第八章 运动轨迹

1、 8.1 引言 8.2 目标物体的描述 8.3 任务的描述 8.4 视觉8.5 程序 8.6 传送带跟踪8.7 位置之间的运动 8.8 关节运动8.9 笛卡尔运动 8.10 本章小结第八章第八章 运动轨迹运动轨迹ChapterChapter Motion TrajectoriesMotion Trajectories 本章是机器人运动控制的基础 ，它分为四个主要部分: 第一部分：利用齐次坐标变换构造任务 第二部分：基于时间坐标轨迹的运动控制描述 第三部分：关节坐标运动的描述 第四部分：笛卡儿运动控制描述8.1 引言（引言（Introduction） 任何刚性物体都能够用一个与该物体固定相联的坐

2、标系来描述，给出该物体的图形表示及其坐标系统。只要说明该坐标系统的位置和方向，就足以在任何位置和方位上复现这个物体。 如图8.1中的销钉，它的轴位于z轴上，半径为0.5，长度为6。R=0.5xzy6图8.1 销钉的描述8.2 目标物体的描述（目标物体的描述（Object Description） 利用齐次变换来描述一个任务。任务内容是抓取如图8.1所示的一些销钉，然后把它们插入一个装配部件的孔中( 见图8.2)。图8.2 任务的描述8.3 任务的描述（任务的描述（Task Description） 规定机械手末端执行器（手爪）的一系列位置Pn(见图8.3)，就能把这一任务描述为相应于这些编号位

3、置的机械手运动和动作的序列。图8.3 末端执行器的位置MOVE P1 接近销钉MOVE P2 移动到销钉的位置GRASP 抓住销钉 MOVE P3 垂直提起销钉 MOVE P4 按一定角度接近孔眼MOVE P5 接触到孔眼时停止MOVE P6 调整销钉的位置MOVE P7 插入销钉RELEASE 松开销钉MOVE P8 离开 下面通过规定机械手的结构来确定任务结构。我们用三个变换的乘积描述机械手，从而任务描述中的位置就由下式取代 MOVE pn = MOVE Z T6 E (8.1) 其中 Z ： 表示机械手相对于任务坐标系的位置； T6： 表示机械手末端相对于机械手坐标的位置； E ： 表示

4、末端执行器（手爪）相对于机械手末端坐标的位置。 按照上述描述，机械手的位置由Z来确定，任务的执行就是改变抓手的位置。现在利用下列符号来描述任务的变化: P 销钉在基坐标中的位置； H 带有两孔眼的金属块在基坐标中的位置； H HRi 金属块上第i个孔相对H坐标系的位置； P PG 抓取销钉的抓手相对于销钉的位置； P PA 抓手接近销钉； P PD 抓手提起销钉； HR PHA 销钉接近第i个孔眼； HR PCH 销钉接触孔眼； HR PAL 销钉开始插入； HR PN 插入后的销钉。 现在，任务可由一系列变换式来描述，由此解出机械手的控制输入T6 ，这些变换式如下: P1: Z T6 E =

5、 P PA 接近销钉 P2: Z T6 E = P PG 到达抓取销钉的位置 GRASP 抓取销钉 P3: Z T6 E = P PD PG 提起销钉 P4: Z T6 E = H HRi PHA PG 接近第i个孔眼 P5: Z T6 E = H HRi PCH PG 接触第i个孔眼 P6: Z T6 E = H HRi PAL PG 插入销钉 P7: Z T6 E = H HRi PN PG 插入完成 RELEASE 松开手爪 P8: ZT6E = H HRi PN PA 回到起始位置手爪相对于销钉的位置 P手爪相对于第i个孔眼的位置 HRi 任 务 位 置变换图如图 8.4所示。 尽管这

