第8章梁的弯曲变形

1、第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 概概 述述一、工程实践中的弯曲变形问题一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。常工作。 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。CL9TU1 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行则会使小车行走

2、困难，出现爬坡现象。走困难，出现爬坡现象。CL9TU2 但在另外一些情况下，有时却要求构件具但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。P2P2PCL9TU21.挠曲线挠曲线二、弯曲变形的基本概念二、弯曲变形的基本概念CL9TU3挠曲线挠曲线 微段变形累加的结果微段变形累加的结果梁的轴线变成梁的轴线变成光滑连续曲线光滑连续曲线 挠度挠度 w转角转角 dwdx2. 挠度和转角挠

3、度和转角规定：向下的挠度为正；顺时针的转角为正规定：向下的挠度为正；顺时针的转角为正CL9TU3挠曲线方程：挠曲线方程：)(xfw转角方程：转角方程： f xfx( )dd tan挠度挠度w：横截面形心处的铅垂位移。：横截面形心处的铅垂位移。转角转角：横截面绕中性轴转过的角度。：横截面绕中性轴转过的角度。梁的挠度曲线近似微分方程及其积分梁的挠度曲线近似微分方程及其积分一、梁的挠度曲线近似微分方程式一、梁的挠度曲线近似微分方程式Kyy()/123 2yf x( ) 曲线曲线 的曲率为的曲率为zEIM12/32)1 (1ww MwEIwEIMz 或w 梁纯弯曲时中性层的曲率：梁纯弯曲时中性层的曲率

4、：MwEI M 0CL9TU4xw0 wMMMMM 00 wxwMEId2 2wd dx2d2 2wd dx2MEI 2 22 2梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程:)(dd:)(22xMxwEIxMwEI 或二、用积分法求梁的变形二、用积分法求梁的变形式中积分常数式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定由边界条件和连续条件确定)(xMwEI CxxMwEId)(DCxxxxMEIwdd)( 没有约束无法确定位移没有约束无法确定位移 光滑连续条件：光滑连续条件：PCccccww 例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简。试求图示简支梁在均布载荷支梁在均布载荷q作

5、用下的转角方程、挠曲线作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定方程，并确定max和和wmax。CL9TU5xwlq解：解：M xqlxqx( ) 222222xqxqlwEI CxqxqlwEI3264DCxxqxqlEIw432412由边界条件：由边界条件：000wlxwx时，时，得：得：0,243DqlCxqlxwAB梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：)46(24332lxlxEIq)2(24332lxlxEIqxw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max ABqlEI324EIqlwwlx384542maxxqlxwABAB 例：已知梁的抗弯刚

6、度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬。试求图示悬臂梁在集中力臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定程，并确定max和和wmax。CL9TU6xwlPAB解：解：M xP lx( )() lPxPwEI CxlPxPwEI22DCxxlPxPEIw2326由边界条件：由边界条件：0, 00wwx时，得：得：CD 0 xwlPABx梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：)2(2lxEIxP)3(62lxEIxPw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max BPlEI22EIPlwwB33maxxwlPABxB 力

7、与位移之间的线性关系力与位移之间的线性关系 小变形小变形 基本荷载作用、各种支承形式的位移结果基本荷载作用、各种支承形式的位移结果 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。独作用下的变形，然后叠加。：q、l EI求求：wC , B刚体位移：刚体位移：变形后：AB AB BC BC变形后AB部分为曲线，但BC部分仍为直线。C点的位移为：w

8、c2LwwwwBBcBc梁的刚度计算梁的刚度计算刚度条件：刚度条件：maxmax www、是构件的许可挠度和转角，它们决定是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。于构件正常工作时的要求。 例：图示工字钢梁，例：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， w = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷的许可载荷 P，并校核强度。，并校核强度。CL9TU40解：由刚度条件解：由刚度条件500483maxlwEIPlw得PEIl485002所以 .P 711kNmaxmaxMWz所以

9、满足强度条件。PlWz460MPa 711.kN提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置用变形比较法解静不定梁用变形比较法解静不定梁一、静不定梁的基本概念一、静不定梁的基本概念 CL9TU50用多余反力代替用多余反力代替多余约束，就得多余约束，就得到一个形式上的到一个形式上的静定梁，该梁称静定梁，该梁称为原静不定梁的为原静不定梁的相当系统。相当系统。二、用变形比较法解静不定梁二、用变形比较法解静不定梁例：求图示静不定梁的支反力。例：求图示静不定梁的支反力。 解：将