2025北京初三一模数学汇编：几何综合（第27题）

2025北京初三一模数学汇编

几何综合（第27题）

一、解答题

1.（2025北京海淀初三一模）如图，在VABC中，AB=AC,ZABC=a（O°<a<45°）,于

将射线助绕点B顺时针旋转45。得到射线3M,过点C作BM的垂线交于点E,交射线及1于点

连接£».

A

BDC

（1）依题意补全图形，并求N£E>C的大小（用含a的式子表示）；

（2）在DC上取点G,使DG=AO,连接EG.用等式表示线段EG,Ab与CB的数量关系，并证明.

2.（2025北京通州初三一模）以AB为斜边在它的同侧分别作RtAABC和Rt^ABO,其中

NC=/D=90o,AC=8C,BC、AZ）交于点E.

（1）如图1,当AD平分NG4s时，求证：BE=42CE;

（2）如图2,在上取一点尸，使得”=皮>,连接EB,过点C作COLA。，分别交AD、FB于点0、

点H.

①依据题意补全图形；

②求证：H是的中点.

3.（2025北京丰台初三一模）如图，在VABC中，AB=AC,ZBAC=a（0°<a<90°）,M为BC延长线上

一点，过点3作射线&V_LAB,。为射线3N上一点（不与点B重合），连接AD.将线段AD绕点A逆时

针旋转a得到线段AE,连接CE.

（1）求证：NCBD=/ECM；

（2）连接CO,作跖〃CD,交射线3M于点厂.连接BE交AC于点G,若CD_LBD,用等式表示线段CG

与功的数量关系，并证明.

4.（2025北京西城初三一模）在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,p为边BC上一点,点8与点E关于直

线AP对称，过点8作2C的垂线，交线段C4的延长线于点O,连接DE交直线"于连接BE,CE,

^ZBAP=a.

（D如图，当0。</<45°时.

①求/ACE的大小（用含a的式子表示）；

②请用等式表示线段EH,DE,CE之间的数量关系，并证明；

⑵当45。<a<90°时，请直接写出线段E",DE,CE之间的数量关系.

5.（2025北京朝阳初三一模）在正方形ABCZ）中，E为AD边上一点（不与点A,。重合），将线段CB沿

直线CE翻折，得到线段CP,连接ED并延长，与线段CE的延长线相交于点G,连接AG.

（1）依题意补全图形；

⑵求/CGb的度数；

（3）用等式表示线段AG与。尸的数量关系，并证明.

6.（2025北京初三一模）在正方形ABCD中，E为2c上一点，点M在A8上，点N在DC上，且

MNLDE,垂足为点?

（1）如图1,当点N与点C重合时，求证：MN=DE；

（2）将图1中的向上平移，使得尸为。E的中点，此时"N与AC相交于点

①依题意补全图2；

②用等式表示线段MH,HF,FN之间的数量关系，并证明.

7.(2025北京初三一模)如图，在VABC中，AB=AC,N54C=90。，点。是VABC内一点，且

CD=CA.

(2)将线段DA绕点D顺时针旋转90。得到线段DE,连接AE交CD于点F.

①依题意补全图形；

②若点尸恰是CD的中点，用等式表示AE与之间的数量关系，并证明.

8.(2025北京初三一模)在VABC中，AB=AC,D是边BC上一动点"连接A。，将AD绕点A逆时针

旋转到AE的位置，使得NZME+NB4c=180。.

图I图2

(1)如图1,当NBAC=90。，连接8E交AC于点/，若BE平分/ABC,BD=2,

①贝UNBCE=；CF=；

②求AF的长；

(2)如图2,连接班，取BE的中点G,连接AG,猜想AG与存在的数量关系，并证明.

9.(2025北京房山初三一模)如图，在VABC中，ABAC=9Q°,AB=AC,。是AB边上一点.E为BC

的中点.将线段DC绕点。顺时针旋转90。得到OF,连接AF.

(1)依题意补全图形；

(2)若点N是AF的中点，连接和A®,猜想线段ND与AE的数量关系和位置关系，并证明.

