第9章动量定理及其应用(3)

1、2.31.31.3第第9 9章章 动量定理及其应用动量定理及其应用 用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇到很大困难。在许多工程问题中并不需要求出每个质点遇到很大困难。在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只需知道质点系整体的运动特征就够了。的运动规律，而是只需知道质点系整体的运动特征就够了。 动力学普遍定理包括动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定动量定理、动量矩定理、动能定理理。这些定理建立了。这些定理建立了表现运动特征的量表现运动特征的量（动量、动量矩、动量、动量矩、动能动能）和）和表现力作用效果的量表现力

2、作用效果的量（冲量、冲量矩、功冲量、冲量矩、功）之间）之间的关系。的关系。 在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义，便于更深入地研究机械且各个量都具有明确的物理意义，便于更深入地研究机械运动的规律。运动的规律。 质点系中所有质点动量质点系中所有质点动量的矢量和，称为质点系的动的矢量和，称为质点系的动量，又称为质点系动量的主量，又称为质点系动量的主矢。即：矢。即： iiim vp 质点系的动量是自由矢质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动，是度量质点系整体运动的基本特征之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的基本

3、特征之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式。的投影形式。 ,xiixyiiyziiziiipmvpmvpmv质点系质心位矢公式对时质点系质心位矢公式对时间的一阶导数：间的一阶导数： rriiiCmmvviiiCmm 式中，式中，rC为质点系质心的位矢；为质点系质心的位矢； vC为质心的为质心的速度；速度；m为质点系的总质量。据此，质点系的为质点系的总质量。据此，质点系的动量可改写为：动量可改写为： Cmvp 这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点心速度的乘积。这相当于将质点系的

4、总质量集中于质心一点的动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。的动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。 Cmvp 上述动量表达式对于刚体系也是正确的。上述动量表达式对于刚体系也是正确的。 动量所描述的并不是质点系整体运动全部，因为它不能动量所描述的并不是质点系整体运动全部，因为它不能描述质点系的转动效应。描述质点系的转动效应。 试求下列物体或系统的动量试求下列物体或系统的动量v60cvMP刚体：刚体：解解：1. 1. 确定系统的动量表达式。建立确定系统的动量表达式。建立坐标系如图示。根据坐标系如图示。根据jivp)()(iyiiixiiiiivmvmm 取四棱柱为动系

5、，四棱柱体的速度为取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为v，各物块相对四棱柱体的速度为各物块相对四棱柱体的速度为vr，则，则 vmvmvvmvvmpx43r2r1)()cos(0)(0sin4r32r1mvmmvmpyjip)sin()cos()(31r214321mmvmmvmmmm例9-1解解：2. 2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。体相对地面的位移。 因不计一切摩擦，系统在水平方向因不计一切摩擦，系统在水平方向上动量守恒，即上动量守恒，即 1r2r34( cos)()0 xpm vvm vvm vm v123412r()(cos)0mmmm vmm v

6、由此解得由此解得 r432121cosvmmmmmmv2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。相对地面的位移。 又因为系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分，又因为系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分，得到四棱柱体的位移。得到四棱柱体的位移。 r432121cosvmmmmmmvsmmmmmmx432121cos解解：3.3.确定对凸起部分的作用力，可以确定对凸起部分的作用力，可以采用质心运动定理。采用质心运动定理。 设物块相对四棱柱体的加速度为设物块相对四棱柱体的加速度为a ar r，由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，由于凸起部分的

7、作用，四棱柱体不动，根据质心运动定理，并注意到根据质心运动定理，并注意到 aa re40aaiixcxmama得到得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力12coscxmam am aF故，四棱柱体的加速度故，四棱柱体的加速度a 极易由牛顿定律求出。极易由牛顿定律求出。 例例9-2 电动机的外壳和定子的总质量为电动机的外壳和定子的总质量为 m1 ,质心质心C1与与转子转轴转子转轴 O1 重合；转子质量为重合；转子质量为 m2 ，质心质心 O2 与转轴与转轴不重合，偏心距不重合，偏心距 O1O2 = e 。若转子以等角速度若转子以等角速度 旋转旋转 （1） 求

