11、 G,let G(T)(T)denote the finitely repeated game in which G is played T times, with the outcomes of all preceding plays observed before the next play begins. The payoffs for G(T) are simply the sum of the payoffs from the T stage games. 该例子中阶段博弈有唯一的该例子中阶段博弈有唯一的NE，而且是一个帕，而且是一个帕累托次优的结果（累托次优的结果（-5，-5），如

12、果（），如果（-1，-1）能出现，那是一个合作的结果。讨论重复博弈就能出现，那是一个合作的结果。讨论重复博弈就是想探寻合作的结果能否内生是想探寻合作的结果能否内生(endogenesis) .大学课件10有限次有限次“囚徒困境囚徒困境”博弈的博弈的NE再一次表明了为什么再一次表明了为什么会爆发价格战。试想两博弈方不是囚徒而是两个会爆发价格战。试想两博弈方不是囚徒而是两个大公司，比如可口可乐公司和百事可乐公司、或大公司，比如可口可乐公司和百事可乐公司、或者是联合利华公司和宝洁公司，如果摆在这些公者是联合利华公司和宝洁公司，如果摆在这些公司面前的是两种拓展市场份额策略的选择：保持司面前的是两种拓展

13、市场份额策略的选择：保持原价或降低价格，原价或降低价格，“囚徒困境囚徒困境”博弈告诉我们这些博弈告诉我们这些公司会降低价格并不断重复下去。这个结论是令公司会降低价格并不断重复下去。这个结论是令人沮丧的。但实际情况并非完全如此。那么在什人沮丧的。但实际情况并非完全如此。那么在什么情况下，它们会合作呢？么情况下，它们会合作呢？罗伯特罗伯特.艾克斯劳德在著作艾克斯劳德在著作合作的演进合作的演进一书一书中描述了一个计算机的竞赛：选择中描述了一个计算机的竞赛：选择14种策略在种策略在大学课件11200次次“囚徒困境囚徒困境”的博弈中与对方争斗。计算机的博弈中与对方争斗。计算机中的竞赛结果表明，合作是可以

14、出现的，即使中的竞赛结果表明，合作是可以出现的，即使竞争双方是理性的、自私的。这个胜出的策略竞争双方是理性的、自私的。这个胜出的策略就是就是“触发策略触发策略”（“针锋相对针锋相对”策略），这一策策略），这一策略着眼于合作，从合作出发而不是相互背叛。略着眼于合作，从合作出发而不是相互背叛。几轮博弈之后，各方的策略就会明朗起来，互几轮博弈之后，各方的策略就会明朗起来，互为对方所知晓和理解。为对方所知晓和理解。合作的出现有赖于两点：一是采取合作的出现有赖于两点：一是采取“触发策略触发策略”，二是博弈重复二是博弈重复“200次次”足够多次以至于可视足够多次以至于可视为是无限次。为是无限次。大学课件1

15、2Proposition If the stage game G has a unique Nash equilibrium then, for any finite T,the repeated game G(T) has a unique subgame- perfect outcome:the Nash equilibrium of G is played in every stage. 注注 大学课件13注：在阶段博弈注：在阶段博弈G为完全且完美信息动态博弈为完全且完美信息动态博弈时类似的结论同样成立。设时类似的结论同样成立。设G属于第三章所定义属于第三章所定义的完全且完美信息动态博弈

16、，如果的完全且完美信息动态博弈，如果G有唯一的逆有唯一的逆推归纳解，则推归纳解，则G(T)有唯一的子博弈完美有唯一的子博弈完美NE：其：其中每一阶段的结果都是中每一阶段的结果都是G的逆推归纳解。类似的，的逆推归纳解。类似的，设设G为第三章所定义的有同时选择的两阶段动态为第三章所定义的有同时选择的两阶段动态博弈，如果博弈，如果G有唯一的子博弈有唯一的子博弈NE，则，则G(T)也有唯也有唯一的子博弈完美一的子博弈完美NE：G的子博弈完美的子博弈完美NE重复进重复进行行T次。次。 当然，上述结论对于阶段博弈当然，上述结论对于阶段博弈G有两个及两个有两个及两个以上以上 NE（或子博弈完美（或子博弈完美

17、NE）的）的G(T)就不成立了。就不成立了。这种这种G(T)有多条子博弈完美有多条子博弈完美NE路径。其中可能路径。其中可能包含第一阶段有合作结果的稳定路径。包含第一阶段有合作结果的稳定路径。大学课件14（二）阶段博弈存在两个以上（二）阶段博弈存在两个以上NE市场开发博弈。市场开发博弈。P111借此了解重复博弈均衡路径、及其效率比较。借此了解重复博弈均衡路径、及其效率比较。*该该G重复两次构成一个两阶段的重复博弈，那么重复两次构成一个两阶段的重复博弈，那么可形成多少条路径？可形成多少条路径？如果不考虑混合策略，如果不考虑混合策略，16条。条。其中子博弈完美其中子博弈完美NE路径有哪些？路径有哪

