模糊数学方法及其应用

1、1第十一章第十一章 模糊数学方法及其应用模糊数学方法及其应用1 模糊聚类分析(参考内容)2 模糊模型识别(参考内容)2 模糊数学是用数学方法研究和处理具有模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性模糊性”现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异的中间过渡界线的的中间过渡界线的“不分明性不分明性”。如储层的含油气。如储层的含油气性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。义是

2、模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进行推断或识别。行推断或识别。v前言前言3 1965年美国控制论专家年美国控制论专家 L.A.Zadeh 提出这一概提出这一概念后，模糊数学得到迅速发展并应用到各个领域，念后，模糊数学得到迅速发展并应用到各个领域，地学种主要用于矿产资源评价，各种地质现象的分地学种主要用于矿产资源评价，各种地质现象的

3、分类、识别、决策和模拟。类、识别、决策和模拟。 在此介绍油气勘探中常用的在此介绍油气勘探中常用的模糊聚类分析和模糊模糊聚类分析和模糊识别识别。41 模糊聚类分析模糊聚类分析 模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上，对模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上，对分类对象进行定量分类的方法。分类对象进行定量分类的方法。主要内容主要内容数据标准化数据标准化建立模糊相似矩阵建立模糊相似矩阵动态聚类动态聚类 一、数据标准化一、数据标准化 1.原始数据原始数据 设论域设论域U是是n个被分类对象构成的集合个被分类对象构成的集合,每个对象每个对象又有又有m个描述对象特征的变量个描述对象特征的变量,它们的观测值构成它

4、们的观测值构成原始数据矩阵原始数据矩阵:5nmnnmmxxxxxxxxxX2122221112112.极差正规化极差正规化 求模糊矩阵时要求将数据压缩到区间求模糊矩阵时要求将数据压缩到区间0,1上，为上，为此对原始数据进行极差正规化处理。此对原始数据进行极差正规化处理。极差是变量观测值的最大值与最小值之差，即极差是变量观测值的最大值与最小值之差，即 极差正规化是变量的每个观测值减去观测值的最极差正规化是变量的每个观测值减去观测值的最小值再除以极差。变换公式为：小值再除以极差。变换公式为：),(minmaxmjxxxijniijnij21116 由上可知，对原始数据正规化处理以后，变量最由上可知

5、，对原始数据正规化处理以后，变量最大值为大值为1，最小值为，最小值为0，即新数据在区间，即新数据在区间0,1内。内。),2, 1;,2, 1(/ )min(1mjnixxxxjj inij ij i二、模糊相似矩阵二、模糊相似矩阵 模糊相似矩阵是进行模糊聚类的基础。下面介模糊相似矩阵是进行模糊聚类的基础。下面介绍建立模糊相似矩阵的常用方法。绍建立模糊相似矩阵的常用方法。7(1)数量积法数量积法1.相似系数法相似系数法显然显然|rij|0,1 ,若若rijF,则认则认为各类之间有明显的差异。为各类之间有明显的差异。F服从自由度为服从自由度为r-1，n-r的的F分布。分布。22 简单讲简单讲,模型

6、识别就是根据研究对象具有的某些模型识别就是根据研究对象具有的某些特征对其进行识别并归类。如采集的植物标本识别特征对其进行识别并归类。如采集的植物标本识别它属于哪个纲目它属于哪个纲目;又如拨打电话号码识别对应的电又如拨打电话号码识别对应的电话机。这种模型识别具有话机。这种模型识别具有2个本质的特征个本质的特征:2 模糊模型识别模糊模型识别一、基本概念一、基本概念 事先已知若干标准模型事先已知若干标准模型(称为标准模型库称为标准模型库), 模模型具有明显的界线型具有明显的界线;1. 模型识别模型识别 有待识别归类的对象，并且它所属的类必然是有待识别归类的对象，并且它所属的类必然是若干标准模型之一。

7、若干标准模型之一。23 模糊模型识别是指标准模型库中的模型是模糊的模糊模型识别是指标准模型库中的模型是模糊的(模型间没有明显的界线模型间没有明显的界线)。如据电测或气测资料。如据电测或气测资料,建建立的储层含油气性立的储层含油气性(油层、油气层、油水同层、气油层、油气层、油水同层、气层、含水油层、干层等层、含水油层、干层等)标准模型库标准模型库,又如由不同沉又如由不同沉积相岩样观测值构成的岩样标准模型库积相岩样观测值构成的岩样标准模型库,它们中的它们中的模型都是模糊的。因此模型都是模糊的。因此,根据测井信息或者岩样的根据测井信息或者岩样的观测值判断钻穿储层的含油气性、岩样的沉积相是观测值判断钻