10.(2025北京大兴初三一模)己知正方形ABCD,点E是BC边上一点(不与点8,C重合)，将线段3E

绕点B顺时针旋转a(45°<a<90°)得到线段BF,作射线AF,将射线AF绕点A逆时针旋转45。得到射线

AH,过点。作DM〃加1交A尸于点连接

（1）求NMOC的大小（用含a的式子表示）；

（2）用等式表示线段8尸,MfOM的数量关系，并证明.

11.（2025北京初三一模）在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD23c于点D点M,N分别是

AB,AC上的动点，且满足AM=AV.连接3N,交AD于点E,过点M作血尸，3N,交BC于点尸，

垂足为H.

（1）如图1,当AE=AN时，求证：BM=BF；

（2）如图2,当AEHAN时，依题意补全图形，用等式表示线段OE与防的数量关系，并证明.

12.（2025北京平谷初三一模）已知线段AB,将线段A3绕着点8顺时针旋转1（00<&<180。）得到线段

BC,再将线段BC绕着点C逆时针旋转口（0。<，<180。）得到线段CD,连接AC,点A、B、。恰好在一条

直线上.

图1图2

（1）如图1,求a与。的数量关系；

3

（2）如图2,当a=g£时，过点A作。C的垂线交。C的延长线于点E,取AC的中点歹，连接8尸，在FC

上截取尸G=EB,连接EG,依题意补全图形；判断线段EG与的数量关系，并证明.

13.（2025北京石景山初三一模）如图，在VA3C中，AB=AC,ZBAC=a,。是8C的中点，E是线段

上的动点（不与点8,。重合），连接AE.尸是AE的中点，线段FE绕点尸逆时针旋转a得到线段

FH,连接/V/,EH.

(1)求NAHE的大小；

(2)连接判断。”与AC的位置关系，并证明.

参考答案

1.(1)ZEDC=90°-2cr

Q)AF=EG+®CF,证明见解析

2

【分析】(1)根据要求画出图形，证明/。期/=45。-1,再证明N£DC=2NO3M,即可得到结论；

(2)过点C作下于H,连接证明==则8,E,H在以。为圆心，BO为半径

的圆上.得到NHDE=2ZABE=90。.证明△ADa四△GDE.得到A?/=EG.求出

FH=CFcosZBFE=—CF.即可得到结论.

2

【详解】(1)解：如图所示:

如图，：射线54绕点B顺时针旋转45。得到射线BM,

?.ZABM=45°

:./DBM=ZABM-ZABD=45°—tz.

AB=AC,A£)于。.

/.BD=DC.

CE_L3M于E,

NBEC=90°.

：.ED=-BC=BD.

2

NEDC=NDBM+NDEB=2NDBM.

'：ZDBM=45°-a,

：.ZEDC=90°-2a.

(2)线段EG,AT7和C/的数量关系为AP=EG+且CE.

证明：过点C作C^/，B尸于H,连接如图所示.

F

JZCHB=ZCHF=90°.

BD=DC,

：.DH=-BC=BD.

2

•・•由(1),BD=DE,

:.DH=BD=DE.

：.B,E,H在以。为圆心，BO为半径的圆上.

JZHDE=2ZABE=9Q°.

丁ZADC=90°.

ZADC=NHDE.

：.ZADC-ZHDC=ZHDE-ZHDC.

：.ZADH=ZGDE.

•：AD=GD,DH=DE,

J公ADH沿AGDE.

:・AH=EG.

*：^ABE=45°,ZCEB=90°,

JNBFE=45。.

*：/CHF=90。,

・•・FH=CFcosZBFE=—CF.

2

,:AF=AH+HF,

・•・AF=EG+—CF.

2

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形、圆周角定理直角三角形的性

质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键.

2.(1)见解析

⑵①见解析；②见解析

【分析】(1)过点E作石G,至于点G,由角平分线的性质得到EC=EG,由sin/CR4=^=也得到

BE2

BE=72EG.即可证明结论;

（2）①按照题意补全图形；②连接CP、CD.证明oAB四,3CD（SAS）,得到CF=CD,由尸0=8及

FOFH

胃=株得到FH=HB,即可得到结论.

