反证法(高中数学人教A版选修2-2).

1、西南大学数学与统计学院西南大学数学与统计学院 2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用通常用分析法分析法寻求思路，再由寻求思路，再由综合法综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论 分析法分析法结论结论 明显成立的条件明显成立的条件 本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题 步骤 本节难点：应用反证

2、法解决问题 教 学 目 标 1知识与技能 结合实例的间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程与特点 2过程与方法 了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力 3情感、态度与价值观 培养学生的数学素养，发展学生的数学思维能力反证法 前言：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后，证明方法中的一种（间接证明问题的）基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养逆向思维能力。 路边苦李路边苦李 王戎王戎7岁时岁时,与小与小伙伴们外出游玩伙伴们外出游玩,看看到路边的李树上结满到路边的李树上结满了果子了果子.小伙伴们纷

3、小伙伴们纷纷去摘取果子纷去摘取果子,只有只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动.王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样他运用了怎样的推理方法的推理方法?这与事实这与事实矛盾。矛盾。说明说明李子是甜的这个假设李子是甜的这个假设是错的是错的假设假设李子不是苦的，即李子是甜的，李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会

4、这么多吗那么，树上的李子还会这么多吗？所以，所以，李子是苦的李子是苦的 在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？思考思考1 1：他运用了怎样的推理方法？：他运用了怎样的推理方法？自己的前额也被涂黑了自己的前额也被涂黑了.各抒己见各抒己见假设假设自己的前额没有被涂黑自己的前额没有被涂黑,那么另一个哲学家也不会有异常行为那么另一个哲学家也不会有异常行为,这与另一个哲学家笑个不停这与另一个哲学家笑个不停矛盾矛盾,所以所

5、以假设假设“自己的前额没有涂黑自己的前额没有涂黑”不正确不正确,于是自己的前额也被涂黑了于是自己的前额也被涂黑了.脏脸博弈,.?那 么 无 论 怎 样 翻 转 都 不 能 做 到你 能 解 释 这 种 现 象 吗3(,2.思考3桌面上有 枚正面有面额的一面） 朝上的硬币每次用双手同时翻转 枚硬币能使硬币全部反面朝上?思考思考2： A、B、C三个人，三个人，A说说B撒谎，撒谎，B说说C撒谎，撒谎，C说说A、B都撒谎。则都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？必定是在撒谎，为什么？分析分析:假设假设C没有撒谎没有撒谎, 则则C真真. 那么那么A假且假且B假假;由由A假假, 知知B真真. 这与这与B假矛盾

6、假矛盾.那么那么假设假设C没有撒谎不成立没有撒谎不成立;则则C必定是在撒必定是在撒谎谎.探究1:认识反证法.,里采用反证法里采用反证法我们这我们这但是但是明的方法解释明的方法解释上述现象可以用直接证上述现象可以用直接证.以使硬币全部反面向上假设经过若干次翻转可 .,3,3,即要翻转奇数次次个奇数之和翻转需要枚硬币全部反面朝上时所以翻转奇数次都需要上变为反面朝上由于每枚硬币从正面朝.3,.,23 ,2枚硬币全部反面朝上能使即无论怎样翻转都不原结论正确说明假设错误这个矛盾即偶数次的倍数翻转的次数只能是枚硬币被枚硬币翻转但由于每次用双手同时 1反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过，最后得出，

7、因此说明假设，从而证明了原命题，这样的证明方法叫做反证法 反证法是的一种基本方法 2反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与定义、公理、 、矛盾等正确的推理矛盾错误成立间接证明已知条件假设定理事实反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反1反证法证明数学命题的四个步骤：反证法证明数学命题的四个步骤： 第一步：分清命题的条件和结论；第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；第二步：做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；盾的结果； 第四步：

8、断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真题为真 2.常见的主要矛盾有：常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；与假设矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾与公认的简单事实矛盾探究2：了解反证法3反证法适宜证明存在性、唯一性、带有反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个至少有一个”或或“至多有一个至多有一个”等字样的一些数学问题等字样的一些数学问题4用