6、样表示可能显得复杂, 但是说明了任务的基本结构。而且每一个变换表示了一个独立的情况。 图8.4 任务位置变换图 相应的P , H和Z坐标系如图8.5所示。 由图8.5可知，Z为机械手坐标系，它定位在肩关节上, 因此工作坐标系（基坐标系）位于机械手坐标的位置为 T6 pz = -50 由于机械手不能到达它自己的基座，所以我们把它放在基坐标系原点的后面，这样T6 px= 30 。使T6py = 0 ,并且保持两个坐标系的平行。图8.5 任务坐标系P, H 和 Z 100050100001030001Z由图8.5可知:(8.2)下面通过相对于机械手末端的变换来定义末端执行器, 我们沿着这样的表示习惯

7、: 末端执行器的z轴指向执行任务的方向，而y轴表示手爪的开合方向，于是如图8.6所示的抓手就可描述为图8.6 手爪变换100010100001000016ET(8.3) 我们已经在图8.1中描述了销钉，现在再看一下带有两个孔眼的金属块H。 H的正视图如图8.7所示，借助于变换矩阵HRi（i1、2，是孔眼的序号）来描述它的特征。100015010010010001HR1 = HR2 = 10005010010010001(8.4)(8.5)图8.7 带有两个孔眼的金属块 HR1HR2yxxxzy10510H注意：式（8.4）和式（8.5）是分别沿H坐标的x轴旋转90再平移后得到。 最重要的变换是

8、销钉插入一个孔眼(见图8.8)。销钉的z轴必须与孔眼的轴一致。由于销钉具有圆柱的对称性，x、y轴的方向就可任意了。 最后一个变换必须按照手爪在销钉上的部位来确定（见图8.9）。1000410000100001PNHRxyHRxzyzPN图8.8 销钉插入孔眼 xxzzPyyPG5图8.9 手爪在销钉上的位置100057 . 007 . 0001007 . 007 . 0PGP(8.6)(8.7) 现在我们通过示教方式利用机械手来确定前面的变换关系。将末端执行器放在销钉上面，处于它的抓取位置（图8.3中的P2），可得到下列变换式。 Z T6E = P PG （P2） (8.8) 上式可确定P P

9、 = Z T6 E PG-1 (8.9) 手爪返回到靠近销钉的位置P1，于是有 Z T6 E = P PA （P1） (8.10) 从而确定了PA PA = P-1 ZT6 E (8.11)关于P的起始点可这样确定：把手爪中的销钉提起，移到起始位置P3，于是有 Z T6 E = P PD PG （P3） (8.12)由上式确定了PD PD = P-1 Z T6 E PG-1 (8.13)金属块H的位置由下式确定Z T6 E = H HR1 PN PG （P7） （8.14）解出HH = Z T6 E（HR1 PN PG）-1 （8.15）销钉开始插入，PAL（见图5.10）由下式确定 Z T6

10、 E = H HR1 PAL PG （P6） (8.16）从而 PAL =（H HR1）-1Z T6 E PG-1 （8.17）接触孔眼的销钉位置PCH以及接近触点的点PHA可确定为PCH =（HHR1）-1 Z T6 E PG-1 （P5） (8.18）PHA =（HHR1）-1 Z T6 E PG-1 （P4） （8.19）这样就定义所有的变换。PHAPCHPALXyzHR图8.10 接近接触和开始插入 问题问题：式（8.17）（8.19）三个表达式完全相同，为什么能描述三个不同的工位点？ 在求取任务执行过程中的销钉位置时，我们是把机械手放在销钉的上方，处于正确的抓取位置，然后求解变换式P

11、。在实际系统中，我们还可以通过视觉获得销钉等物体的位置。假如有一个位置固定的摄像机，它能把销钉的方位表示为相对于它自身的坐标系的一个齐次变换, 比如说PC，那么销钉相对于基坐标的位置就可表示为 P = CAM PC (8.20) 其中CAM是一个变换，表示摄像机坐标系在基坐标中的位置。 在通过机械手确定P之后，CAM的值能通过摄取一幅图象来得到PC，从而解得 CAM = P PC-1 (8.21) 摄像机的输入通过READ读取得到， READ (CAMERA, PC) P: = CAM + PC 而P是要被确定的，我们用标识符来表示程序中的变换， “ + ”号表示矩阵相乘，“”号表示与逆阵相乘