ODHB

【详解】（1）证明：如图1,过点E作石于点G,

4）平分NCAB,石G_LAB,NC=90。，

图1

:.EC=EG,

NC=90,AC=BCf

:.ZCAB=ZCBA=45°,

sinZCBA=-=—

BE=J1EG，

BE=42EC.

（2）①依据题意补全图形;

:.NOCE=/CBD,

ZACB^9Q0,

NOCE+^ACO=90°,

..NOCE=NCAD,

:"CAD=/CBD,

在△ACF和中

AC=BC,

<ZCAD=/CBD,

AF=BD,

.-.AACF^BCD(SAS),

:.CF=CD,

CHLAD,

:.FO=OD,

CH//BD,

.FO_FH

,~OD~HB'

:.FH=HB,

.•.H是用的中点.

【点睛】此题考查了角平分线的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性

质，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定是关键.

3.(1)见解析

(2)CG=|EF,理由见解析

【分析】(1)根据旋转的性质求得=/DAE=a,证明」ABD-ACE(SAS),求得

ZABD=ZACE,再根据等腰三角形的性质即可证明=

(2)先求得NEFH=ZABC,作庾〃47交9于点H,证明△5DC之,BC=CH,再证明CG

是△班H的中位线，据此即可得到CG=g防.

【详解】(1)证明：・・,将线段AD绕点A逆时针旋转。得到线段AE,

AAD=AE,ZDAE=a,

ZBAC=a,

：.ZBAD=ZCAE,

*：AB=AC,

：.ABD^,ACE(SAS),

：.ZABD=ZACE,

「BNLAB,

：.?ABD90?,

：.lABC?CBD90?,NACE=90。，

JZACB+ZECM=90°,

,:AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

；・NCBD=NECM；

(2)解：CGjEF,理由如下,

2

•；CD1BD,BD.LAB,

J.AB//CD,

,:EF〃CD,

EF//AB,

・•・ZEFH=ZABC,

焊EH//AC交BM于点H,

：.ZACB=NEHF,

:.NEFH=NEHF,

：.EF=EH,

VAAB£^AACE,NCBD=/ECH,

:.BD=CE,NBDC=ZACE,

・：EH//AC,

：.ZACE=ZCEH,

:./BDC=/CEH,

：._BDC^_CEH(ASA),

:.BC=CH,

丁EH//AC,

.BGBC1

••—"]«

GECH

；・BG=GE,

・・・CG是△BE”的中位线，

CG=-EH,

2

：.CG=-EF.

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，旋转的性质,

正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

4.⑴①45。+&；®DE=CE+2EH,证明见解析；

（2）DE=2EH-CE.

【分析】（1）①连接AE,BH,禾!!用等腰直角三角形的性质求得ZABE=ZAEB=90o_a,

ZAEC=ZACE,再利用四边形内角和来求解；②过点8作交DE于易得

BMD^BEC（SAS）,禾U用全等三角形的性质得到DM=CE,再利用对称性来求解；

（2）利用②的方法来求解.

【详解】（1）解：①连接AE,BH,如下图

尸为边BC上一点，点B与点E关于直线AP对称，

:.ZABE=ZAEB,AB^AE,NBAP=NEAP=a,

1QAO_

/./ABE=ZAEB=------------=90°-a.

2

在VABC中，ZBAC=90°,AB=ACf

.\ZABC=ZACB=45°,AE=AC,

:.ZAEC=ZACE.

ZABE+ZBAC+ZACE+ZAEB+ZAEC=360。,

.•.90°-cr+90o+90o-^+45o+ZBCE+45o+ZBCE=360°,

:.NBCE=a,

NACE=/ACB+N5CE=45。+a.

@DE=CE+2EH

证明：过点5作石交。石于M,

D

：.ZMBE=90°.

BDA.BC

：.ZDBC=90°,

:.ZDBM=ZCBE.

・・•在VABC中，ABAC=90°fAB=AC,

：.ZACB=ZABC=45°,

：.ZADB=ZABD=ZABC=ZACB=45°,

BD=BC,AD=AB=AE=AC,

・••点。，瓦瓦。在以点A为圆心，的长为半径的圆上，

；・NBED=NBCD=45。,

:.NBME=NBEM=45。,

JBM=BE.

