位移计算2-2012

1、9-5 9-5 图乘法图乘法 位移计算举例位移计算举例kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIydxEIMM0A=yEI01A=xtgEI01Aa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线直线kidxEIMM直杆直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0A注注：y0=x0tg表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。(x轴的轴的0点不同不影响结果点不同不影响结果)图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：a）EI=常数；常数；b）直杆）直杆？；c）两个弯矩图）两个弯矩图 至少有一个是直线。至少有一个是直线。 d）*Mk在在AB段内应保持同

2、号段内应保持同号* ，Mi可以不同号。可以不同号。竖标竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积面积A与竖标与竖标y0在杆的同侧，在杆的同侧， A y0 取正号，否则取负号。取正号，否则取负号。1几种常见图形的面积和形心的位置：几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线A=hl/3二次抛物线二次抛物线A=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线A=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线

3、次抛物线A=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点2当图乘法的适用条件不满足时的处理当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：方法：a）曲杆或）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积）时，只能用积 分法求位移；分法求位移；b）当）当EI 分段为常数或分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/421112 4216BPlPllEIEI= = ql2/2MMPMPP=1lMlqAB241133 248BqlqlllEIEID =例：求梁例：求梁B点转角位移。点转角位移。例：求梁例：求梁B点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。均非直线时，应

4、分段图乘再叠加。3PPaaa例：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4M3243122223 2222324aaPa aaaPaEIPaEI D= =a/2a/211 332 4aaPaEID =Pl/2l/2C例：求图示梁例：求图示梁C点的挠度。点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=DA5Pl/6？4非标准图形乘直线形非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3A1A2y1y2()bcadbdacl=226dc323bl2dc332a

5、l=2yydxMMki=2211AAMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。则取负。S = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）3264952364（3）9（2）32649（4）23696labdch+bah232dchl()226bcadbdaclS=b)非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线形 E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.3

6、1010 = 3.6465 104 N m2例：例： 预应力钢筋混凝土墙板单预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。点起吊过程中的计算简图。已知：板宽已知：板宽1m，厚，厚2.5cm，混凝土容，混凝土容重为重为25000N/m3，求，求C点的挠度。点的挠度。q=625 N/m2.2m0.8mABC解：解：q=2500010.025625 N/ m7折减抗弯刚度折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2200378P=10.8MPMq=625N/m2.2m0.8mABC1y13()cmm2 . 01026 . 03 .534 . 0555533. 02206465. 313=y

7、32y22202 . 2200211=533. 08 . 0321=y)(85. 01332211yyyEIC=D5552 . 2378322=4 . 08 . 0212=y3 .538 . 0200313=6 . 08 . 0433=y8求求ABAB两点的相对水平位移。两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163M)()=EI-7563322318EI6436363112639632(=DEI618336318263626616kN2kN/m2kN/m 6m3m3mABEI=常数常数9 9 9 9999104kN4kN.m2kN/m12kN.m4m4mEIAB求求B5kN12844MP

8、kN.m1MkN.mqllEIB122411 3221122338224BVqlll qllqllEIEID=ql2/83ql2/2MPlM求求B点竖向位移。点竖向位移。()5 . 04181425 . 08264()5 . 085 . 0122641=EIB24 40.753 EI320=115m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020DAHEI=11255056101255023102352541210125252310 121010101310121020102310=31875 .EI=1594102.m求求

9、A点水平位移。点水平位移。12P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M求求B点的竖向位移。点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25 .023232212lqllqllqllqllEI8222822265 .0212222lqlEIlB432831122=DEIqlllqlEIB843231142=DylqlEIB283312102=DLq？ql2/8l/2？ql2/32y013求DVPPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/30000000000EAPPPPEADV3280434853553131=D13P14EAlNNdsEANNdsEANNPPP=