9、反证法证明不等式，常用的否定形式有：用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“”的反的反面为面为“”；“”的反面为的反面为“”；“及及”5反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即上，即“否定之否定等于肯定否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指，其中第一个否定是指“否定结论否定结论(假设假设)”；第二个否定是指；第二个否定是指“逻辑推理结果否定逻辑推理结果否定了假设了假设”反证法属于反证法属于“间接证明方法间接证明方法”，书写格式易错，书写格式易错之处是之处是“假设假设”错写成错写成“设设”常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词反设词

10、原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个pq(p)(q)至多有n个至少有n1个pq(p)(q)（习题2.2 A组1） 已知已知a0， 证明证明x的方程的方程ax=b有且只有一个根。有且只有一个根。分析：要说明两个方面存在性存在性和唯一性唯一性；证明唯一性时可以用反证法探究3 常见典型题目类型总结：证明；证明；( (存在性）存在性）a0a0，方程，方程ax=bax=b至少有一至少有一个根个根x=b/ax=b/a。 （以下为唯一性）（以下为唯一性）证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，证：假

11、设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x x1212则ax = b，ax = b则ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0 与已知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。apb./,/,4abababa求证且，如果和平面

12、）已知直线例apb./,/,4abababa求证且，如果和平面）已知直线例矛盾。的公共点，这与与是直线即点，则有公共点与平面假设直线没有公共点。与平面下面用反证法证明直线所以，且因为是两个不同的平面。与所以，而因为确定一个平面所以经过直线，证明：因为babaPbPPaabbbaababa/.,.,/ 说明(1)反证法是利用原命题的否定不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的 (2)对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法2.补例求证是无理数.),(,.,2.,推出矛盾下面我

13、们看看能否由此的形式互质形如任一有理数都可以写成知道我们那么它就是有理数不是无理数假设反证法我们采用数比较困难直接证明一个数是无理分析NnZmnmnm,2,.,2nmnm使得存在互质的正整数于是那么它就是有理数不是无理数假设证明.,.,2,24,2.,2,2222222互质矛盾这与也是偶数所以即从而有是正整数于是可设为偶数所以因此从而有nmnknnkkkmmnmnm.2,是无理数从而误由上述矛盾可知假设错.,;,1,2步伐大大推动了数学前进的第一次危机从而引发了数学史上的这就是无理数是不可公度的还有一类数与之外使人们认识到在有理数的发现正是1、直接证明困难，原因何在？情况很多，分类讨论条件太少

14、直接证明找不到突破口反证法主要用于以下两种情形：1、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰。推出结论的线索不够清晰。2、如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，、如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。对于对于“不可能，至少，唯一性不可能，至少，唯一性”等题目常用等题目常用课堂小结：课堂小结：我来告诉你我来告诉你 1.存在性问题存在性问题2.否定性问题否定性问题3.唯一性问题唯一性问题4.至多、至少类问题至多、至少

15、类问题5.一些基本命题、基本定一些基本命题、基本定理理哪些问题适宜用反证法总之，直接证明比较困难的命题总之，直接证明比较困难的命题大家议一议！ 规律方法当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾名家情系反证法名家情系反证法 反证法常常是解决某些反证法常常是解决某些“疑难疑难”问问题的有力工具。题的有力工具。 牛顿说：牛顿说：“反证法是数学家最精当反证法是数学家最精当的武器之一的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它：英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力

16、的一件武器，反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！全局拱手让给对方！” -德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法反证法，就象禁止拳击家使用拳头。 同学们，学了这节课，你们有何体会？ 反思反思与与收获收获你能谈谈举反例与反证法你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？的联系和区别吗？拓展阅读反证法典型例子 证明：素数有无穷多个。证明：素数有无穷多个。 这个古老的命题最初是由这个古老的命题最初是由古希腊古希腊数学家数学家欧几里德欧几里德(Euclid of Alexandr