12、。8.4 视觉（视觉（Vision） 现在可以利用求解T6的变换式(见图8.4)来确定任务程序中从P1到P8的每个位置。 为了把机械手移到P1, 要求 Z T6 E = P PA (8.22) 这就意味着 T6 = Z-1 P PA E-1 (8.23) 要到达P2则需 Z T6 E = P PG (8.24) 如此等等。8.5 程序程序（Program） 在我们用变换表达式代替程序中P1P8的各个位置时，先定义两个变量COORD和TOOL, 它分别表示工作坐标系的一般表达式和抓手坐标系的一般表达式。然后, 把所有的位置表达式写成如下形式 T6 TOOL = COORD POS (8.25)

13、对于第一步运动, COORD和TOOL定义为 COORD: = -Z + P ; TOOL: = E ; 因而第一步运动就是 MOVE PATOOL : = E; 固定抓手FOR I : = 1, 2 DOBEGIN READ (CAMERA, PC) 销钉位置 P : = CAM + PC ; 建立P COORD : = -Z + P； 相对于销钉的位置 MOVE PA ; 接近 MOVE PG; 移至销钉上方 GRASP ; 抓取 TOOL : = E PC ; 抓手在销钉末端 MOVE PD ; 起始点 HT : = HRI; 孔眼的位置 COORD : = -Z+H+HT; 相对于孔眼

14、的坐标 MOVE PHA ; 接近孔眼 MOVE PCH ; 接触孔眼 MOVE PAL ; 调整销钉 MOVE PN ; 插入销钉 RELEASE ; 松开销钉 COORD : = -Z+H+HT+PN； 相对于销钉的坐标 TOOL : = E MOVE PA 脱离销钉 END8.6 传送带跟踪传送带跟踪（Conveyor tracking） 在任务执行过程中, T6 变成传送带变量的函数 T6 = Z-1 CONV(S) OBJ F G E-1 (8.29) 如果不断地对T6求值, 并转换成关节角度（解逆运动方程）, 同时机械手跟随这些角度, 那么机械手就会跟踪运动着的物体。如果传送带停止

15、运动，机械手也会停止动作。这样, 执行任务的程序就可写成TOOL : = E 固定抓手FOR I : = 1, 2 DO BEGIN READ(CAMERA,PC) ; 插入销钉位置 P : = -CONVS+CAM+P ; 建立P COORD : = -Z+CONVS+P ; 相对于销钉的坐标 MOVE PA; 接近 MOVE PC ; 在销钉上方 GRASP ; 抓取销钉 TOOL : = E PG ; 抓手在销钉末端 MOVE PD ; 起始位置HT:=HRI ; 孔眼的位置COORD : = -Z+H+HT ; 相对于孔眼的坐标MOVE PHA ; 接近孔眼MOVE PCH ; 接触孔

16、眼MOVE PAI ; 调整销钉MOVE PN : 插入RELEASE ; 松开销钉COORD : = -Z+H +HT+PN ; 相对于销钉的坐标TOOL: = E ; MOVE PA ; 离开销钉 END ; 机械手的任务位置可以表示为一般形式 T6 TOOL = COORD POS (8.30) 其中 T6 表示机械手六个关节的变换; TOOL 变换表达式，描述手爪端点，或运动受到控制的物体; COORD 变换表达式，表示工作坐标系; POS 其余的变换表达式，描述所期望的手爪端点或物体的位置； 为了到达所确定的机械手任务的任何位置, 机械手的一系列位置运动可由下列方程确定 T6 TOO

17、L1 = COORD1 POS1 T6 TOOL2 = COORD2 POS2 (8.31) T6 TOOL3 = COORD3 POS38.7 位置之间的运动位置之间的运动（Motion Between Positions） 虽然任务位置的序列确定了任务，但并没有说明机械手是如何从一个位置移动到另一个位置的。利用下一个坐标系统和抓手，另外再定义一个POS变换，就可以完成上述工作。在位置1有 1T6 TOOL1 = COORD1(s|t=0) 1POS1 （8.32） 下面利用终点位置TOOL2和COORD2再写一个变换表达式 1T6 TOOL2 = COORD2(s|t=0) 2POS1 （