在和V5EC中

BD=BC

<ZDBM=ZCBE,

BM=BE

：.BEC(SAS),

：.DM=CE.

:点B与点E关于直线AP对称，

，BH=EH,

:.ZHBE=ZHEB=45°,

:.NBHE=90°,

:.BH±ME,

:.EH=MH,

:.DE=DM+ME=CE+2EH.

(2)DE=2EH-CH

证明：同②的方法.

【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，

四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键.

5.⑴见解析

(2)45°

(3)DF=y/2AG,证明见解析

【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关

键.

(1)依题意补全图形即可；

(2)设/DCG=a,利用正方形和翻折的性质得到NFCG=ZBCG=90。—CF=CB=CD,再利用等

腰三角形的性质即可求出NCGF的度数；

(3)作AHLAG,交尸G的延长线于点X,连接3G,利用正方形和翻折的性质证明△ABGZA4DH,

得到AG=AH,GB=HD,推出AGH是等腰直角三角形，则有GH=0AG，等量代换即可得出结论.

【详解】(1)解：补全图形如图1所示：

图1

(2)解：设NDCG=a.

四边形ABC。是正方形,

:.CB=CD,/BCD=90。,

.\ZBCG=90°-a,

将线段CB沿直线CE翻折，得到线段b,

:.CF=CB,ZFCG=ZBCG=90°-a,

:.CF=CD,ZFCD=ZFCG-ZDCG=90°-2a

/./CDF=/F=18。。-"8=45。+。，

2

...ZCGF=ZCDF-ZDCG=45°.

(3)解：DF=^2AG,证明如下:

如图2,作AHLAG,交FG的延长线于点H,连接5G.

AHLAG,

图2

.\Z/MG=90°,

.四边形A5C。是正方形，

:.AB=AD,ZBAD=90°f

ZHAG+ZGAD=ZBAD+ZGAD,即/HAD=NG4B,

.将线段CB沿直线CE翻折，得到线段Cb,

:.GB=GF,NGBC=NF,

ZABG=900-ZGBC,ZAr)H=900—NCD产=90。一N尸，

:.ZABG=ZADH,

ADH(ASA),

:.AG=AH,GB=HD,

AG"是等腰直角三角形，GF=HD,

:.GH=y[2AG

:.DF=GF-DG=HD-DG=HG=y/2AG，

DF=-J1AG.

6.⑴见解析

(2)①见解析；②MH+FN=HF,见解析

【分析】(1)根据正方形的性质证明△BCMgACDRASA)即可；

(2)按题意补充图形即可；在切上截取BG=KV,连接EG交AC于点K,作CT〃肱V交AB于点T,

根据题意证明Rt△BCT2RtAC£>E(HL),丛EFG且△£>尸N(SAS),AAMH乌ATCGH(AAS)即可求解.

【详解】(1)证明：•••四边形A2CD是长方形，

ABC=CD,ZB=ZBCD,

*.•MN±DE,

：.NBCM+ZDCF=NDCF+Z.CDE=90°,

ZBCM=/CDE,

：.ABCM^ACDE(ASA)；

MN=DE；

(2)①过DE的中点尸作MVLDE,分别与AS、AC.CD交于点M、H、N,如图即为补全的图形；

图2

@MH+FN=HF,理由如下：

如图，在尸”上截取PG=WV,连接EG交AC于点K,作C7〃MN交AB于点T,

,/ABDC,

...四边形MTCN是平行四边形，

MT=NC,

MN±DE,

：.CTLDE,

由(1)知：CT=DE,ZB=ZDCE=90°,

在RtABCT和RtVDCE中，

\CT=DE

[BC=CD，

RtABCTRtAC£>£(HL),

BT=CE,

在_£FG和4DFN中,

FG=FN

</EFG=/DFN,

EF=DF

：.△EFGg△DWV(SAS),

:.EG=DN,/EGF=/DNF,

：.EG//CD//AB,

；・GE1BC,

•・•NACB=45。，

・•・ZiCEK是等腰直角三角形，

:.EK=CE=BT,

•:AB=CD,MT=NC,

：.AM+BT=DN=EG=EK+KG,

:・AM=KG,

AB//EG,

：.ZMAH=ZGKHf

在和中，

NMAH=NGKH

<NAHM=NKHG,

AM=KG

：.AAMH乌△KGH(AAS),

:.MH=GH,

•；GH+FG=HF,

：.MH+FN=HF.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正

方形的性质确定全等三角形是解本题的关键.

