第三章扭转

1、第第 三章三章扭扭 转转返回返回3 31 1 概述概述3 33 3（2 2） 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3 32 2（3 3） 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3 34 4 圆轴在扭转时的应力圆轴在扭转时的应力 强度条件强度条件3 35 5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件3 36 6 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形3 37 7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念扭转扭转的受力特点的受力特点 ：在杆件的两端作用两个大小相等、：在杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。转向相反、且作用平面垂直于杆

2、件轴线的力偶。机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。 3 - 1 概概 述述扭转受力简图扭转受力简图扭转扭转的变形特点的变形特点：杆件的任意横截面都发生绕杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。杆件轴线的相对转动。mm 一，一， 薄壁筒扭转的应力薄壁筒扭转的应力用截面法求任一横截面用截面法求任一横截面 nn 上的内力上的内力mmlnn32 (3) 薄壁筒的扭转薄壁筒的扭转mnnmmlnnMn横截面上的应力只能是横截

3、面上的应力只能是 。薄壁圆筒扭转时其任一横截面薄壁圆筒扭转时其任一横截面 n-n 上的内力为扭矩，记作上的内力为扭矩，记作 Mn。mm预先在圆筒的表面画上预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的线，从而形成一系列的正方格子。正方格子。观察到的现象观察到的现象试验试验所有的圆周线都保持不变；所有的圆周线都保持不变；所有的纵向线都倾斜了一个相同的角度。所有的纵向线都倾斜了一个相同的角度。mm设想设想薄壁圆筒扭转后，横截面保薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。

4、轴线发生相对转动。mmABCD圆筒两端截面之间相对圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为转动的角位移，称为，用，用 表示。表示。圆筒表面上每个格子的圆筒表面上每个格子的直角的改变量直角的改变量，称为，称为。用。用 表示表示 。圆周各点处剪应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认圆周各点处剪应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。mmABCDdxtABCD mnnxr推导公式推导公式由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处的剪应力的剪应力 都是相等的，而其方

5、向于圆周相切。都是相等的，而其方向于圆周相切。dAMt)r(rdArrdAnAA 2r 为薄壁圆筒平均半径为薄壁圆筒平均半径mnnxrdAMntr2M2n上式为薄壁筒扭转时横截面上剪应力的计算公式上式为薄壁筒扭转时横截面上剪应力的计算公式mnnxrdAMn薄壁筒扭转时横截面上的剪应力均匀分布，与半径垂直，指向薄壁筒扭转时横截面上的剪应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致。与扭矩的转向一致。Mnxydydzabdzdxc0y (1) 在单元体左，右面（杆的横截面）在单元体左，右面（杆的横截面）上只有剪应力，其方向于上只有剪应力，其方向于 y 轴平行。轴平行。可知，两侧面的内力元素可知，两

6、侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组大小相等，方向相反，将组成一个力偶。成一个力偶。二，二， 剪应力互等定理剪应力互等定理由平衡方程由平衡方程( dy dz) dx其矩为其矩为0 x0 MZ(2) 要满足平衡方程要满足平衡方程xydydzabdzdxc在单元体的上，下两平面上必有在单元体的上，下两平面上必有大小相等，指向相反的一对大小相等，指向相反的一对内力元素内力元素dxdz 它们组成的力偶，其矩为它们组成的力偶，其矩为dz)dxdy(xydydzabdzdxc此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得dz)dxdy( d

7、y dz) dxxydydzabdzdxc：单元体两个相互垂直平面上单元体两个相互垂直平面上的剪应力同时存在，且大小的剪应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该相等，都指相（或背离）该两平面的交线。两平面的交线。xydydzabdzdxc单元体平面上只有剪应力单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元体而无正应力，则称该单元体为纯剪切应力状态。为纯剪切应力状态。xydydzabdzdxc式中，式中， r 为薄壁圆筒的外半徑为薄壁圆筒的外半徑mmABCDllrlrtg三，剪切胡克定律三，剪切胡克定律由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到mmABCDl薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 试验

8、发现，试验发现，当外力偶当外力偶 m 在某一范围内在某一范围内时，时， 与与 m （在数值上等（在数值上等于于 Mn ）成正比）成正比 MnooGtrMn22lr从从 Mn与与 之间的线性关系，之间的线性关系，可推出可推出 与与 间的线性关系。间的线性关系。该式称为材料的该式称为材料的 G 称为材料的称为材料的 剪切弹性模量剪切弹性模量 。其单位是。其单位是 Pa。剪切胡克定律只有在剪应力不超过材料的剪切屈服剪切胡克定律只有在剪应力不超过材料的剪切屈服 S极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。G)1 (2EGdxdydzxyzabd四，等直圆杆扭转时的

