电磁场与电磁波 第9章 导行电磁波杨.pptx

1、第九章 导行电磁波4/564/56主 要 内 容 几种常用的导波系统，矩形波导中的电磁波，圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。1. TEM波、TE波及TM波2. 矩形波导中的电磁波方程式3. 矩形波导中电磁波的传播特性4. 矩形波导中的TE10波5/26/20225/26/20221 18. 谐振腔9. 同轴线5/26/20225/26/20222 2 沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波，传输导行波的系统称为导波系统。 常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、微带、金属波导等。本章仅介绍同轴线和金属波导。尤其是矩形金属波导的传播特性。这些导波系统的结构如下图示。5/26/20225/26/2

2、0223 3带状线双导线矩形波导微 带介质波导光 纤同轴线圆波导5/26/20225/26/20224 4 名 称 波 形 电磁屏蔽 使用波段 双导线 TEM波 差 3m 同轴线 TEM波 好 10cm 带状线 TEM波 差厘米波 微 带 准TEM波 差厘米波矩形波导 TE或TM波 好厘米波、毫米波 圆波导 TE或TM波 好厘米波、毫米波 光 纤 TE或TM波 差光波几种常用导波系统的主要特性5/26/20225/26/20225 55/26/20225/26/20226 61. TEM波、TE波及TM波 TEM波、TE波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的关系如下图示。 TEM波EHes

3、TE波EHesTM波EHes可以证明，能够建立静电场的导波系统必然能够传输TEM波。 根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。5/26/20225/26/20227 7导波系统传播特性的研究方法 首先设导波系统是无限长的，根据导波系统横截面的形状选取直角坐标系或者圆柱坐标系，令其沿 z 轴放置，且传播方向为正 z 方向。以直角坐标为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示为zkzyxErEj0e(）、）zkzyxHrHj0e(）、）0022222222HkzHyHxHEkzEyExE222222 00000222222222222rEkrErErEerEerErEteerEttrE

4、trEerEtrEtjtjtjtjtj,5/26/20225/26/20228 8 由前获知，上式包含了六个直角坐标分量 及 ，它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。根据导波系统的边界条件，利用分离变量法即可求解这些方程。 zyxEEE,zyxHHH, 但是由于电磁波不同于静电场，其中的电场与磁场由Maxwell方程相联系，不是完全独立，因此，并不需要求解六个坐标分量方程。根据麦克斯韦方程，可以求出 x 分量及 y 分量和 z 分量的关系为 yHxEkkEzzzxjj12cxHyEkkEzzzyjj12cxHkyEkHzzzxjj12cyHkxEkHzzzyjj12c222czkkk式中,r tr

5、 ttDH,r tr tt BEjHEj EH5/26/20225/26/20229 9 这样，只要求出 z 分量，其余分量即可根据上述关系求出。z 分量为纵向分量，因此这种方法又称为纵向场法。上述关系又称为横向场的纵向场表示。 在圆柱坐标系中，同样可以 z 分量表示 r 分量和 分量。其关系式为zzzrHrrEkkEjj12crHErkkEzzzjj12crHkErkHzzzrjj12czzzHrkrEkHjj12c5/26/20225/26/202210102. 矩形波导中的电磁波方程式 矩形波导形状如下图示，宽壁的内尺寸为 a ，窄壁的内尺寸为 b 。 azyxb , 已知金属波导中只能

6、传输 TE 波及TM 波，现在分别讨论他们在矩形波导中的传播特性。 若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。按照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，然后即可计算其余各个分量。 已知电场强度的 z 分量可以表示为 zkzzzyxEEj0e ),(5/26/20225/26/20221111它应满足齐次标量亥姆霍兹方程，即02c2222zzzEkyExE其振辐也满足同样的齐次标量亥姆霍兹方程，即002c202202zzzEkyExE为了求解上述方程，采用分离变量法。令)()()(0yYxXyxEz、代入上式，得2ckYYXX 式中X 表示 X 对 x 的二阶导数， Y 表示 Y 对 y 的二阶导数