18、8.33） 由这两个方程我们能解得利用COORD2和TOOL2定义的对于位置1的变换 2POS1 2POS1 = COORD2-1(s|t=0) COORD1(s|t=0) 1POS1 TOOL1-1 TOOL2 （8.34） 于是，任何两点i和i +1之间的运动就是从 T6 = COORD2(s|t=0) 2POS1 TOOL2-1 （8.35） 到 T6 = COORD2(s|t=0) 2POS2TOOL2-1 （8.36） 的运动。 注意：在这些方程中，COORDi+1是运动坐标系统变量（S）的函数。当然，要把机械手从一个位置移到下一个位置可以有许多方法。但是，每一个实际系统必须提供连续

19、的位置和连续的速度。为了防止振荡和蠕动，还要求连续的加速度。 以从位置到位置的运动时间Ti为基准，我们可以画出直线坐标、角坐标或者关节坐标，作为时间的函数。图8.11是一个典型的坐标图。 由于并不需要在每一个中间点停留。可以先对这条轨迹进行线性近似，如图8.12所示。 但是，由于速度和加速度在所有的轨迹定义点上都是不连续的。因而我们并不能实现这样一条线性轨迹。t图8.11 起动和停止运动t图8.12 分段线性近似A-BT1T2CDCttacctaccBtacctacc0图8.13路径过渡 在对轨迹路径段的时间进行估计时，我们假设在时间tacc内把机械手从静止状态加速度到最大速度。在路径段之间的

20、过渡时间为2tacc。如果把f（t）选择为一个多项式，由于过渡阶段的对称性，实际上只需要一个四次多项式： q = a4t4 + a3t3 + a2t2 + a1t + a0 (8.37) 其中q表示广义的位置：关节的直线位移或角位移。通过求导并运用约束条件，求出式（8.37）中各项系数，可以得到表示过渡期间的位置q，速度 以及加速度 的函数。BBhBhhBTtCqacc2)2)(21q q accacctBhhBTtCq12)5.1)(21 (8.38) (8.39) (8.40)accaccthhBTtCq213)1)( 约束条件其中 C = C B (8.41) B = A B (8.42

21、) (8.43)在t = tacc时刻过渡结束。已知值由下列各式给定 q =C h + B (8.44) accaccttth21/TCq(8.45)0q (8.46)1Tth (8.47) 根据确定的加速时间tacc, 我们可以得到使整个机械手能实现的坐标轨迹（见图8.14）。规划机械手的全部运动并非必要，我们只需要提前考虑一个位置。当时间t = T1 tacc时，就根据下列赋值句，以便开始向下一路径段过渡。 T1：= T2 ； A ：= X ； 当前位置 B ：= C ； C ：= D ； C：= C B ； B：= A B ； t : = -TACC ; 重新启动时刻时间图8.14平滑轨

22、迹运动 本节，我们要考察机械手的关节运动，此时，运动变量 q、 和 由式（8.38）（8.47）给定，它们表示关节坐标。在旋转关节的情况下，表示关节角度i ，而在滑动关节的情况下，则表示关节位移di 。 在一次过渡开始时（如在图8.13的A点）来描述这种类型的运动，并且假设：在t = T1 tacc时刻的当前关节坐标为J。当前路径终点C的相应坐标为JC。如果D点用一个运动坐标系统COORD（S）来表示，那么就令S=S1，对COORD（S）求值，S1为S在当前时刻tT1tacc的值。从而 JD = Solve(COORD(S1) POS TOOL-1) (8.48) 其中，Solve为求解关节坐

23、标（即解逆运动方程）的函数，它是以一个变换表达式为自变量。 q 8.8 关节运动关节运动（Joint Motion）q 于是，在向D点运动的过程中，每个关节的运动时间就由下式求得： ti = | JDi JCi | / vi (8.49) 其中，Vi为关节i的最大速度，路径段的时间取为 T2 = max ( ti , 2tacc ) (8.50) 然后, 对完整的路径段进行赋值 T1 : = T2 ; JA : = J ; 当前位置 JB : = JC ; JC : = JD ; JC : = JC JB ; JB : = JA JB ; T : = - Tacc ; 重新起动时刻 再利用式（

