统计学 第二章 列联分析

1、2022-5-2412022-5-242统计分析中，我们常常会遇到一些定性的数据性别（男、女）态度（喜欢、不喜欢）性别对态度是否有影响1.可使用列联表分析技术2.可运用对数线性模型与 Logistic模型分析技术2022-5-2432 一、分类数据一、分类数据二、列联表的构造二、列联表的构造三、列联表的分布三、列联表的分布2022-5-244l分类变量的结果表现为类别分类变量的结果表现为类别l例如：性别例如：性别 ( (男男, , 女女) )l各类别用符号或数字代码来测度各类别用符号或数字代码来测度l使用分类或顺序尺度使用分类或顺序尺度l你吸烟吗你吸烟吗? ? ?1.1.是；是；2.2.否否l

2、你赞成还是反对这一改革方案你赞成还是反对这一改革方案? ?1.1.赞成；赞成；2.2.反对反对l对分类数据的描述和分析通常使用列联表对分类数据的描述和分析通常使用列联表l可使用可使用 检验检验l数值型数据也可以转化为分类数据数值型数据也可以转化为分类数据2022-5-242022-5-245 5由两个以上的变量交叉分类的频数分布表由两个以上的变量交叉分类的频数分布表行变量的类别用行变量的类别用 r r 表示，表示， r ri i 表示第表示第 i i 个个类别类别列变量的类别用列变量的类别用 c c 表示，表示， c cj j 表示第表示第 j j 个个类别类别每种组合的观察频数用每种组合的观

3、察频数用 f fijij 表示表示表中列出了行变量和列变量的所有可能的组表中列出了行变量和列变量的所有可能的组合，所以称为列联表合，所以称为列联表一个一个 r r 行行 c c 列的列联表称为列的列联表称为 r r c c 列联列联表表2022-5-242022-5-246 62022-5-247列列( cj )合计合计j =1j =1i =1f11f12f11+ f12i =2f21f22f21+ f22合计合计f11+ f21f12+ f22n2022-5-242022-5-248 8列列(cj)合计合计j =1j = 2i =1f11f12r1i = 2f21f22r2:合计合计c1c2

4、n列列( (c cj j) )行行( (r ri i) )f fijij 表示第表示第 i i 行第行第 j j 列的观察频数列的观察频数2022-5-242022-5-249 9例题分析例题分析一分公司二分公司三分公司四分公司合计合计赞成该方案赞成该方案6868757557577979279279反对该方案反对该方案3232757533333131141141合计合计1001001201209090110110420420【例例】一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该集团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到各分公司集团公司欲进行一项改革，此

5、项改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取的利益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取420420个个样本单位样本单位( (人人) )，了解职工对此项改革的看法，调查结果如，了解职工对此项改革的看法，调查结果如下表下表边缘分布边缘分布行边缘分布行边缘分布行观察值的合计数的分布行观察值的合计数的分布例如，赞成改革方案的共有例如，赞成改革方案的共有279人，反对改革方案的人，反对改革方案的141人人列边缘分布列边缘分布列观察值的合计数的分布列观察值的合计数的分布例如，四个分公司接受调查的人数分别为例如，四个分公司接受调查的人数分别为100人，人，120人，人，90人，

6、人，110人人条件分布与条件频数条件分布与条件频数变量变量 X 条件下变量条件下变量Y 的分布，或在变量的分布，或在变量Y 条件下变条件下变量量 X 的分布的分布每个具体的观察值称为条件频数每个具体的观察值称为条件频数2022-5-242022-5-241010二、列联表的分布二、列联表的分布-观察值的分布观察值的分布2022-5-242022-5-241111观察值的分布观察值的分布( (图示图示) )一分公司一分公司二分公司二分公司三分公司三分公司四分公司四分公司合计合计赞成该方案赞成该方案6868757557577979279279反对该方案反对该方案323245453333313114

7、1141合计合计1001001201209090110110420420行边缘分布行边缘分布列边缘分布列边缘分布条件频数条件频数条件频数反映了数据的分布，但不适合对比条件频数反映了数据的分布，但不适合对比为在相同的基数上进行比较，可以计算相应为在相同的基数上进行比较，可以计算相应的百分比，称为的百分比，称为百分比分布百分比分布l行百分比：行的每一个观察频数除以相应的行行百分比：行的每一个观察频数除以相应的行合计数合计数( (f fijij / / r ri i) )l列百分比：列的每一个观察频数除以相应的列列百分比：列的每一个观察频数除以相应的列合计数合计数( ( f fijij / / c