7、。0z22z22z22z2EkzEyExE5/26/20225/26/20221212 由于上式中的第二项仅为 y 函数，而右端为常数，因此，若将此式对 x 求导，得知左端第一项应为常数。若对 y 求导，得知第二项应为常数。2ckYYXX 现分别令 2xkXX 2ykYY 这里，k x 和 k y 称为分离常数。利用边界条件即可求解这些分离常数。 222cyxkkk显然 由上可见，原来的二阶偏微分方程，经过变量分离后变为两个常微分方程，因此求解简便。两个常微分方程的通解分别为xkCxkCXxxsincos21ykCykCYyysincos43式中常数C1 ，C2 ， C3 ， C4 取决于导波

8、系统的边界条件。5/26/20225/26/20221313 已知 Ez 分量与波导四壁平行，因此在 x = 0, a 及 y = 0, b 的边界上 Ez = 0。由此决定上述常数，再根据这些结果求出分离常数为, 3 , 2 , 1 ,nbnky1,2,3,m ,amkx代入前式即可求出矩形波导中TM 波的各个分量为j0sinsinezk zzmnEExyab 2zkjyxx2c0zxzeyksinxkcoskkEkE 2zkj2c0zyzeykcosxksinkkEkEyxy 2zkjyxy2c0 xzeykcosxksinkkEH 2zkjyxx2c0yzeyksinxkcoskkEHz

9、H = 0,nm,321azyxb ,5/26/20225/26/20221414 1，电磁波的相位仅与变量 z 有关，而振幅与 x, y 有关。因此，在Z方向上为行波，在 X 及 Y 方向上形成驻波。 2，z 等于常数的平面为波面。但振辐与 x, y 有关，因此上述TM波为非均匀的平面波；j0sinsinezk zzmnEExyabzkzxzybnxamamkEkEj2c0esincosjzkzyzybnxambnkEkEj2c0ecossinjzkxzybnxambnkEHj2c0ecossinjzkyzybnxamamkEHj2c0esincosj 3，当 m 或 n 为零时，上述各个分

10、量均为零，因此 m 及 n 应为非零的整数。 m 及 n 具有明显的物理意义，m 为宽壁上的半个驻波的数目， n 为窄壁上半个驻波的数目。 4，由于m 及 n 为多值，因此场结构均具有多种模式。 m 及 n 的每一种组合构成一种模式，以TMmn表示。 例如 TM11表示 m = 1, n = 1 的场结构，具有这种场结构的波称为TM11波。 5, 数值大的 m 及 n 模式称为高次模，数值小的称为低次模。由于 m 及 n 均不为零，故矩形波导中TMmn波的最低模式是TM11波，无TM0n或 TMm0模式.azyxb ,TM 波5/26/20225/26/20221515类似地可以导出矩形波导中

11、TE波的各个分量为zkzzybnxamHHj0ecoscoszkzxzybnxamamkHkHj2c0ecossinjzkzyzybnxambnkHkHj2c0esincosjzkxzybnxambnkHEj2c0esincosjzkyzybnxamamkHEj2c0ecossinj式中 ，但两者不能同时为零。与TM波一样，TE波也具有多模特性，但此时m 及 n不能同时为零。因此，TE波的最低模式。, 2 , 1 , 0,nm或TE01波为TE10波TE10TE10TE10TE01TE01TE010zEazyxb ,5/26/20225/26/202216163. 矩形波导中电磁波的传播特性

12、22c,bnamkk模式的最低波数或传输nmnmTETM 已知 ，即 。可见，当 ， 时，这就意味着波的传播被截止，因此， 称为截止传播常数。222czkkk2c22kkkzckk 0zkck截止传播常数和截止频率 利用自由空间的传播常数fk2根据前面结果，获知截止传播常数为22cc212bnamkfcf的截止频率f fc模式可以传播求出对应于截止传播常数f2kcc5/26/20225/26/20221717那么，传播常数 kz 可以表示为 ff ,1ffjk ff ,ff1kff1kkkkc2cc2c2c2c2z当 时， 为实数，因子 代表向正 z 方向传播的波。cff zkzkzje当 时