24、8.38）（8.48）, 把JA, JB, JB代替A, B, B, 就可求解机械手关节的定位点。 然而, 我们还没有考虑由于运动坐标系COORD(S)的影响，为此, 可再对相对于终点D的关节坐标进行求值。我们称所求的关节坐标为JC2。此时 t = T1，在这一时刻，我们把运动坐标变量S估计为S2= S|t=T1 JC2 = Solve(COORD(S2)POSTOOL-1) (8.51) 计算诸定位点J时, 如果简单地给J附加一个修正项以说明C点的运动, 那么在机械手达到C点时, 我们就会得到追踪C点的运动。 J ：= J+(JC2 JC)*(SS1)/(S2 S1) 说明C点运动的这一修正

25、变化导致了一个比较次要的问题：在过渡的开始点A，我们利用下式不连续地改变了速度accCCtSSSSJJ11210)(2 其中，S0为S | t=0 。对于B点，可将表达式修改为 JB：= JB +(JC2JC )*(S0 S1)/(S2 S1) 如果初始条件保持不变, 机械手仍然会象原先一样向B点运动。如果初始条件不能保持，那我们还是要规定速度的连续性。 因为机械手要追踪C点的运动，所以在修改B点的值以后，还必须重新计算JB和JC 。最后，在 t = T1tacc时刻接近C点时，我们处于定位点J ，对C点求值得到 JC ：= JC + (JC2 JC) * (S3-S1) / (S2-S1)

26、其中 ，最终的路径段赋值句就变为 JA：= J； 当前位置 JB：= JC + (JC2 JC) * (S3S1) / (S2 S1); JC：= Solve (COORD(S1) + PDS - TOOL )； T1：= T2 ； JC2：= Solve (COORD(S2) +PDS - TOOL)； JB：= JB (JC2 JC) * (S0S1) / (S2S1); JC: = JC JB ; JB: = JA JB ; t : = -TACC 重新起动时刻12TtSS 笛卡尔运动可以非常简单地推广到圆柱坐标、球坐标以及其他正交坐标系统。如同关节坐标运动，轨迹线段是在由齐次变换式描述

27、的位置之间定义的。 笛卡尔运动与关节坐标运动的差别在于 笛卡尔运动：运动在笛卡尔坐标中是直观的。 关节坐标运动：运动在关节坐标中是线性的。 笛卡尔运动的优点：轨迹段端点之间的运动很直观，容易定义，因而特别适合于最初和最终的轨迹线段。 笛卡尔运动的缺点：它需要对机械手的定位点进行不断的求值，把它变换成各个关节坐标的运动。 8.9 笛卡尔运动笛卡尔运动（Cartesian Motion） 现在我们来研究机械手通过一次平移和两次转动时的情况。第一次转动是使抓手对准目标的方向。第二次转动则控制抓手具有合适的抓取姿态（定向）。利用两次转动，关节运动的范围就比较简单，而且也可以预测。 从点1到点2的运动可

28、以用一个驱动变换D()来表示，这是一个与有关的运动函数 T6 = COORD2(S) 2POS1 D() TOOL2-1 (8.52) 其中= t/T，t是从运动开始起算的时间，而T是整个运动的总时间。 当开始运动时，= 0，我们要求 D(0)I ，I为单位变换，在运动终了时，= 1，我们要求 2POS2 = 2POS1 D(1) (8.53)8.9.1 位置之间的运动位置之间的运动（Motion Between Positions） 从而 D(1) = 2POS1-1 2POS2 (8.54) 如果令2POS1=P1 ，而2POS2 = P2 ，并且把P1和P2的各列表示为向量P1n，P10