8、cj j ) )l总百分比：每一个观察值除以观察值的总个数总百分比：每一个观察值除以观察值的总个数( ( f fijij / / n n ) )2022-5-242022-5-241212百分比分布百分比分布( (概念要点概念要点) )2022-5-2413百分比分布百分比分布( (图示图示) )一分公司一分公司二分公司二分公司三分公司三分公司四分公司四分公司合计合计赞成该方案赞成该方案24.4%24.4%26.9%26.9%20.4%20.4%28.3%28.3%66.4%66.4%68.0%68.0%62.5%62.5%63.3563.3571.8%71.8%16.2%16.2%17.8%

9、17.8%13.6%13.6%18.8%18.8%反对该方案反对该方案22.7%22.7%31.9%31.9%23.4%23.4%22.0%22.0%33.6%33.6%32.0%32.0%37.5%37.5%36.7%36.7%28.2%28.2%7.6%7.6%10.7%10.7%7.9%7.9%7.4%7.4%合计合计23.8%23.8%28.6%28.6%21.4%21.4%26.2%26.2%100%100%总百分比总百分比列百分比列百分比行百分比行百分比假定行变量和列变量是独立的假定行变量和列变量是独立的一个实际频数一个实际频数 fij 的期望频数的期望频数 eij ，是总频，是总

10、频数的个数数的个数 n 乘以该实际频数乘以该实际频数 fij 落入第落入第 i 行行 和第和第j列的概率，即列的概率，即2022-5-242022-5-241414期望频数的分布期望频数的分布jijiijcrcrennnn2022-5-242022-5-241515期望频数的分布期望频数的分布( (例题分析例题分析) )由于观察频数的总数为由于观察频数的总数为n ，所以，所以f11 的期望频数的期望频数 e11 应应为为例如，第例如，第1行和第行和第1列的实际频数为列的实际频数为 f11 ,它落在第它落在第1行的行的概率估计值为该行的频数之和概率估计值为该行的频数之和r1除以总频数的个数除以总

11、频数的个数 n ，即：即：r1/n；它落在第；它落在第1列的概率的估计值为该列的频数列的概率的估计值为该列的频数之和之和c1除以总频数的个数除以总频数的个数 n ，即：，即：c1/n 。根据概率的。根据概率的乘法公式，该频数落在第乘法公式，该频数落在第1行和第行和第1列的概率应为列的概率应为11rcnn111 111279 10066.4366420rcrcennnn 2022-5-242022-5-241616期望频数的分布期望频数的分布( (例题分析例题分析) )一分公司一分公司二分公司二分公司三分公司三分公司四分公司四分公司赞成该赞成该方方 案案实际频数实际频数6868757557577

12、979期望频数期望频数6666808060607373反对该反对该方方 案案实际频数实际频数3232757533333131期望频数期望频数3434404030303737第二节第二节 检验检验 一、一、 统计量统计量 二、拟合优度检验二、拟合优度检验2022-5-242022-5-241717用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性用于测定两个分类变量之间的相关程度用于测定两个分类变量之间的相关程度 计算公式为计算公式为 其自由度为其自由度为 式中式中 -列联表中第列联表中第i行第行第j列类别的实际频数列类别的实际频数 -列联表中第列联表中第i行第行第j列

13、类别的期望频数列类别的期望频数2022-5-242022-5-241818一、一、 统计量统计量2211()=rcijijijijfee(1)(1)rcijfije2022-5-242022-5-241919 统计量统计量(例题分析例题分析)实际频数实际频数(fij)期望频数期望频数(eij)fij - eij(fij - eij)2(fij- eij)2eij687557793245333166806073344030372-5-36-253-64259364259360.06060.31250.15000.49320.11760.62500.30000.9730合计：合计：3.031922