13、， 为虚数，因子cff zk 1j2ceeffkzzkz对于一定尺寸、一定模式m、n的波导来说，这个频率是能够传输该模式的最低频率。低于该频率时，不会传输此模式。所以，波导相当于一个高通滤波器。 此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正 Z 方向不断衰减的凋落场。5/26/20225/26/20221818利用关系式 ，即可求得对应于截止传播常数 的截止波长 为2kckc22cc22bnamk截止波长 上述结果表明，无论截止频率或截止波长均与波导尺寸 a, b 及模式m, n 有关。对于一定的波导尺寸来说，每一种模式具有一定的截止频率或截止波长。高次模式具有较高的截止频率，有较短的截止波长。 例如

14、，TE10波的截止波长为 2a，TE20波的截止波长为a。左图给出了当波导尺寸 时，各种模式截止波长的分布图。ba2TM11TE01TE20TE100a2ac即传输一定模式的最大波长5/26/20225/26/20221919高通滤波器，波长长的不通，短的可以进入传输；若最低级模式TE10不存在，其它都不传输；若有高阶模式存在，比其低的模式都存在。TE10TE20 TE01TE11TM11102TEa5/26/20225/26/20222020 实现单模传输是实际中所需要的，因为固定单一模式便于向波导输送或者由波导中提取能量。因此，TE10波为矩形波导中的常用模式或称为主模。截 止 区TM11

15、TE01TE20TE100a2ac 已知当 时，相应的模式波均被截止。那么由图可见，当 时，全部模式被截止。ca2 当 时，只有TE10波存在，其它模式被截止；当 时，才有其它模式出现。aa2a 由此可见， 如果工作波长满足 即可实现单模传输，而且实现单模传输的惟一模式就是TE10波。aa25/26/20225/26/20222121 至于窄壁尺寸的下限取决于传输功率，容许的波导衰减以及重量等。将可获知，窄壁减小会使传输衰减增大。当然，窄壁小一些可以减轻波导重量且节约金属材料。 可见，当工作波长增加时，为保证单模传输，波导的尺寸必须相应地加大。若频率过低，因而工作波长过长，以致波导尺寸过大，无

16、法采用。因此，实际中金属波导适用于3000MHz以上的微波波段。 实际中，通常取 ，以便在 波段内实现TE10波单模传输。那么为了保证仅传输TE10波，矩形波导的尺寸应该满足2baaa2222baa工程上常取 左右， 或 。7 . 0aab)5 . 04 . 0(a)2 . 01 . 0(5/26/20225/26/20222222根据相速与相位常数的关系，求得矩形波导中的相速 为 pvvvffvkvz2c2cp11式中 。当波导中为真空时， 。已知工作频率 ，工作波长 ，由上式可见，真空波导中电磁波的相速大于光速。众所周知，一切能量速度不可能大于光速，因此，波导中的相速不代表能速。1vcv0

17、01cff c 又知截止频率或截止波长与波导尺寸及模式有关，因此，不同波导尺寸及模式，其相速也不同。 由上式还可见，波导中的相速不仅与波导中的媒质特性有关，还与频率有关。因此，与导电媒质一样，电磁波在波导中传播时会出现色散现象。5/26/20225/26/20222323根据波长与相位常数的关系，求得波导中电磁波的波长 为 g2c2cg112ffkz式中 为工作波长。 称为波导波长。已知 ， ，故 ，即波导波长大于工作波长。显然，波导波长也与波导尺寸及模式有关。 gcff cg 波导中的横向电场与横向磁场之比称为波导的波阻抗，那么对于TM波，其波阻抗为 kHEHEZzxyyxTM2c2cTM1