18、些？从前述的例子中已知，阶段博弈的从前述的例子中已知，阶段博弈的NE在每个阶在每个阶段的重复或交替构成子博弈完美段的重复或交替构成子博弈完美NE。那么不考。那么不考虑混合策略虑混合策略NE情况下，有情况下，有4条。条。大学课件15这这4条均衡路径及其支付是：条均衡路径及其支付是：行动组合行动组合支付向量支付向量Stage 1Stage 2总支付总支付平均支付平均支付（A，B）（B，A）（A，B）（B，A）（A，B）（B，A）（2，8）（1，4）（5，5） （2.5，2.5）（5，5）（2.5，2.5）（8，2）（4，1）大学课件16路径的支付采用平均支付与采用总支付相比的路径的支付采用平均支付

19、与采用总支付相比的优点：平均支付可以与阶段博弈的支付相比较。优点：平均支付可以与阶段博弈的支付相比较。0甲的平均支付甲的平均支付乙乙的的平平均均支支付付1231234（1，1）（4，1）（1，4）（3，3）（2.5,2.5）(2.67,2.67)大学课件17*该博弈如果重复三次构成一个三阶段的重复该博弈如果重复三次构成一个三阶段的重复博弈，由每阶段都重复或交替阶段博弈的纯策博弈，由每阶段都重复或交替阶段博弈的纯策略略NE，那么子博弈完美，那么子博弈完美NE路径有几条？路径有几条？8条。它们的效率如何？条。它们的效率如何？同两阶段重复博弈。同两阶段重复博弈。除此之外已找不到另外的效率更高的均衡路

20、径。除此之外已找不到另外的效率更高的均衡路径。但可找到另外一条效率更高均衡路径。考虑但可找到另外一条效率更高均衡路径。考虑如下面的策略组合：如下面的策略组合：大学课件18甲：第一阶段开发甲：第一阶段开发A市场；第二阶段视第一阶段市场；第二阶段视第一阶段 的结果而定的结果而定如果结果是（如果结果是（A，A），则选），则选 A，如果是（，如果是（A，B），则选），则选B；第三阶段无；第三阶段无 条件选条件选B。乙：第一阶段开发乙：第一阶段开发A；第二阶段开发；第二阶段开发B；第三阶；第三阶 段根据第一阶段的结果而定段根据第一阶段的结果而定如果第一阶段如果第一阶段 结果是（结果是（A，A），则选），

21、则选A，否则选，否则选B。1、策略中都包含有条件的选择。、策略中都包含有条件的选择。2、策略是一个完整的行动方案。、策略是一个完整的行动方案。问题：该策略组合对应的路径是什么？问题：该策略组合对应的路径是什么？大学课件19对应的路径：对应的路径：(A,A)(A,B)(B,A)该路径的平均支付向量：该路径的平均支付向量： （2.67 , 2.67）这条路径比其它这条路径比其它8条的效率都更高。是否均衡？条的效率都更高。是否均衡？这条路径的第三阶段行动组合（这条路径的第三阶段行动组合（B，A）和第二）和第二阶段行动组合（阶段行动组合（A，B），本身都是阶段博弈的），本身都是阶段博弈的NE，双方都不

22、会偏离。因此只要看第一阶段的，双方都不会偏离。因此只要看第一阶段的行动组合（行动组合（A，A）是否有会偏离。）是否有会偏离。验证：验证：(3+4+1)/3=2.67(4+1+1)/3=2不偏离的平均支付不偏离的平均支付= 偏离的平均支付偏离的平均支付=-3#大学课件20这就证明了该策略组合是子博弈完美的。从这这就证明了该策略组合是子博弈完美的。从这条均衡路径中看到：将来利益对当前的选择有条均衡路径中看到：将来利益对当前的选择有约束。约束。这种策略有这种策略有2个特点：个特点：1、第一阶段选、第一阶段选A，试探合作。，试探合作。机会主义机会主义2、后续阶段中包含着奖励和惩罚机制：选、后续阶段中包