14、()3.0319f ee2022-5-2420二、拟合优度二、拟合优度检验检验( (品质数据的假设检验品质数据的假设检验) )品质数据品质数据比例检验比例检验独立性检验独立性检验Z Z 检验检验一个总体 检验检验Z Z 检验检验 检验检验两个以上总体两个总体检验多个比例是否相等检验多个比例是否相等检验的步骤检验的步骤提出假设提出假设lH0： 1 = 2 = = j；H1： 1 , 2 , , j 不全相等不全相等 计算检验的统计量计算检验的统计量2022-5-242022-5-242121拟合优度检验拟合优度检验(goodness of fit test)进行决策进行决策l 根据显著性水平根据

15、显著性水平 和自由度和自由度(r-1)(c-1)查出临界值查出临界值 2l 若若 2 2，拒绝，拒绝H0；若；若 2 2，接受，接受H02211()rcijijijijfeeH0: 1= 2= 3= 4 H1: 1, 2, 3, 4 不全相等不全相等 = 0.1df = (2-1)(4-1)= 3临界值临界值(s):拟合优度检验拟合优度检验(例题分析例题分析)统计量统计量:在在 = 0.1的水平上不能拒绝的水平上不能拒绝H0可以认为四个分公司对改革方案的赞成比可以认为四个分公司对改革方案的赞成比例是一致的例是一致的 决策决策:结论结论:6.2513.0319 =0.12211()3.0319r

16、cijijijijfee02 【例例】为了提高市场占有率，为了提高市场占有率，A公公司和司和B公司同时开展了广告宣传。公司同时开展了广告宣传。在广告宣传战之前，在广告宣传战之前，A公司的市场公司的市场占有率为占有率为45%，B公司的市场占有公司的市场占有率为率为40%，其他公司的市场占有率，其他公司的市场占有率为为15%。为了了解广告战之后。为了了解广告战之后A、B和其他公司的市场占有率是否发和其他公司的市场占有率是否发生变化，随机抽取了生变化，随机抽取了200名消费者，名消费者，其中其中102人表示准备购买人表示准备购买A公司产公司产品，品，82人表示准备购买人表示准备购买B公司产品，公司产

17、品，另外另外16人表示准备购买其他公司产人表示准备购买其他公司产品。检验广告战前后各公司的市场品。检验广告战前后各公司的市场占有率是否发生了变化占有率是否发生了变化 ( 0.05)2022-5-242022-5-242323拟合优度检验拟合优度检验( (例题分析例题分析) )H H0 0: : 1 1=0.45 =0.45 2 2=0.4 =0.4 3 3= = 0.150.15 H H1 1: :原假设中至少有一个不成立原假设中至少有一个不成立 = 0.05= 0.05df = (2-1)(3-1)= 2df = (2-1)(3-1)= 2临界值临界值(s):(s):拟合优度检验拟合优度检验

18、( (例题分析例题分析) )统计量统计量: : 在在 = 0.05= 0.05的水平上拒绝的水平上拒绝H H0 0可以认为广告后各公司产品市场占有可以认为广告后各公司产品市场占有率发生显著变化率发生显著变化 决策决策: :结论结论: :8.188.185.995.99 =0.05 =0.0522211()8.18rcijijijijfee 24第第1步：将观察值输入一列，将期望值输入一列步：将观察值输入一列，将期望值输入一列第第2步：选择步：选择“函数函数”选项选项第第3步：在函数分类中选步：在函数分类中选“统计统计”，在函数名中选，在函数名中选 “CHITEST”，点击，点击“确定确定”第第

19、4步：在对话框步：在对话框“Actual_range”输入观察数据区域输入观察数据区域 在对话框在对话框“Expected_range”输入期望数据区输入期望数据区 域得到域得到P值为值为0.016711，所以拒绝原假设，所以拒绝原假设 拟合优度检验拟合优度检验(例题分析例题分析用用P值检验值检验) 25第三节第三节 列联表中的相关测量列联表中的相关测量一一、 相关系数相关系数二、列联相关系数二、列联相关系数三三、V V 相关系数相关系数2022-5-2426品质相关品质相关对品质数据对品质数据(分类和顺序数据分类和顺序数据)之间相关程之间相关程度的测度度的测度列联表变量的相关属于品质相关列联