9、应变能四，等直圆杆扭转时的应变能1，纯剪切应力状态下的比能，纯剪切应力状态下的比能假设单元体左侧固定，假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下因此变形后右侧将向下移动移动 dx。 dx因为变形很小，所以在变形过因为变形很小，所以在变形过程中，认为上，下两面上的外程中，认为上，下两面上的外力将不作功力将不作功。只有右侧面的外只有右侧面的外力力 ( dydz) 对相应的位移对相应的位移 dx 作作了功了功。dxdydzxyzabd dx 当材料在线弹性范围内内工作时，当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此，单上述力与位移成正比，因此，单元体上外力所作的功为元体上外力所作的功为)(2

10、1)(21dxdydzdxdydzdW21dxdydzdWdVdWdVdUu 比能为比能为dxdydzxyzabd dx将将 = G 代如上式得代如上式得GGu222221 u思考题：指出下面图形的剪应变思考题：指出下面图形的剪应变 2 剪应变为剪应变为剪应变为剪应变为033（2） 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮nm2m1m31, 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮nm2m1m3一传动轴，转速为一传动轴，转速为 n转转/min ，轴传递的功率由主动轮输入，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出

11、。若通过某一轮所传递的功率为然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 Nk千瓦（千瓦（KW)，则作用在该轮上的外力偶矩则作用在该轮上的外力偶矩 m 可按以下方法求得可按以下方法求得。N 轴的转速轴的转速 ( r/min ) (kW).(559mKNnN.mK).(7mKNnPm (PS)nnmmxmx在在nn截面处假想将轴截面处假想将轴截开取左侧为研究对象截开取左侧为研究对象分析图示圆轴任一横截面分析图示圆轴任一横截面 nn上的内力。仍用上的内力。仍用 截面法截面法。11，扭矩和扭矩图，扭矩和扭矩图nnmmxmxMn横截面上的内力应是一个横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上力偶称为该横

12、截面上 扭矩扭矩0mxmMnmxMn取右侧为研究对象取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。数值相同但转向相反。mxnnmmxMnmxMn右手螺旋法则：当力偶矩矢的右手螺旋法则：当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，指向背离截面时扭矩为正，反之为负。反之为负。扭矩符号的规定扭矩符号的规定+用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。称为扭矩图。 m4A

13、BCDm1m2m3n例题例题：一传动轴如图所示，其转速：一传动轴如图所示，其转速 n = 300/min ，主动轮输入的，主动轮输入的功率为有功率为有N1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为三个从动轮输出的功率分别为N2 = 150 kW 、N3 = 150 kW及及N4 = 200 kW。试做扭矩图。试做扭矩图。解解:计算外力偶矩计算外力偶矩mkNm.9 .151mkNmkN.m.mm.37.6784432ABCDm1m2m3m4ABCDm1m2m3n0,0232MmmmnxABCDm1m3m4m222计算计算 CA 段内任横一

14、截面段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩截面上的扭矩 。假设。假设 M 2为正值。为正值。mkNmmMn56.9)(322结果为负号，说明结果为负号，说明M n2 应是负值扭矩应是负值扭矩BCxm2m3Mn2由平衡方程由平衡方程(-)ABCDm1m3m4m2同理，在同理，在 BC 段内段内mKN.-m-Mn78421在在 AD 段内段内mKN.mMn376431133m4Mn3m2Mn1注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同。相同。mkNMn56.92mKNMn.78.41mKNMn.37.63mKNMn56. 9max+4.7

15、89.566.37从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩在在 CA段内。段内。ABCDm1m2m3m4作出扭矩图作出扭矩图34 等直圆轴扭转时的应力等直圆轴扭转时的应力 强度条件强度条件预先在圆杆的表面画上预先在圆杆的表面画上等间距的纵向线和圆周线等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。从而形成一系列的正方格子。1 . 横截面上的应力横截面上的应力 试验：试验：mm 等直圆杆扭转变形后，等直圆杆扭转变形后，所有的圆周线都绕杆件的轴线所有的圆周线都绕杆件的轴线相对旋转了一个角度相对旋转了一个角度，圆周线的圆周线的形状和大小均未改变形状和大小均未改变; 观察到的现象：观察到的现象： 在变形