23、含着奖励和惩罚机制：选A可可以奖励对方，选以奖励对方，选B可以惩罚对方。因为（可以惩罚对方。因为（A，B）和（和（B，A）都是阶段博弈的）都是阶段博弈的NE，所以奖励和惩，所以奖励和惩罚都是可信的。罚都是可信的。大学课件21一方的机会主义行为将触发其他参与人策略中一方的机会主义行为将触发其他参与人策略中的惩罚机制发生。的惩罚机制发生。触发策略触发策略(Trigger strategies):我们把这种包含我们把这种包含着奖励和惩罚机制的策略称为触发策略。正是着奖励和惩罚机制的策略称为触发策略。正是由于害怕由于害怕“触发触发”其他参与人的惩罚机制，所以其他参与人的惩罚机制，所以不敢利用机会使自己

24、在该阶段利益最大化，从不敢利用机会使自己在该阶段利益最大化，从而使该阶段的而使该阶段的“合作合作”出现。从这个意义上看，出现。从这个意义上看，触发策略是触发策略是“温柔的温柔的”。该阶段博弈如果只有两个阶段，则无法构造该阶段博弈如果只有两个阶段，则无法构造触发策略触发策略(不存在触发策略不存在触发策略)。大学课件22考虑如下抽象博弈：考虑如下抽象博弈：参与人参与人2L M R P QLMRPQ参参与与人人11 , 1 5 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 00 , 5 4 , 4 0 , 0 0 , 0 0 , 00 , 0 0 , 0 3 , 3 0 , 0 0 , 00 , 0 0

25、, 0 0 , 0 4,1/2 0 , 00 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 1/2, 4 大学课件23上面的例子因为阶段博弈的上面的例子因为阶段博弈的NE很丰富，且存在很丰富，且存在可供奖励和惩罚的可供奖励和惩罚的NE，所以双方不仅可构造触，所以双方不仅可构造触发策略，而且触发策略是子博弈完美的（或者发策略，而且触发策略是子博弈完美的（或者说触发策略所包含的奖励和惩罚是可信的）。说触发策略所包含的奖励和惩罚是可信的）。双方的策略双方的策略均为：第一阶段选择均为：第一阶段选择M；如果第一阶；如果第一阶段的行动组合是（段的行动组合是（M，X）（或（）（或（X，M），），X为除为除M之

26、外的其它可选行动），则第二阶段选之外的其它可选行动），则第二阶段选P(Q)，如果是除此之外的其它任何组合，则选，如果是除此之外的其它任何组合，则选R。第一阶段的行动组合是第一阶段的行动组合是(M,M),则第二阶段的行动组则第二阶段的行动组合将是合将是(R,R);第一阶段的行动组合是第一阶段的行动组合是(M,X)或或(X，M)，则第二阶段的行动组合将是，则第二阶段的行动组合将是(P,P)或或(Q,Q);第第一阶段的行动组合为其它，则第二阶段还是一阶段的行动组合为其它，则第二阶段还是(R,R)。大学课件24 参与人参与人2 L M R P Q参参与与人人 1 L 4 , 4 5.5 , 4 3 ,

27、 3 3 , 3 3 , 3 M 4 ,5.5 7 , 7 4 ,0.5 4,0.5 4,0.5 R 3 , 3 0.5,4 6 , 6 3 , 3 3 , 3 P 3 , 3 0.5,4 3 , 3 7, 3.5 3 , 3 Q 3 , 3 0.5,4 3 , 3 3 , 3 3.5,7大学课件25除了（除了（M，X）和（）和（X，M）（）（X=L、R、P、Q）的第二阶段是（的第二阶段是（P，P）或（）或（Q，Q），其余的第二），其余的第二阶段都是（阶段都是（R，R）。由分析可知，其中（）。由分析可知，其中（M，M）是是NE，它表示路径（，它表示路径（M，M）（R，R），），平均支付是（平均

28、支付是（3.5,3.5）.这条路径的第一阶段是合作的。这条路径的第一阶段是合作的。阶段博弈存在多个阶段博弈存在多个NE情况下，有限次重复博弈情况下，有限次重复博弈存在多条均衡路径，其中触发策略均衡（如果均存在多条均衡路径，其中触发策略均衡（如果均衡的话）的路径效率更高。衡的话）的路径效率更高。大学课件26案例：案例：美国美国Staten岛上的报纸发行市场上有两个主要岛上的报纸发行市场上有两个主要的竞争对手：的竞争对手：纽约邮报纽约邮报和和每日新闻每日新闻。1994年，年，纽约邮报纽约邮报所属公司所属公司Rubert Murdoch将邮报的价格从将邮报的价格从40美分提高到美分提高到50美分，美