10、DllPllPdxEIMMdxEIMM1111=llPlPdxEIMMdxEIMM11201=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()llPdxMMMEI1211=lPdxMMEI011MPMPxqll1M1M1M215例例1：试求等截面简支梁：试求等截面简支梁C截面的转角。截面的转角。ql/5 4l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122lqlEIC2183212=EIql100333=M165m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510200.2111155 501.01026ABHA

11、BEID= 0 . 1214255320 . 132505210 . 132255211120 10 110 10 122 1/101/1011EI33.158=310791. 0=已知：已知：例例2 2：求图示结求图示结构构 ABAB杆杆的转角位的转角位移。移。EI =2 105kN m29-6 9-6 静定结构由于温度改变而产生的位移计算静定结构由于温度改变而产生的位移计算1）温度改变对静定结构）温度改变对静定结构不产生内力不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度改变沿截面高度为线性分布。）假设：温度改变沿截面高度为线性分布。

12、t1t2t0hh1h23）微段的变形）微段的变形(轴线的正应变和曲率轴线的正应变和曲率) dsdt0ds=0 该公式仅适用于该公式仅适用于静定结构静定结构=at0t1dst2ds()0kkMQNdsR cD =()11 22 10121hhth ttttthh=12ttt=D21()dttt dsdshdshaa=17曲率曲率:000tMNtMdsN t dshtMdstNdshaaaa = = = 正应变正应变:剪应变剪应变:例例1 1： 求图示刚架求图示刚架C C点的竖向位移。各杆截面为矩形。点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa01010CP=1P=11aMND=DthtNMc0aa=Dt1

13、0010ooo=t520100oo()a5a=haa315a=ah23102a18()0kkMQNdsR cD =2hABCll2ht2t解：先画出单位载荷作用下结构的弯矩图：ABCll1M =1ACB1P =2l()()122211272222CMtttttlllltlhhhaaaa DD = =()()1222111 1 257222BMtttttllthhhaaaa D= = 19例例2：例3：图示结构支座图示结构支座 B B发生支座沉降，已知发生支座沉降，已知 mmmm， c10002= .c20003= .杆杆ACAC制造时长了制造时长了 0.001 0.001m m，杆，杆BCDB

14、CD制造时作成了半径为制造时作成了半径为 200 m200 m的圆弧曲线，试求截面的圆弧曲线，试求截面 D D的角位移的角位移 。DABCD3m2m4mc1c2解：解：对于制造误差引起的位移，其计算方对于制造误差引起的位移，其计算方法可仿照温度变化时的计算思路，仅法可仿照温度变化时的计算思路，仅需将温度变化时所引起的弯曲变形和需将温度变化时所引起的弯曲变形和轴向变形分别以制造误差引起的相应轴向变形分别以制造误差引起的相应变形来代换即可。变形来代换即可。同时考虑支座沉降影响时，位移公式为：同时考虑支座沉降影响时，位移公式为：DD= N sMdsR ckk10()0kkMQNdsR cD =115

15、12计算单位荷载下的内力图计算单位荷载下的内力图代入位移计算公式得：代入位移计算公式得：DD= N sMdsR ckk10= 51200011200121231140002130003.= 0.0194（弧度弧度）计算支座反力：计算支座反力：13149-7 9-7 静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构静定结构由于支座移动不会产生内力和变形由于支座移动不会产生内力和变形，所以，所以 =0=0， =0=0， =0=0。代入代入得到：得到：cKKRcD = 仅用于静定结构仅用于静定结构abl/2l/2h1 10=AY1=BhX0=BY=1AhX()cKKB

16、aR cXahD = = = 弧度0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX()kkMQNdsR cD =20应用条件：应用条件：1)1)应力与应变成正比应力与应变成正比; ; 2) 2)变形是微小的。变形是微小的。 即即: :线性变形体系。线性变形体系。适用于超静定结构及支座移动情形，适用于超静定结构及支座移动情形，不适用于温度变化和制造误差情形。不适用于温度变化和制造误差情形。P1P2P1P2N1 M1 Q1GAkQEIMEAN2022222=GAkQE