8、穿储层的含油气性、岩样的沉积相是一个一个模糊集对标准模糊集的识别模糊集对标准模糊集的识别问题。问题。 对于这类模型识别问题，可据模型的界线对待识对于这类模型识别问题，可据模型的界线对待识别对象进行归类，是别对象进行归类，是标准集对标准集的识别标准集对标准集的识别。2. 模糊模型识别模糊模型识别24 为了解决模糊集的识别问题，需要一个度量模糊为了解决模糊集的识别问题，需要一个度量模糊集与标准模糊集靠近程度的指标，这就是下面要介集与标准模糊集靠近程度的指标，这就是下面要介绍的绍的隶属度和贴近度。隶属度和贴近度。 (1)模糊向量及其内外积模糊向量及其内外积 若若0ai1(i=1,2,n),则称向量则

9、称向量a=(a1,a2,an)为模为模糊向量。设糊向量。设a，b是模糊向量，则分别称是模糊向量，则分别称: 二、隶属度和贴近度二、隶属度和贴近度1.隶属度隶属度)(1iinibaba)(1iinibaba 为向量为向量a与与b内积和外积。符号内积和外积。符号和和分别表示两分别表示两个元素取小和取大。个元素取小和取大。ni 1ni 1表示和取大、小运算。表示和取大、小运算。25例如设例如设:).,.,.(),.,.,.(30700206005010ba20. ba0.1 0.5 0 0.60.2 0 0.7 0.30.2 0.5 0.7 0.6 取小取小0.230.ba 0.1 0.5 0 0.

10、60.2 0 0.7 0.30.1 0 0 0.3取大取大0.3ab26),(21nAAAA(2)模糊向量集合族模糊向量集合族(3) 隶属度隶属度 设设U上有上有n个模糊子集个模糊子集 ,其隶属函数为其隶属函数为: 当当 为模糊向量集合族，为模糊向量集合族， 为为普通向量时，则：普通向量时，则：),(21nxxxx ), 2 , 1)(nixAi)()(1iinixAxA为为 对对 的隶属度。的隶属度。xA 设设 是论域是论域U上的上的n个模糊子集，称以模个模糊子集，称以模糊集糊集 为分量的模糊向量为模糊向量集合族为分量的模糊向量为模糊向量集合族,记为记为:nAAA,21nAAA,21nAAA

11、,21nAAA,2127 应用模糊数学方法的应用模糊数学方法的关键是建立符合实际的隶属关键是建立符合实际的隶属函数函数,但它是目前尚未完全解决的问题。我国的汪但它是目前尚未完全解决的问题。我国的汪培庄教授提出的随机集落影理论对于相当一部分模培庄教授提出的随机集落影理论对于相当一部分模糊集的隶属函数的客观实在性给出了满意的解释糊集的隶属函数的客观实在性给出了满意的解释,基于这一理论的模糊统计方法是确定一类模糊集隶基于这一理论的模糊统计方法是确定一类模糊集隶属度的有效方法。现确定隶属函数的方法有模糊统属度的有效方法。现确定隶属函数的方法有模糊统计法、指派法、借用已有尺度法等。计法、指派法、借用已有

12、尺度法等。niiixAnxA1)(1)( 基于不同考虑基于不同考虑, ,隶属度也有其他的定义形式隶属度也有其他的定义形式, ,如：如：28(4)最大隶属度原则最大隶属度原则 原则原则: 设论域设论域 U=x1, x2, , xn上有上有m个模糊子集个模糊子集: mAAA,21)()(0100 xAxAkmki0iA (m个模型个模型)构成一个标准模型库，若对构成一个标准模型库，若对x0U，有有i0 1,2,m 使得使得则认为则认为x0隶属于隶属于 。29则应首先录取则应首先录取xk 。 原则原则: 设论域设论域U上只有上只有1个标准型个标准型 ，现有，现有n个待识别对个待识别对象象x1, x2

13、, xnU ，若其中的，若其中的xk 满足满足:A)()(1inikxAxA为便于理解，下面给出两个应用的例子：为便于理解，下面给出两个应用的例子：3010090, 19080,1080800, 0)(xxxxxA 原则原则的例子。的例子。 在论域在论域U=0,100(分数分数)上确定三个代表学习成绩上确定三个代表学习成绩的模集糊的模集糊 =“优优”， =“良良”， =“差差”。当某学。当某学生的数学成绩为生的数学成绩为88分时，该学生的数学成绩该评分时，该学生的数学成绩该评为优、良、还是差？为优、良、还是差？ABC 为此，要先建立模糊集为此，要先建立模糊集 隶属函数。有人用隶属函数。有人用指