29、分，这时这时每日新闻每日新闻没有跟着提价。在将没有跟着提价。在将纽约纽约邮报邮报的价格降回到的价格降回到40美分之后，对方还是没美分之后，对方还是没有作出反应，于是有作出反应，于是Rubert Murdoch公司宣布有公司宣布有意向将价格再降到意向将价格再降到25美分，但对方仍然没有做美分，但对方仍然没有做出响应。接着出响应。接着Rubert Murdoch公司果然将邮报公司果然将邮报在这个岛屿上的发行价格降到在这个岛屿上的发行价格降到25美分。此时，美分。此时，每日新闻终于明白了纽约邮报的意图，每日新闻终于明白了纽约邮报的意图，大学课件27将价格提高到将价格提高到50每分。不久，每分。不久，

30、Rubert Murdoch公司也将价格重新提高至公司也将价格重新提高至50美分。美分。纽约邮报的策略是友好的，因为它一开始纽约邮报的策略是友好的，因为它一开始就提高价格；同时也是挑衅的，在每日新闻就提高价格；同时也是挑衅的，在每日新闻没有跟着提价时，它又将价格降低；这一策略没有跟着提价时，它又将价格降低；这一策略同样具有宽恕性，当每日新闻将价格提高同样具有宽恕性，当每日新闻将价格提高到到50美分后，也重新将价格提高；这一策略也美分后，也重新将价格提高；这一策略也是明了的，纽约邮报的意图对每日新闻是明了的，纽约邮报的意图对每日新闻来说经过了两个回合就变得显而易见。由于来说经过了两个回合就变得显

31、而易见。由于“触触发策略发策略”的运用，在这场的运用，在这场“囚徒困境囚徒困境”式的价格博式的价格博弈中出现了合作双赢的局面。弈中出现了合作双赢的局面。大学课件28Murdoch公司的做法和公司的做法和“触发策略触发策略”的益处在事后的益处在事后看来更加明显。看来更加明显。Murdoch公司的成功是因为它掌公司的成功是因为它掌握了博弈论的重要原则：你要了解竞争对手，也握了博弈论的重要原则：你要了解竞争对手，也让竞争对手了解你。因此，如果公司的策略为竞让竞争对手了解你。因此，如果公司的策略为竞争对手所明白，并且应向竞争对手清楚地表明公争对手所明白，并且应向竞争对手清楚地表明公司准备合作，但对背叛

32、行为将采取以牙还牙的报司准备合作，但对背叛行为将采取以牙还牙的报复行动，那么公司最终将赢得竞争，而竞争对手复行动，那么公司最终将赢得竞争，而竞争对手通过合作也将大有收获。通过合作也将大有收获。大学课件29二、无限次重复博弈二、无限次重复博弈对无限次重复博弈来说，即使阶段博弈只有对无限次重复博弈来说，即使阶段博弈只有唯一的纯策略唯一的纯策略NE（P121 脚注），也存在一条脚注），也存在一条效率更高的子博弈完美效率更高的子博弈完美NE路径，路径上每一路径，路径上每一个阶段的行动组合都不是阶段博弈的个阶段的行动组合都不是阶段博弈的NE，而，而是合作的行动组合。是合作的行动组合。（一）无限次重复囚徒

33、困境的博弈（一）无限次重复囚徒困境的博弈画出囚徒困境的阶段博弈；设想无限次重复画出囚徒困境的阶段博弈；设想无限次重复时的所有路径、均衡路径。时的所有路径、均衡路径。路径的支付怎么计算？路径的支付怎么计算？大学课件30引入贴现因子引入贴现因子, 若某个参与人在某一路若某个参与人在某一路径的各个阶段的支付分别为：径的各个阶段的支付分别为： 1 、 2 、，则该参与人在该路径的则该参与人在该路径的“总支付总支付” 为为 无限序列无限序列1 、 2 、的现值之和，即：的现值之和，即： = 1+ 2 + 2 3 + = t-1 t t =1 ？01当当 0，行动短视化，时间，行动短视化，时间视野往往局限

34、于本期、近期；视野往往局限于本期、近期；当当 1，参与人有远见，他充分意识到他，参与人有远见，他充分意识到他现期的行动决策将通过其他参与人的反应影响到现期的行动决策将通过其他参与人的反应影响到他未来的收益，因而试图跨期协调其行动决策。他未来的收益，因而试图跨期协调其行动决策。大学课件31无限次重复博弈及其支付的定义：无限次重复博弈及其支付的定义：Definition Given a stage game G, let G(,) denote the infinitely repeated game in which G is repeated forever and the players s

35、hare the discount factor . For each t , the outcomes of the t - 1 preceding plays of the stage game are observed before the tth stage begins. Each players payoff in the G(,) is the present value of the players payoffs from the infinite sequence of stage games.大学课件32现在分析无限次重复囚徒困境博弈。我们将证明现在分析无限次重复囚徒困境

