案例4 局部脑血流量的测定

1、第二讲第二讲 局部脑血流量的测定局部脑血流量的测定问题提出问题提出一、分析分析 建模目的：确定脑血流系数的数学模型，并计算上述受试者的脑血流系数 实验表明，脑中放射性同位素增加的速率与当时呼出气的记数率成正比；而脑中放射性同位素下降的速率与当时脑局部的记数率成正比；其比例系数即为脑血流量系数-待求量。 某些假定建立一个比较简单的微分方程模型，我们先用一般差分公式离散微分方程，用最小二乘法拟合待求的脑血流量系数，并通过对测验点进行三次样条插值以减小离散化过程的截断误差。 二、假设二、假设 与记号与记号1. 脑部记数率上升只与脑部的放射性同位素有关， 上升速率与呼出气的记数率成正比 。2. 脑部记

2、数率下降只与该处脑血流有关，其下降速率正比于脑记数率。这里忽略了放射性元素的衰变和其他因素。3. 脑血流量在测量期间恒定。心脏搏动、被测试者大脑活动、情感波动等带来的变化可忽略。 4. 每次仪器测量为相互独立事件，各测量值无记忆关联。 5. 放射性同位素在人体内传递从吸入气体(含有放射物)开始，假定一次吸入，则认为瞬时在肺中达到最大浓度。 6. 吸入气体瞬时，脑中放射性记数率为零。 7. 脑血流量与脑血流系数成单值函数关系，求得后者，即可确定前者。 记号记号:)(th头部记数率:)( tp呼出气体记数率 :半衰期 :脑血流系数 :呼出气记数率系数 三、数学模型建立 微元分析法,:tttt,:h

3、hhhh仅与三个因素有关 1)肺动脉血将肺部的放射性同位素送到大脑，使脑部记数率增加 h12)脑血流将同位素带离，脑记数率下降 h23)放射性元素自身有衰减，由此引起的记数率下降为 h3 由医学实验和假设有)(, )(21thdtdhtpdtdh以及 tOtthht22ln21)(3 或 )(2ln3thdtdh其中ln2相当于衰变常数 所以考虑时刻内头部放射性元素记数率变化，有 )()()()(321ththththdhdtdhdtdhdtdhdt123dhdthph ln 2在测试时放射性同位素的半衰期一般很大 )()()(tpthdttdh四、模型求解 1.算法的建立和改进 在建立算法前

4、对 )(tp作了预测，由最小二乘拟合得到 ttp4807.11648.9)(ln)(tp可以认为是负指数曲线 ttAep0)0(h由解得hAeett此式由于形式复杂，不能利用最小二乘拟合 算法1 将式模型离散化，记时间间隔为T，利用前插公式得 hhThpnnnn 1hT hTpnnn11 算法2 从线性控制系统的角度来考察模型并运用控制理论 中的一些工具帮助求解 对模型作拉普拉斯变换得)()()0()(spshhssh该系统的传递函数 sspshsG)()()() (t p)(th)(th图1S )(sp)(sh图2结构框图 )( sP对进行采样，采样周期为T 由于采样得到是脉冲量，所以需要加

5、入一个保持器。若使用零阶保持器 sesHTs1)(1整个系统的广义传递函数 SsesGTs1)(1)(sp保持器S)(sh图3)(1sH)(1sG对作Z变换TTezezPzhzGsGZ1)()()()(11)()1 ()(zpehezzhTzT 得到采用零阶保持器离散化差分方程为 hehepnTnTn11()hThT pnnn11恰好是用一阶差分方法，离散微分方程后结果 注：)(1TOTeT一个含有T的所有高次项的高精度模型 保持器 222)1()(TseesHTsTshehTeTpTT eepnTnTnTTn 121211()() 2)用最小二乘法实现模型参数估计 含有T的所有高次项的高精度

6、模型，多个时刻的方程写成 kkkkeypxhh1)1(,TTeyex估计yx欲使残差平方和 Je eHHTT() ()minJ 0TTH1的估计值 五、测试和结论五、测试和结论算法 结果 算法测试 设定值 拟合值 直接前差分Z一变换法(零阶保持器) Z一变换法(三角保持器) 1.00001.00001.00001.00001.00000.8848结果 0.4700 0.5000 0.5001六、模型的优缺点六、模型的优缺点 上述的模型及算法是稳定的，递推得到的值也能够快速收敛，采用递推算法，减少了运算规模，加快了运算速度；使用样条扦值在一定程度上减小了截断误差。更主要的是自控概念的引入和Z-变