17、IMEAN1011111=N2 M2 Q2一、功的互等定理一、功的互等定理dsGAQkQEIMMEANN121212 =dsGAQkQEIMMEANN212121功的互等定理功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的位移上作的功的功W12等于状态等于状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的功的位移上作的功W21。即：。即： W12= W219-8 9-8 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理21()0di iKKP+R cNQMsD=( )( )1212iiWP=D( )( )2121iiWP=D=Pl/2l/23Pl/16C

18、AC例：已知图例：已知图结构的弯矩图，结构的弯矩图，求同一结构求同一结构由于支座由于支座A转动转动引起引起C点的挠度。点的挠度。解：解：W12=W21 功的互等定理功的互等定理W21=0 外力虚功为外力虚功为0W12=PC3Pl/16 0 C=3l /1624 对于静定结构，支座移动和温度变化不引起支座反力和内对于静定结构，支座移动和温度变化不引起支座反力和内力。但温度变化可引起变形。力。但温度变化可引起变形。 对于超静定结构，支座移动和温度变化会引起支座反力和对于超静定结构，支座移动和温度变化会引起支座反力和内力。且内力可由相应静定结构通过支座反力计算得到。内力。且内力可由相应静定结构通过支

19、座反力计算得到。 支座移动时内力与变形成正比，是线性变形体系。温度变支座移动时内力与变形成正比，是线性变形体系。温度变化引起的变形与温度变化成正比，但与变形不成正比。因此化引起的变形与温度变化成正比，但与变形不成正比。因此功功的互等定理不适用于温度变化的情形。的互等定理不适用于温度变化的情形。已知图已知图a梁支座梁支座C上升上升0.02m引起的引起的D=0.03m/16，试绘图，试绘图b的的M图图.PRc(b)aa/2a/2ABCDD0.02m(a)Wab=0= Wba=PD+RC CRC=3P/323Pa/3225功的互等定理：功的互等定理：二、位移互等定理二、位移互等定理P1P2 位移互等

20、定理位移互等定理：在任一线性变形体系中，：在任一线性变形体系中，由单位荷载由单位荷载P1=1所引起的与荷载所引起的与荷载P2相应的位移相应的位移21等于由单位荷载等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载所引起的与荷载P1相应的位移相应的位移12 。2112PPD=D212121这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。第一个下标代表位移相应的荷载位置，第一个下标代表位移相应的荷载位置，第二个下标代表引起位移的相应荷载。第二个下标代表引起位移的相应荷载。1221D= D22()0di iKKP+R cNQMsD=121PP=例：图示同一结构的两种状态

21、，求例：图示同一结构的两种状态，求=？=A+ BP=1m=1m=1ABBA24由位移互等定理有：由位移互等定理有：注意：位移互等定理表述的是单位载荷作用的结果。实际载荷作用下宜采用功的互等定理。注意：位移互等定理表述的是单位载荷作用的结果。实际载荷作用下宜采用功的互等定理。 上式的含义是：如果由单位集中荷载上式的含义是：如果由单位集中荷载P=1所引起的相对转角所引起的相对转角 ( A+ B)为为5.8弧度弧度/千牛的话，则由单位广义力偶千牛的话，则由单位广义力偶m=1所引所引起的竖向位移起的竖向位移也为也为 5.8 /千牛。千牛。()0di iKKP+R cNQMsD=()11ABkNmkNmD=()11ABmkNmkND= ()ABABkNkNDD =三、反力互等定理三、反力互等定理c1c2k11k21k22k12 反力互等定理：反力互等定理：在任一线性变形体系中，由单位支座位移在任一线性变形体系中，由单位支座位移c1=1所引起的所引起的与支座位移与支座位移c2相应的支座反力相应的支座反力k21等于由单位支座位移等于由单位支座位移c2=1所引起的与支座所引起的与支座位移位移c1相应的支座反力相应的支座反力k12 。 注意