18、1ZffZZZ将前面结果代入，求得5/26/20225/26/20222424同理可得TE波的波阻抗为2c2czyxTE1Zff1ZkHEZ由上两式可见，当 ， 时， 及 均为虚数，表明横向电场与横向磁场相位相差 ，因此，沿 Z 方向没有能量单向流动，这就意味着电磁波的传播被截止。完全符合前面的论述。 cff cTMZTEZ2例 某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为25mm10mm，当频率 的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式是什么？当波导中填充介电常数 的理想介质后，能够传输的模式有无改变？ MHz104f4r5/26/20225/26/20222525 解 当内部为真空时，工

19、作波长为mm)( 30fc波导的截止波长为2222c25. 6502nmbnam因为，TE10波的 ，TE20波的 ，更高次模的截止波长更短，可见，当该波导中为真空时，仅能传输的模式为TE10波。 )mm(50c)mm(25c若填充 的理想介质，则工作波长为4r)mm(15r可见，可以传输TE10波及TE20波，而且还可存在其它模式。详细计算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可传输。 5/26/20225/26/20222626作业： 9-3；9-45/26/20225/26/202227274. 矩形波导中的TE10波 令 ，求得矩形波导中的常用模式TE

20、10波方程为0 , 1nmzkzzxaHHj0ecoszkzxzxaakHkHj2c0esinjzkyzxaakHEj2c0esinj其余分量为零。)sin(cos2),(0zktxaHtHzzr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHktHzzxr02c2( , )sinsin()2yzHEtxtk zkaar对应的瞬时值为5/26/20225/26/20222828gHzHxEyzyyHxEyHzxa 下图给出了t = 0 时刻，矩形波导中TE10波场强沿 z 方向及 x 方向的场分布。 沿 x 方向为驻波，沿 z 方向为行波。Hz 的振辐沿 x 按余弦分布， Hz 及 Ez 的振

21、幅沿 x 按正弦分布，但三者振幅均与 y 无关。 根据理想导体表面仅可存在法向电场及切向磁场的边界条件，即可理解这些分布规律的必然性。根据这些变化规律，也可用电场线及磁场线表示TE10波的电磁场分布。 5/26/20225/26/20222929xzyxyzgba磁场线电场线zyx内壁电流)sin(cos2),(0zktxaHtHzzr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHktHzzxr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHtEzyrZ=0Z=g/4Z=g/45/26/20225/26/20223030几种高次模的场分布TE10TE11TE20TE21TM21TM11电场线

22、磁场线5/26/20225/26/20223131TE10波的截止波长、相速、波导波长及能速。 令 m = 1, n = 0，求得TE10波的截止波长为a2cTE10波的截止波长为宽壁宽度的两倍，与窄壁尺寸无关。 根据截止波长，利用前式即可分别求得相速及波导波长为2p21avv2g21a 为了说明TE10波的相速、波导波长及能速的物理意义以及它们之间关系，将分量改写为 zkxaxayzEEjjj0e )ee (jjj0(ee)exxzk xk xk zyEEzkyzxaakHEj2c0esinj5/26/20225/26/20223232j ( cossin )j (cossin )00eek

23、 xxzzykEEE此式表明，TE10波可看成是由传播常数为 k 的， 但传播方向不同的两个均匀平面波的合成波。 xza 根据上式，两个平面波的传播途径如左图示。 可见，两个平面波的传播方向位于 xz 平面， 而且这两个均匀平面波又可合并为在两个窄壁之间来回反射的一个均匀平面波。 考虑到 ，当 时， ，由图可见，该均匀平面波在两个窄壁之间垂直来回反射，因此，无法传播而被截止。 c0coscjcosjcosjsin0(ee)ex kx kz kyEE cosxckkka5/26/20225/26/20223333 既然TE10波可以分解为两个均匀平面波的合成，那么，两个均匀平面波的波峰相遇处形成