16、微小的情况下，所有在变形微小的情况下，所有的纵向线则倾斜了一个相同的的纵向线则倾斜了一个相同的角度角度 ：扭转变形中，圆轴的横截面象刚性平面一样扭转变形中，圆轴的横截面象刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。绕轴线旋转了一个角度。mmaabAO1O2MnMndxDbD几何方面几何方面倾角倾角 是横截面圆周上任一是横截面圆周上任一点点A 处的剪应变处的剪应变 , d 是是bb截面相对于截面相对于aa截面象截面象刚性平面一样绕杆轴转动的刚性平面一样绕杆轴转动的一个角度。（一个角度。（相对扭转角相对扭转角）d推导公式：推导公式：aabAO1O2MnMndxDbDd作一条与轴线平形且作一条与轴线平形且距离

17、为距离为 的纵向线的纵向线 EG。纵向线纵向线 EG 也倾斜了也倾斜了一个角度一个角度 是横截面半径上任一点是横截面半径上任一点E 处的剪应变处的剪应变GEGdxdEGGGtgdxd此时式说明此时式说明 ：同一半径：同一半径 圆周上各点剪应变圆周上各点剪应变 均相均相同同 ，且其值与，且其值与 成正比。成正比。 aabAO1O2MnMndxDbDdGEG物理方面物理方面由剪切胡克定律由剪切胡克定律GdxdGG同一圆周上各点剪应力同一圆周上各点剪应力 均相同均相同 ，且其值与，且其值与 成正比成正比 ， 垂直与半径。垂直与半径。aabAO1O2MnMndxDbDdGEG静力学方面静力学方面整个横

18、截面上的内力元素整个横截面上的内力元素 的合力必等于零，并组成的合力必等于零，并组成一个力偶这就是横截面上的一个力偶这就是横截面上的扭矩。扭矩。roMndAdAMdAdxdGnAMdAnAroMndAdAdxdGGPAIdA2MdAdxdGnA2GIMdxdPnIMpndxdGGGIMdxdPnroMndAdA上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式ApdAI2称为横截面对圆心的称为横截面对圆心的 极惯性矩极惯性矩式中：式中：Mn 为横截面上的扭矩；为横截面上的扭矩； 为求应力的点到圆心的距离：为求应力的点到圆心的距离：IMpnroM

19、n(1) 横截面周边各点处，剪应横截面周边各点处，剪应力将达到最大值。圆心处的力将达到最大值。圆心处的剪应力为零。剪应力与剪应力为零。剪应力与 成成正比。且垂直于半径。指向正比。且垂直于半径。指向与与 Mn 的转向一致。分布图的转向一致。分布图如图如图 所示。所示。说明：说明：IMpnmaxmaxIWpnnnPnPnWMIMIMmaxmaxmaxWn 称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或或 m3。roMnmaxdAIAP2抗扭截面抗扭截面模量模量公式公式11， 极惯性矩及抗扭截面模量极惯性矩及抗扭截面模量极惯性矩公式极惯性矩公式maxIWpnmaxIWpndo实心圆截面

20、实心圆截面 )(2ddAddAIAP23242ddAIAP16232234maxddddIIWPPtDdod空心圆截面空心圆截面其中其中DdddAIAAP322)-1 (32324444D)d-D()1 (16232)(24344maxDDdDDIIWPPtDdo空心圆截面上的应力分布空心圆截面上的应力分布MnIMpn 圆轴扭转时圆轴扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作剪应力度条件应该是横截面上的最大工作剪应力 max 不超过材不超过材料的许用剪应力料的许用剪应力 。111，圆轴扭转时的强度条件，圆轴扭转时的强度条件一，强度

21、条件一，强度条件圆轴扭转时的最大工作剪应力圆轴扭转时的最大工作剪应力 max 发生在最大扭矩所在发生在最大扭矩所在横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点）横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点） ，maxmaxWMnn 根据上述条件，可以解决三个方面的问题根据上述条件，可以解决三个方面的问题 （1）强度校核）强度校核（2）截面设计）截面设计 （3）确定许可荷载）确定许可荷载强度条件为强度条件为 例题例题： 图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，AB段的直径段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为。扭转力偶矩为 mA = 22 kN.m， mB