7.⑴见详解

(2)①见详解；②AE=2BD

【分析】(1)设NB4D=a,则NZMC=NADC=90。—。，即可得解.

(2)①根据题意作图即可；②过点C作。加，”于点“，交AE于点、N,证QFE均CFN得

CN=DE=AD,再证；ACW2aBA。，得到皮＞=4N,得到M为AD中点，N为AE中点、,即可得解.

本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练作出辅助线是解题的关键.

【详解】(1)设

VAB=AC,ABAC=90°,

：.ZDAC=ZADC=90°-a9

：.ZACD=2a=2ZBAD.

(2)①

②AE=2BD,证明如下：

过点。作。0LAZ）于点M,交A£于点N,

・.•ZAMC=ZADE=90°,

：.CM//DE,

:・/EDF=/MCF,

・・・方恰是8的中点，

：.CF=DF,

又/DFE=/CFN,

：.DFE^,CFN,

:・CN=DE=AD,

■:ZACD=2ZACN=2ZBAD,

・・・ZACN=ZBAD,

：.ACN均BAD,

JBD=AN,

TM为A。中点，MN//DE,

.AN_AM

**^V-DM-'

・・・N为AE中点,

AE=2AN=2BD.

8.(l)@90°,2；②收

(2)AG=；CD,证明过程见详解

【分析】(1)①根据题意可证ABD^,ACE(SAS),得至IJ/ABD=NACE=45°,贝U

ZBCE=ZACB+ZACE=45O+45°=90°；如图所示，过点E作FPL3c于点尸，则NCP厂=90。，可得

CPb是等腰直角三角形，则CP=Pb,CF=&P，由角平线的性质定理得到E4=EP,设

CP=PF=AF=x,则CF=&x,AB=AC=(^2+^x,在Rt^ABC中，8c=(应+2)尤，

BP=(72+1)X,可证BPFs.BCE,得普=乌，由此列式求解即可；②根据上述计算得到

AF=FP=CP=x=4i，即可求解；

(2)如图所示，延长54到点M,使得54=AAf,则AC=AM,根据中位线得到AG=[EM,再证明

DAC^.EAM(SAS),得至lJC£>=EM,由此即可求解.

【详解】(1)解：①：人台=ACZBAC=90。，

VABC是等腰直角三角形，ZABC=ZACB=45°,ZBAD+ZDAC=90°

,/将AD绕点A逆时针旋转到AE的位置，ZDAE+ZBAC=180°,

AAD=AE,^DAE=90°,

ZDAC+ZCAE=90°,

：.ZBAD^Z.CAE,

在△ABD和△ACE中，

AB=AC

■ABAD=ZCAE,

AD=AE

ABD^,ACE(SAS),

：./ABD=NACE=45。，

ZfiCE=ZACB+ZACE=450+45°=90°；

如图所示，过点尸作EPLBC于点尸，则NCPR=90。，

图I

•••ZACB=45°,

CPb是等腰直角三角形，CP=PF,CF=-J2CP，

,/BF是/ABC的角平分线，ABAC=90°,

二FA=FP,

CP=PF=AF=x,贝!|CF=&X,AB=4C=AF+CP=x++,

在RtZ\ABC中，BC=yf2AC=yf2(x+A/2Xj+2x=(V5+2)x,

BP=BC-CP=®x+2x-x=<6+,x,

由(1)可得，一ABDgACE(SAS),则9=CE=2,NBCE=90。,

：・CE上BC,且FP_L5C,

:.FP//CE,

J；BPF^BCE,

.BP_FP

••一~,

BCEC

(V^+l)x尤

解得，x=^2，

CF=&x=6.义&.=2;

故答案为：90°,2；

②根据上述计算，AF=FP=CP=X=6.;

(2)解：AG=1cr>,理由如下，

证明：如图所示，延长BA到点使得B4=AM,则AC=AM,

・・•点A,G分别是8M班的中点，

JAG=-EM,

2

*：ZDAE+ZBAC=1800fZBAC+ZC4M=180°,

；・ZDAE=/CAM,

：.ZDAE-ZCAE=ZCAM-ZCAEf即"AC=NE4M,

在“DMC和E4M中，

AC=AM

<ADAC=ZEAM,

AD=AE

：.^DAC^EAM(SAS),

CD=EM,

：,AG=-CD.