8、：求：电动机底电动机底座所受的水平和铅垂约座所受的水平和铅垂约束力。束力。解：解：1. 选择包括外壳、定子、选择包括外壳、定子、转子的电动机作为研究对象。转子的电动机作为研究对象。 2. 系统所受的外力：系统所受的外力：定子所受重力定子所受重力m1g;转子所受重力转子所受重力m2g;底座所受约束力底座所受约束力 Fx、Fy、M。FxFyM 2. 系统所受的外力系统所受的外力定子所受重力定子所受重力m1g;转子所受重力转子所受重力m2g;底座所受约束力底座所受约束力 Fx、Fy、M。3. 各刚体质心的加速度各刚体质心的加速度aC1 aO1=0 ;aC2 aO2e 2(向心加速度向心加速度)FxF

9、yMaO2 3. 各刚体质心的加速度各刚体质心的加速度aC1=aO1=0 ;aC2=aO2=e2(向心加速度向心加速度),eRxiCixiFameRyiCiyiFam 4. 应用质心运动定理应用质心运动定理FxFyMaO2xFtemmcos0221gmgmFtemmy21221sin0 21ccxxOA3012BCRevavrvA30BCO1例例2 OA杆绕杆绕O轴逆时针转动，均质圆轴逆时针转动，均质圆盘沿盘沿OA杆杆纯滚动纯滚动。已知圆盘的质量。已知圆盘的质量m20 kg，半径，半径R100 mm。在图示位。在图示位置时，置时，OA杆的倾角为杆的倾角为30o，其角速度，其角速度 1 11 r

10、ad/s，圆盘相对，圆盘相对OA杆转动的角杆转动的角速度速度 2 24 rad/s，, 求求圆盘圆盘的动量。的动量。100 3mmOB 120.2 10.2m/s0.1 40.4m/servOCvR 3sin600.40.3464m/s2Carvvv于是于是所以所以20 0.34646.93N sCpmvp方向水平向右。方向水平向右。解解:取取C为动点，动系与为动点，动系与OA固连固连例例3 两均质杆两均质杆OA和和AB质量为质量为m，长为，长为l，铰接于，铰接于A。图示位。图示位置时，置时，OA杆的角速度为杆的角速度为 ，AB杆相对杆相对OA杆的角速度亦为杆的角速度亦为 。求此瞬时系统的动量

11、。求此瞬时系统的动量。解：由刚体系统的动量公式解：由刚体系统的动量公式2211CCvmvmp其中：其中：21lvClllvC2222mllmlmp2522方向水平向右。方向水平向右。mvC1mvC2OABC1C2r=ACACvvv22AB作平面运动作平面运动 例例4 图示系统，重物图示系统，重物A和和B的质量分别为的质量分别为m1、m2。若。若A下降的下降的加速度为加速度为a，滑轮质量不计。求支座，滑轮质量不计。求支座O的反力。的反力。ABOaAvBvABOxyOxFOyFgm1gm2解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设设A下降

12、的速度为下降的速度为vA，B上升的速度为上升的速度为vB，则由运动学关系得，则由运动学关系得ABvv21系统的动量在坐标轴上的投影为系统的动量在坐标轴上的投影为121210,()2xyABAppm vm vmm v由质点系的动量定理由质点系的动量定理1212d10,()d2OxAOyFmm vm gm gFt注意到注意到adtdvA可得可得121201()2OxOyFFm gm gmm a注意方程中均以向右为正注意方程中均以向右为正 习题习题2 质量为质量为 m 长为长为 2l 的均质杆的均质杆OA绕水平固定轴绕水平固定轴O在铅垂面内转动，如图。已知在图示位置杆的角速度在铅垂面内转动，如图。已知在图示位置杆的角速度为为 ，角加速度为，角加速度为 。试求此时杆在。试求此时杆在O轴的约束反力。轴的约束反力。xymgtCanCa解解1 1：用质心运动定理。：用质心运动定理。以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。2sincossincostnCxCCaaall 2cossincossintnCyCCaaall 2( sincos )OxmlF2(cossin )OymlFmg解得解得2( sincos )OxFml 2(cossin )