22、 = 36 kN.m ， mC =14 kN.m 。已知材料的许用剪应力。已知材料的许用剪应力 = 80MPa，试，试校核该轴的强度。校核该轴的强度。 ABCmAmBmCABCmAmBmC解解：作轴的扭矩图作轴的扭矩图+2214mA = 22 kN。m，mB = 36 kN。mmC =14 kN。m 84.6416)12. 0(1022163331111max1MPadMWMnn3 .7116)1 . 0(1014163332222max2MPadMWMnn因此，该轴满足强度要求。因此，该轴满足强度要求。ABCmAmBmC+2214分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度 例题例题 ：实心圆轴

23、：实心圆轴和空心圆轴和空心圆轴（图（图a、b）材料、扭转力偶矩）材料、扭转力偶矩 m 和长度和长度 l 均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内外径之比均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为为 = 0.8 ，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比。的重量比。ld2D2ld1(a)(b)解：设实心圆截面直径为解：设实心圆截面直径为d1，空心圆截面的内、外径分别空心圆截面的内、外径分别为为 d2、 D2 ; 又扭转力偶矩又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，相等，则两轴的扭矩也相等，设为设为 Mn 。ld2D2ld1(a)

24、(b)2max1max已知：已知：21ttWW有有22max11maxtntnWMWM 21tntnWMWM ld2D2ld1(a)(b)16)1(164322311DWdWtt16)1(1643231Dd因此因此194.18 .0113412dD解得解得ld2D2ld1(a)(b)两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比横截面积之比，512. 0)8 . 01 (194. 1)1 (4)(4222122221222212dDddDAA 在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即

25、节省材料。轻，即节省材料。例题例题：图示空心圆轴外径：图示空心圆轴外径D=100mm，内径，内径d=80mm，m1=6KN.m，m2=4KN.m，材料的剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量G=80GPa。(1) 画轴的扭矩图画轴的扭矩图(2) 求轴的最大剪应力，并指出其位置求轴的最大剪应力，并指出其位置m1m2ABCll(1) 画轴的扭矩图画轴的扭矩图m1m2ABCllBC段：段：1m2CMn1Mn1+m2=0(-)2m2Cm1BMn2Mn2+m2-m1=0Mn2 =2KN.m AB段：段：(+)4KN.m-+2KN.mMn1 = -4KN.m最大扭矩发生在最大扭矩发生在BC段段Mnmax=4KN

26、.m(2) 求轴的最大剪应力，求轴的最大剪应力，并指出其位置并指出其位置m1m2ABCllMPaDMWMntn5 .34)1 (1643maxmaxmax max最大剪应力发生在截面的周边上最大剪应力发生在截面的周边上，且垂直于半径。，且垂直于半径。（1）圆轴扭转时的变形是用相对扭转角）圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件GIMdxdpn是计算等直圆杆相对扭转角的依据。是计算等直圆杆相对扭转角的依据。1，扭转时的变形，扭转时的变形GIMdxdpndxGIMdlpnl其中其中 d 代表相距为代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭

27、转角。的两横截面间的相对扭转角。长为长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算可按下式计算dxGIMdlpnl对于同一材料制成的等直圆轴（对于同一材料制成的等直圆轴（G ，Ip 为常量），当为常量），当只在两端受一对外力偶作用时（只在两端受一对外力偶作用时（ Mn 为常量为常量 ） ，从上，从上式可得式可得PnGIlMGIP 称作称作 抗扭刚度抗扭刚度)(mradGIMdxdPn（2）单位长度扭转角）单位长度扭转角在扭转问题中，通常限制最大的单位长度扭转角在扭转问题中，通常限制最大的单位长度扭转角 max 不不超过许可超过许可扭转角扭转角 。max 称作许

28、可称作许可单位长度扭转角。单位长度扭转角。11，刚度条件，刚度条件圆轴扭转时的刚度条件是圆轴扭转时的刚度条件是)(maxmaxmradGIMPn )(1800maxmaxmGIMPn例题例题 ：图示传动轴系钢制实心圆截面轴：图示传动轴系钢制实心圆截面轴。 距离分别为距离分别为 lAB = 300 mm 和和 lAC = 500 mm。轴的直径。轴的直径d = 70 mm ，钢的剪变模量为，钢的剪变模量为 G = 80 GPa。试求截面。试求截面 C 对截面对截面 B 的对扭转角。的对扭转角。， m2 = 955 Nm ， m3 = 637 N m。截面截面 A与截面与截面 B、C之间的之间的已