2

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定

和性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质，合理作出辅助线，得到全等三角形，相似三角形是解题的关

键.

9.⑴见解析

⑵DN=NE,DNYNE

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，需要

通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段与WE的数量关系和位置关系.

（1）根据题意作图即可；

（2）延长AE至点。，使EQ=A£,延长㈤至点P,使DP=FD,连接Q尸，PA,CQ,CP,CF,根

据中位线定理可得。N=：PA,NE=^FQ,DN//PA,NE//FQ,可得口比。、△PCD和.PCF都是等

腰直角三角形，继而得到-AC。、以废和,EC。都是等腰直角三角形，证明PCA^..FCQ（SAS）,可得

PA=FQ,ZAPC=ZQFC,ZACP=ZQCF,从而得到DN=NE,延长上4,FQ,相交于点M,证得

PAVFQ,即可得到少N_LNE.

【详解】（1）解：如图所示，可得OC=ED,ZCDF=90°.

B!/E

/

F

（2）解：如图所示，延长至点。，使EQ=AE,延长ED至点尸，使。尸=㈤，连接。尸，PA,

CQ,CP,CF,

D、N、E分别是FP、AF.AQ的中点,

:.DN=；PA,NE=^FQ,

DN//PA,NE//FQ,

DC=FD,ZCDF=90°,DP=FD,

..DC=FD=DP5.CD±FD,

■■■">和△PCD都是等腰直角三角形，

PCF是等腰直角三角形，

:.PC=FC,NPCF=90。,

ABAC=9Q°,AB=AC,E是BC的中点，

AE±BC,AE=-BC=EC,

2

EQ=AE,

AE=EQ=EC,

.AC。、ZXACE和一EC。都是等腰直角三角形，

ZACQ=ZACF+ZFCQ=90°,ZFCP=ZACF+ZPCA=90°f

/PCA=/FCQ,

在△PCQ和中，

PC=FC

<ZPCA=ZFCQ,

CQ=CA

PCA^FCQ(SAS),

PA=FQ,ZAPC=/QFC,ZACP=/QCF,

DN=gpA,NE=^FQ,PA=FQ,

・•.DN=NE,

延长44,FQ,相交于点

在/K4C中，ZCAM=ZAPC+ZACP,

在工厂CQ中，ZCQM=ZQFC+ZQCFf

ZCAM=ZCQM,

在VAQM中，ZQAM=ZCAQ-ZCAM=45°-ZCAM,ZAQM=ZAQCZCQM=45°+ZCQM,

.ZQAM+ZAQM+ZM=180°,

45°-ZCAM+45°+ZCQM+ZM=90°+ZM=180°,

，ZM=90°,

PALFQ,

.DN//PA,NE//FQ,

DN工NE,

线段NO与AE的数量关系是DV=NE,位置关系是DV_LNE.

10.(l)^7WDC=9O°-«

(2)FM2^BF2+DM2,见解析

【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，构造

全等三角形，作出辅助线是解题关键.

(1)延长交54的延长线于点尸，根据平行线的性质得出/钻F+/ME4=180。，确定

ZMPA=90°-a,再由各角之间的等量代换即可得出结果；

(2)过点A作AK_LAF且AK=AF,连接的0,DK,根据全等三角形的判定和性质得出

ABF^ADK(SAS),BF=DK,ZABFZADK+a,确定，mW=90。，继续利用全等三角形的

判定和性质证明-空AMK(SAS),结合图形利用勾股定理即可得出结果.

