方程组应用专题

1、二元一次方程组应用专题训练二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数二、利润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？练习：1、打折前，买60件商品和30件商品用了1080元，买50件商品和10件商品用了840元，打折后，买50件商品和50件商品用了960元，比不打折少花多少钱？2、 有

2、甲、乙两种债券，年利率分别是10与12，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？3、 东风农场的两块试验田，去年共产花生470kg改用良种后，今年共产花生523kg，已知第一块田的产量比去年增产16，第二块田的产量比去年增产10，这两块田改良种前每块田产量分别为多少千克？今年每块田各增产多少千克？4、某个体户向银行申请了甲、乙两种贷款，共计136万元，每一年需付利息1684万元，甲种贷款的年利率是，乙种贷款的年利率是，问这两种贷款的数额各是多少？5、李明以两种形式分别储蓄了2000元各1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92，已知两种储蓄年利率的和为3.24

3、%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应交利息所得税=利息金额×20%）。6、 已知甲、乙两种商品的原单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%，求甲、乙两种商品的原单价各是多少元？7、“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款386元，这两种商品原售价之和为500元，问这两种商品的原销售价分别为多少元？8、某市场购进甲、乙两种商品共件，甲种商品进价每件元，利润率是，乙种商品进价每件元

4、，利润率是，共获利元，问甲、乙两种商品各购进了多少件？9、某商场按定价销售某种电器时，每台可获利48元 ，按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等。求该电器每台的进价、定价各是多少元？10、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50的利润定价，乙服装按40的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？11、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？三、配套问题例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺

5、栓30个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？1、用白铁皮做罐头盒。每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？四、行程问题例4甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？练习：1、 甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙

6、跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？2、已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度。3、一辆汽车从A地出发,向东行驶,途中要过一座桥,使用相同的时间,如果车速是每小时60千米,就能越过桥2千米;如果车速是每小时50千米,就差3千米才能到桥,则A地与桥相距 _千米,用了 小时.(考虑问题时,桥视为一点)4、一条船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米。那么这条轮船在静水中每小时行 千米？5、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与水流的速度。6

7、、两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.7、通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？8、在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C

8、两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？9、甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.10、某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.五、分配问题1、需要用多少每

9、千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？2、某旅社在黄金旅游期间为一旅游团体安排住宿，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住了4人，且空两间宿舍，求该团体有多少人和宿舍间数3、某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？ 4、一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？5、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制成盒身

10、，多少张铁皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子？六、货运问题例5、 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？2、一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司5辆甲种货车和6辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问这批货物有多少吨？七、工程问题例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度

11、在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？练习：1、 某牛奶加工厂现有100吨鲜牛奶准备加工后上市销售，该工厂的加工能力是，如果制成奶片每天可加工鲜奶10吨，如果制成酸奶每天可加工鲜奶30吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部加工完毕该厂应安排几天制奶片，几天制酸奶，才能使任务在4天内正好完成？如果制成奶片销售每吨奶可获利2 000元，制成酸奶销售每吨奶可获利1 200元，那么该厂出售这些加工后的鲜

12、牛奶共可获利多少元？八、浓度分配问题1、要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？ 解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。九、几何问题1、如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？ 十、年龄问题1、今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.2、一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像您这样大时，您才出生；您到我这么大时，我已经37岁了。”请问老师、学生今年多大年龄了呢？ 十一、其他1、某校初一年级一班

13、、二班共104人到博物馆参观，一班人数不足50人，二班人数超过50人，已知博物馆门票规定如下：150人购票，票价为每人13元；51100人购票为每人11元，100人以上购票为每人9元 （1）若分班购票，则共应付1240元，求两班各有多少名学生？（2）请您计算一下，若两班合起来购票，能节省多少元钱？（3）若两班人数均等，您认为是分班购票合算还是集体购票合算？ 2、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启正门和两道侧门时，2分钟可以通过560名学生，当同时开启一道

14、正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生。（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况下时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问通过的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。 3、游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？一、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的

15、数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数y10y+x10y+x=10x+y+27解方程组，得，因此，所求的两位数是14点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程一般地，与数位上的数字有关的求数问题，

16、一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之二、利润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程组，解得，因此，此商品定价为200元点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价

17、×利润率（盈利百分数）特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念三、配套问题例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1因此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓25个，螺母20个，依题意，得，解之，得故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母点评：产品配

18、套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即；（2）“三合一”问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：四、行程问题例4在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆

19、巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则，整理，得，解得，因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所

20、走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离五、货运问题典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则，整理，得，解得，因此，甲、乙两重货物应各装150吨点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或两

21、边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等六、工程问题例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得，解得.点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量&#

22、247;工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量二元一次方程组实际问题赏析【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.【典题精析】例1（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得解得，故中型汽车