24、合成波的波峰，而两个均匀平面波的波谷相遇处形成合成波的波谷。 左图中以实线表示均匀平面波的波峰，以虚线表示均匀平面波波峰。xzaABCD若波导为真空，则AC长度等于真空中波长。由图示的几何关系可得 显然，线段AB长度等于波导波长，AC长度等于工作波长。2gcos1sin2cg15/26/20225/26/20223434 另外，由图可见，平面波由 A 点至 C 点的相位变化为 2 ，而合成波的空间相位变化时经过距离为 AB，可见，合成波的相速大于均匀平面波的相速，由图示的几何关系求出sinpvv 2cp1vv 再从能量传播的观点来看，当平面波携带的能量由 A 传播到C时，就传播方向 Z 而言，

25、此能量传输的距离仅为AD长度，可见波导传输能量的速度小于均匀平面波的能量速度，由图示的几何关系求出TE10波的能速为sinevv 2ce1vvxzaABCD5/26/20225/26/20223535例 若内充空气的矩形波导尺寸为 ，工作频率为3GHz。如果要求工作频率至少高于主模TE10波的截止频率的20%，且至少低于TE01波的截止频率的20%。试求：波导尺寸a及b；根据所设计的波导，计算工作波长，相速，波导波长及波阻抗。2a解 TE10波的截止波长 ，对应的截止频率 。TE01波的截止波长 ，对应的截止频率 ，按题意要求，应该满足 a2caccf2ccb2cbcf2c2 . 121039

26、ac8 . 021039bc由此求得 ， ，取 ， 。m06. 0am04. 0bm06. 0am04. 0b 工作波长，相速，波导波长及波阻抗分别为m1 . 0fc32p1042. 521acv182. 0212ga)(682212TE10aZZ222baa5/26/20225/26/20223636作业： 9-19；9-215/26/20225/26/202237378. 谐振腔 波长小于米波的微波波段，集中参数的LC 谐振电路无法使用，经常使用相应波段的传输线形成谐振器件，这种谐振器件称为谐振腔。 因为随着频率升高，必须减小电感量和电容量，但是当LC 很小时，分布参数的影响不可忽略。电容

27、器的引线电感、线圈之间以及器件之间的分布电容必须考虑。这就意味着，在波长小于米波的波段，很难制造单纯的电容及电感元件。此外，随着频率升高，回路的电磁辐射效应、趋肤效应显著增强，电容器中的介质损耗也随之增加，这些因素导致集中参数的谐振电路的品质因素Q 值显著下降。本节介绍由金属波导形成的谐振腔的原理及特性。 5/26/20225/26/20223838 随着频率的增高，电磁波的波长接近元件尺寸，由集总参数元件组成的振荡回路容易产生辐射，损耗增大。故采用空腔谐振器。 空腔谐振器的形成过程。 12ofLC几种常见的微波谐振腔。 （a a）矩形腔 （b b）圆柱腔 （c c）同轴腔 谐振腔的主要参量是

28、；谐振波长和品质因素。 ( )ad)b(N,dC,L,f0并联N,dfo)c()d(连续N,df05/26/20225/26/20223939 当矩形波导终端短路时，电磁波将被全部反射，在波导中形成驻波。若矩形波导工作于主模，TE10波的电场仅有横向分量，短路端形成电场驻波的波节。在离短路端半个波导波长处，又形成第二个电场驻波的波节。若在此处放置一块横向短路片，仍然满足电场边界条件，如下图示。 dg /2baxyz 这样，电磁波在短路端及短路片之间来回反射形成驻波。根据TE10波的场强公式及边界条件，求得该金属腔中电磁场方程式为j0j(ee)coszzkk zzzHHxa0jjej(e)sin

29、zzk zk zzxk aHHxazzjk zjk z0y-aHEj(e)sinxae zkzzxaHHj0ecoszkzxzxaakHkHj2c0esinjzkyzxaakHEj2c0esinj5/26/20225/26/2022404002sin() ojc szzHHk zxa 02cos()sinjzxzk aHHk zxaxazkaHEzysin)sin(20利用三角公式，上式又可写为 此式表明，金属腔中的电场及磁场在 x 及 z 方向上均形成驻波，但电 场驻波及磁场驻 波的时间相位差为 当电场能量达到最大值时，磁场能量为零；反之，当磁场能量达到最大值时，电场能量为零。电磁能量在电场