36、博弈。我们将证明尽管阶段博弈中唯一的尽管阶段博弈中唯一的NE是不合作的是不合作的(招认，招认，招认招认)，在有限次重复时，唯一的子博弈完美，在有限次重复时，唯一的子博弈完美NE还是在每个阶段都还是在每个阶段都(招认，招认招认，招认)，可是在无限次，可是在无限次重复（在可预见的将来不会结束）进行的情况下，重复（在可预见的将来不会结束）进行的情况下，只要参与人有足够的内心只要参与人有足够的内心(即即足够接近足够接近1)，每个，每个阶段的行动组合为阶段的行动组合为(沉默，沉默沉默，沉默) 将形成一条子博将形成一条子博弈完美弈完美NE的路径。的路径。考虑参与人的触发策略：在第一阶段选择不坦考虑参与人的

37、触发策略：在第一阶段选择不坦白，且在之后的任意阶段白，且在之后的任意阶段t，如果之前的（，如果之前的（t-1）阶段的结果是双方都不坦白，则继续选择不坦阶段的结果是双方都不坦白，则继续选择不坦白，否则从白，否则从t阶段开始永远选择坦白。阶段开始永远选择坦白。大学课件33注意：参与人制订了一个关于未来的无所不包注意：参与人制订了一个关于未来的无所不包的行动计划，即一次性地选择了函数形式的行动计划，即一次性地选择了函数形式si()作作为为 应对策略，而不是一期只作出依次行动选择。应对策略，而不是一期只作出依次行动选择。大学课件34序列序列5，1，1，的贴现值之和：的贴现值之和：5 + 1 + 21

38、+ 31 + = 5 + / (1 )沉默的现值沉默的现值4 / (1 - )招认的现值招认的现值5 + / (1 ) 1/4这说明，当且仅当这说明，当且仅当 1/4，给定对方的触发策，给定对方的触发策略并且对方没有首先选择招认，自己也不会首略并且对方没有首先选择招认，自己也不会首先招认。先招认。大学课件35（二）民间定理（二）民间定理(无名氏定理无名氏定理)P125 “民间定理民间定理”第一段。第一段。先明确两个关于支付的概念。先明确两个关于支付的概念。平均支付平均支付average payoff：在无限次重复博弈中，：在无限次重复博弈中，平均支付指为了得到相等的支付现值之和而在每平均支付指

39、为了得到相等的支付现值之和而在每一阶段都应得到的等额支付值。计算：一阶段都应得到的等额支付值。计算：令贴现因子为令贴现因子为，那么无限支付序列，那么无限支付序列1 、 2 、的现值之和的现值之和V为：为：V= t-1 t t =1大学课件36无限支付序列无限支付序列、 、的现值之和的现值之和V为：为：V= + + 2 + = / (1- )如果下式成立：如果下式成立： t-1 tt =1= / (1- )即：即： = (1- ) t-1 tt =1大学课件37那么，那么， 就是无限支付序列就是无限支付序列1 、 2 、的的平均支付，它是各阶段支付现值之和的平均支付，它是各阶段支付现值之和的 (

40、1- )倍。倍。 可行支付向量可行支付向量feasible payoffs:支付数组支付数组x=(x1，x2 、xn)称为可行支付向量，如果它是阶段称为可行支付向量，如果它是阶段博弈博弈G的纯策略支付的凸组合的纯策略支付的凸组合(concave combination)(即即xi是阶段博弈中参与人是阶段博弈中参与人i的纯策的纯策略支付的加权平均值，权数非负且和为略支付的加权平均值，权数非负且和为1)。可行支付向量。以可行支付向量。以“囚徒困境囚徒困境”为例为例一个可行支付向量对应重复博弈的一条路径。一个可行支付向量对应重复博弈的一条路径。大学课件380囚徒囚徒1的支付值的支付值囚囚徒徒2的的支

41、支付付值值1234512345(1,1)(4,4)(5,0)(0,5)阴影面积中的任意一个坐标阴影面积中的任意一个坐标点都是一个可行支付向量。点都是一个可行支付向量。哪些对应着均衡路径？哪些对应着均衡路径？大学课件39Folk Theorem(Friedman 1971) Let G be a finite ,static game of complete information.Let(e1,e2, ,en)denote the payoffs from a Nash equilibrium of G, and let (x1，x2 、xn) denote any other feasible payoffs from G. If xi ei for every player i and if is sufficiently close to 1, then there exists a subgame-perfect Nash equilibrium of the infinitely repeated game G(, ) that achiev