20、表变量的相关属于品质相关列联表相关测量的统计量主要有列联表相关测量的统计量主要有 相关系数相关系数列联相关系数列联相关系数V 相关系数相关系数2022-5-242022-5-242727列联表中的相关测量列联表中的相关测量测度测度2 2列联表中数据相关程度列联表中数据相关程度对于对于2 2 列联表，列联表， 系数的值在系数的值在01之间之间 相关系数相关系数计算公式为计算公式为 式中式中n为列联表的总频数，即样本量为列联表的总频数，即样本量2022-5-242022-5-242828一、一、 相关系数相关系数(correlation coefficient)22211fercijijijeij

21、n （）式中：一个简化的一个简化的 2 2 2 2 列联表列联表2022-5-2429 相关系数相关系数( (原理分析原理分析) )因素因素Y因素因素 X合计合计x1x2y1aba + by2cdc + d合计合计a + cb + dnla、b、c、d均为条件频数均为条件频数l当变量当变量X，Y相互独立，不存在相关关系时，频数间应有下面的相互独立，不存在相关关系时，频数间应有下面的关系：关系：l化简后有：化简后有：l差值差值 的大小可以反映变量之间相关程度的高低。差的大小可以反映变量之间相关程度的高低。差值越大，说明两个变量的相关程度越高。值越大，说明两个变量的相关程度越高。 系数就是以差值系

22、数就是以差值为基础，实现对两个变量相关程度的测量。为基础，实现对两个变量相关程度的测量。2022-5-2430 相关系数相关系数( (原理分析原理分析) )abacbdadbcadbc列联表中每个单元格的期望频数分别为列联表中每个单元格的期望频数分别为2022-5-242022-5-243131 相关系数相关系数(原理分析原理分析)11211222()()()()()()()()ab acac cdeennab bdbd cdeenn将各期望频数代入将各期望频数代入 的计算公式得的计算公式得2222211122122111221222()()()()()()()()()aebecedeeeee

23、n adbcab cd ac bd将将 代入代入 相关系数的计算公式得相关系数的计算公式得2022-5-242022-5-243232 相关系数相关系数(原理分析原理分析)2()()()()adbcna b cd a c b dlad 等于等于 bc ， = 0，表明变量，表明变量X 与与 Y 之间独立之间独立l若若 b=0 ，c=0，或，或a=0 ，d=0，意味着各观察频数，意味着各观察频数全部落在对角线上，此时全部落在对角线上，此时| | =1,表明变量表明变量X 与与 Y 之之间完全相关间完全相关 列联表中变量的位置可以互换，列联表中变量的位置可以互换， 的符号没有的符号没有实际意义，故

24、取绝对值即可实际意义，故取绝对值即可用于测度大于用于测度大于2 2列联表中数据的相关程度列联表中数据的相关程度计算公式为计算公式为2022-5-242022-5-243333二、列联二、列联相关系数相关系数(coefficient ofcontingency)22CnlC 的取值范围是的取值范围是 0 C1lC = 0表明列联表中的两个变量独立表明列联表中的两个变量独立lC 的数值大小取决于列联表的行数和列数，的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大并随行数和列数的增大而增大l根据不同行和列的列联表计算的列联系数不根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较便于比较计算

25、公式为计算公式为2022-5-242022-5-243434三三、V 相关系数相关系数(V correlation coefficient)2min (1),(1)Vnrc2. V 的取值范围是的取值范围是 0 V 13. V = 0表明列联表中的两个变量独立表明列联表中的两个变量独立4. V=1表明列联表中的两个变量完全相关表明列联表中的两个变量完全相关5. 不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较6. 当列联表中有一维为当列联表中有一维为2，min(r-1),(c-1)=1,此时此时 V= 同一个列联表，同一个列联表， 、C、V 的结果会不同的结

26、果会不同不同的列联表，不同的列联表， 、C、V 的结果也不同的结果也不同在对不同列联表变量之间的相关程度进行在对不同列联表变量之间的相关程度进行比较时，不同列联表中的行与行、列与列比较时，不同列联表中的行与行、列与列的个数要相同，并且采用同一种系数的个数要相同，并且采用同一种系数2022-5-242022-5-243535四四、 、C、V 的比较的比较2022-5-242022-5-243636列联表中的相关测量列联表中的相关测量(例题分析例题分析)【例例】一种原料来自三个不同地区，原料质量被分成三个一种原料来自三个不同地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取不同等级。从这批原料