30、与磁场之间不断地交换，而且无须外界输入能量一直存在，这种现象称为谐振。因此这种金属腔称为谐振腔，它可作为微波电路中的谐振器件。 2j0j(ee)coszzkk zzzHHxa0jjej(e)sinzzk zk zzxk aHHxazzjk zjk z0y-aHEj(e)sinxae 5/26/20225/26/20224141 对于尺寸一定的谐振腔，仅对特定的频率发生谐振现象。发生谐振的频率称为谐振频率，对应的波长称为谐振波长。显然，只要谐振腔的长度为 , 3 , 2 , 1 ,2glld均可满足边界条件，即发生谐振。因此，谐振腔的谐振频率具有多值性。又因波导波长还与模式有关，因此，模式不同，

31、谐振频率也不同。已知矩形波导中z 向传播常数为2222bnamkkz当 时， ， ，代入上式，得2gld ldkzdlkz222dlbnamklzkzzzk22gglll 5/26/20225/26/20224242考虑到 ，求得谐振波长 及谐振频率 分别为 fk22mnlmnlf2222dlbnammnl22221dlbnamfmnl可见，谐振波长或谐振频率不仅与谐振腔的尺寸有关， 还与波导中的工作模式有关，每组（mnl）对应于一种模式。例如TE101模式代表矩形波导谐振腔工作于TE10波，腔长为半个波导波长。 为了有效地设计谐振腔的耦合及调谐装置，必须了解谐振腔中的场分布。 5/26/20

32、225/26/20224343下图给出了矩形谐振腔工作于TE101模式时的场结构。 xzyxyzbad磁场线电场线 和一切谐振器件一样，实际的谐振腔总存在一定的损耗。为了衡量谐振器件的损耗大小，通常使用品质因素Q 值，其定义为lPWQ0式中0 为谐振角频率，W 为腔中总储能，也就是电场储能的时间最大值或磁场储能的时间最大值，Pl 为腔中的损耗功率。 根据前述TETE1010波的场强公式，求出电场储能的时间最大值为22022032| HbdaWxazkaHEzysin)sin(20PWRILIRLQ022005/26/20225/26/20224444 与计算波导壁的损耗方法相同，可以求出矩形谐

33、振腔中TE101模式的损耗功率为 2023333|222HRdbdaddabaPSl)22(43333233230bdaddabaRbdaQS 将这些结果代入 值公式，求得矩形波导谐振腔工作于TE101模式时的 值为QQTE101模式的谐振角频率为22101101112daf那么，TE101模式的Q 值可表示为)22(4)(3333322101bdaddabaRdaZbQS式中 Z5/26/20225/26/20224545 波导谐振腔可以获得很高的Q 值。由于圆波导的腔壁损耗较小，圆柱谐振腔的Q 值更高，它比矩形腔获得更加广泛的应用。 圆柱谐振腔的谐振频率及其Q 值计算，方法同前，其结果如下

34、：对于TM波 22TM21dlaPfmndadalPQmn21222TM对于TE波22TE21dlaPfmn2223222TE212)(2)(1dPamldadaldaPalPPmQmnmnmnmn5/26/20225/26/20224646 左图给出了圆柱腔的Q 值与尺寸的关系，由图可见，TE01l 模式具有较高的Q 值。TE011模式的最大Q 值发生在 d 2a 附近。若 = 3cm，则Q 值可达1044104。 提高谐振腔 Q 值的方法与减小波导壁损耗的方法相同。此外，体积应尽可能大一些，以增加储能。腔壁面积应尽可能小一些，以减小损耗。5/26/20225/26/20224747 例 试证波导谐振腔对于任何模式的谐振波长 均可表示为r, 3 , 2 , 1 212ccrldl式中 为截止波长，d 为谐振腔的长度。c 解 已知无论何种波导，其传播常数 均为zk2c22kkkz2c2r222dl已知当 时， ， ，