14、派法建立了论域指派法建立了论域U上模糊集上模糊集 的隶属函数为的隶属函数为:CBA,CBA,3110095, 09585,10958580, 18070,1070700, 0)(xxxxxxxxB10080,08070,1080700, 1)(xxxxxC32 把把x=88分别代入上述三个隶属函数，得分别代入上述三个隶属函数，得: 据原则据原则，88分相对三个模型应隶属于分相对三个模型应隶属于 ，即，即可评为优可评为优。 0)88(, 7 . 0)88(, 8 . 0)88(CBAA33原则原则的例子的例子 设论域设论域U=x1, x2, x3(三名学生的学习成绩三名学生的学习成绩),在在U上

15、上确定以一个模糊集确定以一个模糊集 =“优优”，若三个学生的英语，若三个学生的英语成绩分别为成绩分别为x1=70, x2=80, x3=90现据英语成绩从三名现据英语成绩从三名学生中招聘一人做翻译，应优先招聘谁？学生中招聘一人做翻译，应优先招聘谁？A1)90(, 4 . 0)84(, 0)70(AAA 由计算结果可知，第三位同学的成绩最靠近优。由计算结果可知，第三位同学的成绩最靠近优。据原则据原则应首先聘任第三位同学。应首先聘任第三位同学。把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数:10090, 19080,1080800, 0)(xxxxxA得得:34 (2)择

16、近原则择近原则 设论域设论域U上有上有m个模糊子集个模糊子集 构成一个构成一个标准模型库标准模型库 为待识别的对象。若存在为待识别的对象。若存在i0 1,2,m使得使得:mAAA,21BAAAm,21 2.贴近度及其择近原则贴近度及其择近原则 (1)贴近度贴近度 贴近度是描述模糊集之间彼此靠近程度的指标贴近度是描述模糊集之间彼此靠近程度的指标,是我国学者汪培庄教授提出的是我国学者汪培庄教授提出的,由于研究的问题不由于研究的问题不同同,贴近度也有不同的定义形式贴近度也有不同的定义形式,它的一般定义为它的一般定义为:)1 (21),(0BABABA 设设A，B是论域是论域U上的两个模糊子集，则称上

17、的两个模糊子集，则称为为A与与B的贴近度的贴近度。35mkmkkkkkxBxAxBxABA111)()(/)()(),(待识别对象归入待识别对象归入Ai0类。类。),(),(0100BABAkmkimkkkmkkkxBxAxBxABA112)()(/)()(2),( (3)实用贴近度实用贴近度 实际工作中实用的几个贴近度计算公式：实际工作中实用的几个贴近度计算公式：mkkkxBxAmBA13)()(11),(36 例例1 茶叶的模型识别茶叶的模型识别 论域论域U=茶叶茶叶, 其等级标准模型库其等级标准模型库,54321AAAAA质量指标质量指标模模 型型样样 品品条索条索0.50.30.20.

18、00.00.4色泽色泽0.40.20.20.10.10.2净度净度0.30.20.20.20.10.1汤色汤色0.60.10.10.10.10.4香气香气0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.6三、应用三、应用 待识别的茶叶样待识别的茶叶样品为品为B,衡量茶叶质衡量茶叶质量指标为量指标为:条索条索,色色泽泽,净度净度,汤色汤色,香气香气和滋味。模型库与和滋味。模型库与样 品 的 有 关 数 据样 品 的 有 关 数 据如右表。如右表。贴近度计算公式贴近度计算公式:)1 (21),(0BABABA3755.0)2.01(3.021),(20BA50.0)2

19、.01(2.021),(30BA45.0)2.01(1.021),(40BA60.0)3.01(5.021),(10BA50.0)1.01(1.021),(50BA按择近原则按择近原则:1AB 38贴近度计算改用：贴近度计算改用：mkkkxBxAmBA13)()(11),(79. 0),(33BA70. 0),(43BA72. 0),(53BA85. 0),(13BA80. 0),(23BA 上述两种计算贴近度公式，计算数值不同，但归上述两种计算贴近度公式，计算数值不同，但归类果一样，那一种更好？类果一样，那一种更好？1AB茶叶样品茶叶样品39 (1) 建立标准模式库建立标准模式库 在在试油证

20、实的试油证实的油层、油水同层、含油水层、油气油层、油水同层、含油水层、油气层、干层等各取若干个样品，每个以样品都有相同层、干层等各取若干个样品，每个以样品都有相同的的7项气测指标，它们都是模糊变量项气测指标，它们都是模糊变量 。各气测指标。各气测指标的平均值构成论域的平均值构成论域U=x1,x2,x7, xi是论域是论域U上的上的模糊子集。模糊子集。 例例2 识别储层含油气性识别储层含油气性 论域论域U=储层含油气性储层含油气性，储层含油气性可分为，储层含油气性可分为油层、油水同层、含油水层、油气层干层等，构油层、油水同层、含油水层、油气层干层等，构成标准模型库为成标准模型库为:X=(X1,X2,X3,X4)。待识别含油气性待识别含油气性的储层为的储层为Y, 试据贴近度判定试据贴近度判定Y的含油气性。的含油气性