29、，P1a，P1p 以及P2n，P2a，P2p就有10001111111111111zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonppppppppppppp (8.55)10002222222222222zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonppppppppppppp(8.56) 然后对P1进行符号求逆，再右乘P2，得到1000)()()() 1 (121212121121212121121212121pnaaaoanapnoaooonopnnanonnnpppppppppppppppppppppppppppD（8.57） 平移沿着连接P1和P2的直线进行并且由变换T()来表示，第一

30、次转动的作用是将抓手指向接近矢量P1a，再从P1旋转到P2位置上的接近矢量P2a，这次旋转是绕矢量k进行的。而k是通过P1和y轴围绕Z轴旋转一个角度而取得的，因此矢量P1k就由下列给出 (8.58)1010100001000000101CSSCCSkP这一旋转可表示成Ra()。而由式（2.70）给出，其中k由上式确定。 第二次旋转是把表示抓手定向矢量P10 ，从P1旋转成P2位置上的定向矢量P20 ，即为Ro()，于是，D()就表示为 D() = T() Ra() Ro() （8.59） 其中T、Ra和Ro具有下列形式： 式中x，y和z表示从P1到P2的平移分量。 1000100010001)

31、(zyxT(8.60) 10000)()()(0)()()()(0)()()()()(22CSSSCSSCVCVCSSCVCSCVSRa)(1 ()()(CosVersV)()(CosC)()(SinS(8.62)(8.63)(8.64)Ra() 表示绕P1k的角度为的旋转（见式8.58）。 (8.61)绕接近矢量的旋转Ro()只是绕Z轴的一次旋转，可由式（2.34）给定Ro()表示绕抓手的接近矢量角度为的旋转。式中1000010000)()(00)()()(CSSCRo(8.65)sin()(S(8.67)cos()(C(8.66) D()的右边三列为 令=1，我们就可按下列步骤求解x，y，

32、z，和，用Ro(1)-1Ra(1)-1同时右乘式8.59的两边，使右边一列的元素与式8.57的元素相等。我们就得到平移变换T的x，y，z的值 D(1) Ro(1)-1Ra(1)-1 = T(1) (8.69) x = p1n( p2p p1p ) (8.70) y = p1o( p2p p1p ) (8.71) z = p1a( p2p p1p ) (8.72) 1000)()()()()(?)()()()()()(?)()()()()()(?)(22zCSSCSCSySSCVCCVCSSxSCVCSCCVSSD（8.68）用Ro(1)-1右乘式（8.59）的两边，然后用T(1)左乘两边，使第

33、二、三、四列的元素与式（8.57）的元素相等。我们就可求解和 从而有anaoPPPP2121tan(8.77)T(1)-1D(1)Ro(1)-1 = Ra(1) (8.73) anSCpp21)(8.74) (8.76)aoSSpp21)(aaCpp21)(8.75)aaaoanPPPPPP2121221221)()(tan及0（8.78）100001000000) 1 (100000022CSSCDCSSSCSSCVCVCSSCVCSCVS即为(8.80)最后，先用T(1)-1，再用Ra(1)-1左乘式（8.59）的两边，得到 Ra(1)-1 T(1)-1 D(1) = Ro(1) (8.7

34、9) 再使上式两边的两个矩阵中第二行第一列、第二行第二列的元素对应相等，就可得到 )()()(2121221naaonnPPSSPPCVCPPVCSS)()()(2121221oaoooaPPSSPPCVCPPVCSCCStan（8.81）（8.82）在上小节中，我们利用驱动变换D()控制的一次平移和两次旋转来描述路径与运动 本节要描述路径段之间的过渡，描述方式与在关节坐标中路径过渡的情况（8.8节）相似。这就是说，假定机械手在T1 tacc时刻处于由JA描述的位置，向JB运动。在T1时刻达到JB，再向位置POSC运动，POSC由下列描述T6C TOOL = COORD(S) POSC (8.