29、知已知： m1 =1592 N mm1m2m3lABlACBCA12m1m2m3lABlACBCA12 解法解法1 ：假设：假设 A截面不动，先分别计算截面截面不动，先分别计算截面 B、C 对截对截 面面 A 的相对扭转角的相对扭转角AB 和和AC 。ABradGIlMPABnAB34911052. 107. 03210803 . 0955与与m2转向同转向同m1m2m3lABlACBCA12 ABm1m2m3lABlACBCA12 radGIlMPACnAC34921069.107.03210805.0637与与m3转向同转向同ACAB截面截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角

30、 BC 为为rad.ABACBC41071转向与转向与 m3 相同相同m1m2m3lABlACBCA12 ACABABCm11BCGIlmPABBABC11解法解法 2 ：设截面：设截面 B固定不动固定不动，先分别计算先分别计算m1、m3 单独单独作用下截面作用下截面 C 对截面对截面 B 的的相对扭转角相对扭转角 BC1 和和BC2，然后叠加，即采用然后叠加，即采用叠加法叠加法。m1单独作用下截面单独作用下截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角 BC1 21BCBCBC IGllmPACABBC)( 32rad10714- .ABCm32BCGIlmPAB1 IGllmPACA

31、B)( 3转向与转向与m3同同m3 单独作用下截面单独作用下截面 C 对对截面截面 B 的相对扭转角的相对扭转角BC2，C 截面对截面截面对截面 B 的相对的相对扭转角扭转角m1ABClABlAC解法解法 3 ：设截面：设截面 B 固定不动固定不动BAACBCm3CmACmAC = - m3GIlmGIlmPACPACACAC3m2m2Am3mABmAB = m2GIlmGIlmPABPABABBA2m1ABClABlACBAACBCm3CmACGIlmGIlmPACPACACAC3m2m2Am3mABGIlmGIlmPABPABABBA2BAACBCGIlmGIlmPABPAC23rad10

32、7 . 14转向与转向与 m3 同同例题例题 ： 某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用 40 号钢的电焊钢管制成，号钢的电焊钢管制成，钢管外径钢管外径D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩，轴传递的转矩m=1.98KNm,材料的许用剪应力材料的许用剪应力 = 100MPa，剪变模量为剪变模量为 G = 80GPa ，轴的轴的许可许可扭角扭角 = 2 /m 。试校核轴的。试校核轴的强度和刚度。强度和刚度。DdtmmDdtmm解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩KNmmMn98. 1轴的内，外径之比轴的内，外径之比934. 02DtDDdmmDIWpn341

33、006. 22mmDIP45441082. 732)1 (Ddtmm由由81.11800maxmaxmGIMPn1 .96maxmaxMPaWMnn由由 MPadMn1 .96163maxmax将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 max=96.1MPad=47.2mm实心轴的直径为实心轴的直径为实心轴的截面面积为实心轴的截面面积为mmdA1749422实实空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为mmA5774)7176(222空空两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比横截面积之比，512. 0)

34、8 . 01 (194. 1)1 (4)(4222122221222212dDddDAA 在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴在最大剪应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。轻，即节省材料。例例 题题： 轴上有三个齿轮。轴的转速为轴上有三个齿轮。轴的转速为 n=183.5r/min , G=80GPa.齿轮齿轮 2 的传动功率的传动功率 P2=0.756KW，齿轮，齿轮4 的传动功率的传动功率 P4=2.98K W。轴的轴的 =40MPa， =1.50/m。设计轴的直径。设计轴的直径。m2m3m4m2m3m4mNm3 .392mNm1554画轴的扭矩图画轴的扭矩图+-39.3N

35、.m155N.mmNMn155max+-39.3N.m155N.m 163maxmaxmaxDMWMnnn由强度条件由强度条件mD02720. 由刚度条件由刚度条件 180321804maxmaxmaxDGMGIMnPnmD02970. 取取 D=30mmmNMn155max例题例题：圆轴如图所示。已知：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。 材料的许用剪应力材料的许用剪应力 =40MPa，轴的，轴的许用单位扭转角许用单位扭转角 =0. 8/m，剪切弹性模量剪切弹性模量G=80GPa。 试校核该轴的扭转强度和刚度。试校核该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3K