27、中随机抽取500件进行检验，结果如件进行检验，结果如下表。分别计算下表。分别计算 系数、系数、C系数和系数和V系数，并分析相关程度系数，并分析相关程度地区地区一级一级二级二级三级三级合计合计甲地区甲地区525264642424140140乙地区乙地区606059595252171171丙地区丙地区505065657474189189合计合计1621621881881501505005002022-5-242022-5-243737列联表中的相关测量列联表中的相关测量 (例题分析例题分析)解：已知解：已知n=500， 19.82，列联表为，列联表为3 3结论：三个系数均不高，表明产地和原料等级之

28、结论：三个系数均不高，表明产地和原料等级之 间的相关程度不高间的相关程度不高219.820.199500n2219.820.19519.82500Cn219.820.141min (1),(1)500 2Vnrc第四节第四节 列联分析中应注意的问题列联分析中应注意的问题一、条件百分表的方向一、条件百分表的方向二、二、 分布的期望准则分布的期望准则2022-5-242022-5-2438382对于具有因果关系的两个品质变量对于具有因果关系的两个品质变量X X与与Y Y，在列联表中的位置，在列联表中的位置有习惯的处理，即将自变量有习惯的处理，即将自变量(X)(X)置于列的位置，将因变量置于列的位置

29、，将因变量(Y)(Y)置于行的位置，这样可以更好地表现原因对结果的影响。置于行的位置，这样可以更好地表现原因对结果的影响。2022-5-2439一、条件百分表的方向一、条件百分表的方向价值取向价值取向Y职业职业X制造业制造业服务业服务业物质报酬物质报酬（%）105724556人情关系人情关系（%）40283544合计合计（%果因变量在样本内的分布不能代表其在总体内的分布，例如果因变量在样本内的分布不能代表其在总体内的分布，例如，为了满足分析的需要，抽样时扩大了因变量某项内容的如，为了满足分析的需要，抽样时扩大了因变量某项内容的样本量，这时若仍以自变量的方向计算百分表就

30、会歪曲事实。样本量，这时若仍以自变量的方向计算百分表就会歪曲事实。例如，社会学家欲研究家庭状况（自变量）对青少年犯罪例如，社会学家欲研究家庭状况（自变量）对青少年犯罪（因变量）的影响。该地区有未犯罪记录的青少年（因变量）的影响。该地区有未犯罪记录的青少年1000010000名，名，犯罪记录的青少年犯罪记录的青少年150150名。如果从未犯罪青少年中抽取名。如果从未犯罪青少年中抽取1%1%，即即100100名进行研究，按相同比例从犯罪青少年中抽取的样本名进行研究，按相同比例从犯罪青少年中抽取的样本量仅为量仅为1.51.5人。显然，这样少的样本量无法满足研究的需要。人。显然，这样少的样本量无法满足

31、研究的需要。故要扩大犯罪青少年的样本量，如扩大到故要扩大犯罪青少年的样本量，如扩大到50%50%。调查结果：。调查结果：2022-5-2440条件百分表的方向（特殊情况）条件百分表的方向（特殊情况）青少年行为青少年行为家庭状况家庭状况合计合计完整家庭完整家庭离异家庭离异家庭犯罪犯罪383775未犯罪未犯罪928100合计合计130451752022-5-2441条件百分表的方向（例题数据）条件百分表的方向（例题数据）观察数据观察数据青少年行为青少年行为家庭状况家庭状况完整家庭完整家庭离异家庭离异家庭犯罪（犯罪（%）2982未犯罪（未犯罪（%）7118合计（人）合计（人）13045条件百分表条件百分表从条件百分表可知，完整家庭犯罪青少年所占比重为从条件百分表可知，完整家庭犯罪青少年所占比重为29%29%，离异家庭犯罪青少年所占比重为离异家庭犯罪青少年所占比重为82%82%，两者过高的比重令人，两者过高的比重令人怀疑。其原因是扩大了犯罪青少年的抽取数量。如果此时按怀疑。其原因是扩大了犯罪青少年的抽取数量。如果此时按因变量方向编制条件百分表，则得如下结果：因变量方向编制条件百分表，则得如下结果