35、84) 其中T6C是当机械手位于POSC时T6的值。T6 = COORD2 (S) 2POS1 D() TOOL2-1 (8.83) 8.9.2 路径段之间的过渡路径段之间的过渡（Transitions Between Paths Segments） 首先，先求出分别由JA和JB表示T6的两个值。T6A和T6B然后解出相应的位置变换POSA和POSB POSA = COORD( S|t=-tacc )-1 T6A TOOL (8.85) POSB = COORD( S| t =0 )-1 T6B TOOL (8.86) 从B点到C点的运动可用一个驱动变换DBC来描述 DBC(1) = POSB

36、-1 POSC (8.87) T6 = COORD (S) POSB DBC() TOOLC-1 (8.88) 用另一个驱动变换DBA描述从B点返回A点的运动 DBA(1) = POSB-1 POSA (8.89)根据上述两个驱动变换表达式，描述从A点经过B点到达C点的运动可这样进行：把D()的x, y, z, 和 从 xA、 yA、zA、A和AxC、yC、zC、C和C 。这样就可以把坐标画成时间的函数，如图8.15所示。 tT1taccA-taccBCCBq图8.15 笛卡尔路径过渡 现在，我们可以定义B和C，并利用式（8.38）（8.47）来描述过渡问题以及向着C点的直线运动。 驱动变换的

37、坐标由下式给定(8.91) accaccttth2 (8.93)accacctBhhBTtCx12)5 .1)(21(8.92)213)1)(accaccthhBTtCx BhBhhBTtCxacc2)2)(21(8.90) 在t = tacc时刻，过渡结束，各个定位点由下式给定AACh)(8.98)(8.94)0 x 1Tth 1TCx(8.95)(8.96)(8.97)Chx 如果对于两个驱动变换并不相同，那么就必须在过渡期间把它由A变成C，我们可以作一线性变化 【例5.1】这个例子说明机械手从点 POS1 经过 POS2 到达 POS3 的运动，其中1000101001001000011

38、POS1000101000110100013POS100010010000101002POS 如图8.16所示，在从点POS1到POS2的运动过程中，我们利用式(8.70)(8.82)来确定x、y、z、和。 x = 0 y = 0 z = 018010tan900)01 (tan9001tan图8.16 笛卡尔运动的例子 yzxyzxpos1zxypos2yzxpos3我们假定机械手正在从POS1接近POS2，而0.9，驱动变换于是就由式(8.68)确定 而机械手位置为 这样，机械手的运动就是从当前位置开始，经过POS2，到达POS3分别相应于第8.9.2节中的位置A，B，C 10000156

39、.976.155.00. 90156.988.0988.155.024.D100000.10156.976.155.00. 10156.988.0988.155.024.)9 . 0(1DPOS驱动变换DBA通过从B到A的运动来确定100010010000101001POSB100000.10156.976.155.00. 10156.988.0988.155.024.2POSA驱动参数xA、yA、zA、A、A和A可由式(8.70)(8.82)求得，其中B = POS1，A = POS2 xA = 1.00 yA = 0 zA = 0 900156.tanAA9988.156.tanAA998

40、8.179tanAA 从B点到C点的运动由驱动变换DBC描述，这时 100010010000101001POSB再一次使用(8.70)(8.82)，我们得到 xC = 0 yC = 0 zC = 01000101000010100012POSC9001tanCC9001tanCC9001tanCC,我们给 加上 ，考虑A180A90|AC 由于的符号，得到xA=1.00 yA=0 zA=0n 现在，我们能根据从A到C的过渡，求得其中任何一点的运动情况（图8.17）。90A9A9AT1T1T1T1T19090-acc10yz图8.17 笛卡尔运动变量 -acc-acc-acc-accx1例如，当

41、t = 0，T1 = 10tacc， 由式(5.94)确定为0.5，那么式(5.91)就给出各个分量的值188.0 x000.0y188.0z001000000.10010188. 0001188. 0100)(BD当t = tacc ，根据式(5.98)，= 0.1，运动变量则由式(8.94)确定为000. 0 x000.0y000. 1z991000000.10156. 0976. 0154. 000156. 09881. 0000. 1988. 0155. 0024. 0)(BD当t = T1-tacc, = 0.9 时，有 000. 0 x000. 0y000. 9z81811000000.10988. 0024