36、N.md2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m解：画扭矩图解：画扭矩图+8KN.m3KN.m.)( MPad213016108WT233t22d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m.)( MPad23616103WT133t111d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m. mGITP4018000222. mGITP69018000111例题例题：图示等直杆，已知直径：图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm， 材料的弹性模量材料的弹性模量G=80GPa， DB=1。试求：。试求：(1) AD杆的最大剪应力；杆的最大剪应力；(2

37、) 扭转角扭转角 CA。aa2am2m3mABCD解：画扭矩图解：画扭矩图aa2am2m3mABCD+m2m3m计算外力偶矩计算外力偶矩m DB= CB+ DC=1011802 )(GImaGImaPPm=292KN.m(1) AD杆的最大剪应力杆的最大剪应力Tmax= 3mMPaWTt769.maxmax aa2am2m3mABCD+m2m3m(2) 扭转角扭转角 CA CA= BA+ CB3321802300.)( GIamGIamPP例题例题：图：图 示一长为示一长为 l 的组合杆，由不同材料的实心的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内圆截面杆和空

38、心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度工作，其抗扭刚度 GaIPa ，GbIPb 。当此组合杆的两端各自固定。当此组合杆的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为 m 的扭转力偶的作的扭转力偶的作用。试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩用。试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩。mmlAB解：列平衡方程解：列平衡方程0 mxmmmba 这是一次超静定问题这是一次超静定问题mmmlABmbma变形相容条件是，内，外变形相容条件是，内，外杆的扭转变形应相同。杆的扭转变形应相同。变形几何方程是变形几何方程是bamba mmlABmbma物理关系是物

39、理关系是IGlmPaaaa IGlmPbbbb 代如变形几何方程，得代如变形几何方程，得补充方程补充方程mIGIGmbPbbPaaa mba mmlABmbma联立平衡方程和补充方联立平衡方程和补充方程程，解得：解得：mba mmlABmbmamIGIGIGmPbbPaaPaaa mIGIGIGmPbbPaaPbbb 36 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形一，弹簧丝内的应力一，弹簧丝内的应力密圈螺旋弹簧，它受轴向拉（压）力作用。设弹簧圈的密圈螺旋弹簧，它受轴向拉（压）力作用。设弹簧圈的平均半径为平均半径为 R，簧丝的直径为，簧丝的直径为 d，材料的剪变模量为，材料的剪变模量为

40、G。弹簧圈的有效圈数为弹簧圈的有效圈数为 n，试在弹簧的斜度，试在弹簧的斜度 5，且，且簧圈簧圈的直径比簧丝的直径大得多的情况下的直径比簧丝的直径大得多的情况下，推导这种弹簧的推导这种弹簧的应力与变形的计算公式应力与变形的计算公式(a)PRdP50 近似地认为簧丝横截面与弹近似地认为簧丝横截面与弹簧轴线（力簧轴线（力P）在同一平面）在同一平面d D可以略去簧杆曲率的影响可以略去簧杆曲率的影响解：先用截面法求得簧解：先用截面法求得簧杆横截面上的内力杆横截面上的内力。将杆的斜度它视为零度将杆的斜度它视为零度。簧杆的横截面上有两个簧杆的横截面上有两个内力分量即内力分量即( a)RdPPQT( b)Q

41、MnPPPPRMn（扭矩）（扭矩）PQ（剪力）（剪力）与剪力对应的剪应力，按与剪力对应的剪应力，按实用计算方法，可认为均实用计算方法，可认为均匀分布在横截面匀分布在横截面PRMn（扭矩）（扭矩）PQ（剪力）（剪力）( a)RdPPQT( b)QMnPPPdPAQ214 ( a)RdPPQT( b)QMnPPPd与扭矩对应的簧丝横与扭矩对应的簧丝横截面上最大剪应力为截面上最大剪应力为163max2dPRWMnndPR316( a)RdPPQT( b)QMnPPPdA163max2dPRWMnndPR316( a)RdPPQT( b)QMnPPPdA在靠近轴线的内侧点在靠近轴线的内侧点A处，总应力达到最大值处，总应力达到最大值( a)RdPPQT( b)QMnPPPd总应力最大值为总应力最大值为) 14(163max21maxRddPR当当14Rd时，时，dPR3max16( a)RdPPQT( b)QMnPPP可略去剪力的影响可略去剪力的影响163maxdPR弹簧的强度条件为弹簧的强度条件为( a)RdPPQT( b)QMnPPP163maxdPRK弹簧的强度条件为弹簧的强度条件为( a)RdPPQT( b)QMnPPP若若 d 与与 2R 之比