【详解】(1)解：延长必)交班的延长线于点P,如图所示：

,/DM//BF,

：.ZABF+^MPA^Q°,

根据题意得：NEBF=a,

：.^ABF^90°+a,

：.^MPA^90°-a,

••,正方形ABCD,

二ZADC=^DAP=90°,

：.NMDC+ZADP=90°,ZADP+NAPD=90°,

NMDC=NDPA=90°-a；

(2)过点A作AK_LAF且然=AF,连接的0,DK,如图所示:

^FAK=^DAB=90°,

：.ZDAK+^DAF=ZDAF+ZFAB=90°,

/.NDAK=NFAB,

,/DA=AB,

.•.一AB尸四右ADK(SAS),

BF=DK,/ABF=NADK=90。+(Z,

由(1)得/MDC=90°-a,

ZKDM=360°-ZADK-ZMDC=90°,

:将射线AF绕点A逆时针旋转45。得到射线AH,AK±AF,

：.^HAF=ZHAK=45°,

"：AK=AF,AM=AM,

_AMF^AMK(SAS),

：.MF=MK,

在RtO7QW中，KM2=DK2+DM2,

FM2=BF2+DM2.

11.(1)证明见解析

Q)BF=2DE,证明见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的性质证明乙4(28=/45。=/&4£>=/。10=45。，结合AE=4V,可得

ZAEN=ZANE=1(180°-45°)=67.5°,再进一步的分别求解N3MF,/郎加即可得到结论；

(2)如图，连接CE,ME,证明似丝/MEN,BM=CN,可得EM=EN,ZAME=ZANE,证明

NBEM=NCEN,可得C,E,"三点共线，延长EM至K,使CE=EK,而BD=CD,ADJ.BC,可得

ED//BK,BK=2DE,BK1BC,再证明，BMKWaWF,可得BK=BF,从而可得答案.

【详解】(1)证明：VZBAC=90°,AB=AC,ADJ.BC,

：.ZACB=ZABC=ZBAD=ZCAD=45°,BD=CD=AD,

'：AE=AN,

ZAEN=ZANE=1(180°-45°)=67.5°

・•・ZBED=ZAEN=67.5°,

VBNIMF.AD±BC,

/EHF=NEDF=90°,

：.^HFD=360°-90°-90°-67.5°=112.5°,

ZBFM=180°-112.5°=67.5°,

JABMF=180°-45°-67.5°=67.5°,

ZBMF=ZBFM,

:.BM=BF；

(2)解：BF=2DE,理由如下：

如图，连接CE,ME,

*：AM=AN,ZMAE=ZNAE=45°,AE=AE,AB=AC,

:・AAEM空△AEN,BM=CN,

:・EM=EN,ZAME=ZANE,

VAD±BC,BD=CD,

：.EB=EC,

：.ABME经MNE,

：.ZBEM=ZCENf

・・・C,£,M三点共线，

延长EM至K,使CE=EK,而BD=CD,ADJ.BC,

：.ED//BK,BK=2DE,BKIBC,

丁NABC=45。，

・•・NMBK=45°=ZMBF,

■:MF工BN,ZBAC=90°,

ZMHN=90°=ZMAN,

：.ZBMH+ZAMH=180°=ZAMH+ZANE,

:.NBMH=NANE,

*.•ABMK=ZAME=ZANE,

ZBMK=ZBMF,

,:BM=BM,ZMBK=ZMBF=45°,

，.BMK^BMF,

：.BK=BF,

：-BF=2DE.

【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，

三角形的内角和定理的应用，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

12.(1)々=90。-；尸

(2)图见解析，EG=^BD.理由见解析

【分析】(1)由旋转的性质求得CB=CD,ZBCD=p,再利用等边对等角求得NCB£>=90。-：尸，再根

据ZABC+Z.CBD=180°,列式计算即可求解；

(2)先求得&=135。，0=90°,再证明AC是NE4n的平分线，再证明瓦W是等腰直角三角形，设

FG=FB=a,求得GN=CN力a,根据线段垂直平分线的性质求得EG=EC,据此求得=

【详解】(1)解：•••将线段A3绕着点3顺时针旋转仪0°<。<180。)得到线段BC,