高二数学：课时2 乘法原理

1、的个数为自然数对则有序且若x，yx，Nx，6*15?.m3,m2,m1,321有多少种不同的方法有多少种不同的方法那么完成这件事共那么完成这件事共种不同方法种不同方法案中有案中有类方类方在第在第种不同的方法种不同的方法种方案中有种方案中有在第在第种不同的方法种不同的方法类方法中有类方法中有在第在第案案成一件事有三类不同方成一件事有三类不同方如果完如果完探究探究?,B,B,A,A,9162121同的号码同的号码总共能编出多少个不总共能编出多少个不教室里的座位编号教室里的座位编号的方式给的方式给以以阿拉伯数字阿拉伯数字九个九个个大写英文字母和个大写英文字母和用前用前思考思考 987654321AA

2、AAAAAAA987654321号号码码得得到到的的字字数数母母字字A.11.1.,.,1026,.所有可能的号码所有可能的号码的方法可以列出的方法可以列出用图用图两个步骤两个步骤这这后确定一个阿拉伯数字后确定一个阿拉伯数字英文字母英文字母过先确定一个过先确定一个得到一个号码必须经得到一个号码必须经字组成字组成伯数伯数和一个作为下标的阿拉和一个作为下标的阿拉母母号码必须由一个英文字号码必须由一个英文字个问题中个问题中而在这而在这码码都可以给出一个座位号都可以给出一个座位号个个一一个阿拉伯数字中的任何个阿拉伯数字中的任何一个或一个或个英文字母中的任何个英文字母中的任何用用个问题中个问题中在前一在

3、前一不同不同这个问题与前一个问题这个问题与前一个问题.11.1可能号码可能号码请你用树形图列出所有请你用树形图列出所有图图树形树形是解决计数间题常用的是解决计数间题常用的图图.5496,96:个不同的号码因此共有相同而且它们各不个号码字中的任何一个组成一个数都能与个英文字母的任意一个由于前我们还可以这样来思考.,:,号码是各不相同的号码是各不相同的数字组成的数字组成的每个英文字母与不同的每个英文字母与不同的字构成字构成母和一个阿拉伯数母和一个阿拉伯数每个座位由一个英文字每个座位由一个英文字字的出现字的出现和和最重要的特征是最重要的特征是上述问题中上述问题中?征吗征吗你能说说这个问题的特你能说说

4、这个问题的特探究探究 问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有天中，火车有3 3班，汽车有班，汽车有2 2班。那么两天中，班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 这个问题与前一个问题有什么区别？这个问题与前一个问题有什么区别？ 在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个个问题中，

5、必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地步骤，才能从甲地到乙地 解：因为乘火车有解：因为乘火车有3 3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2 2种走法，种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有共有 3 32 26 6 种不同的走法。种不同的走法。 分步计数原理分步计数原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步时有步时有m mn n种种不同的方法。那么完成这件事共有

6、不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。种不同的方法。nmmmN21 分步计数原理又称为乘法原理。分步计数原理又称为乘法原理。 分步计数原理分步计数原理(乘法原理乘法原理)中，中，“完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个个步骤步骤”，是说每个步骤都不，是说每个步骤都不足以完成这件事。如果完成足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个步骤，一件事需要分成几个步骤，各各步骤都不可缺少步骤都不可缺少，需要依，需要依次完成所有步骤才能完成这次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求件事，而各步要求相互独立相互独立，即相对于前一步的每一种方即相对于前一步的每一种方法，下一步有法，下一步有m种不

7、同的方种不同的方法，那么完成这件事的方法法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。数就可以直接用乘法原理。（2 2）B BA A?,.24,301多少种不同的选法共有表班级参加比赛选出男、女生各一名代现要从中名女生名设某班有男生例.2,1.,步步选选女女生生第第步步选选男男生生第第可可分分两两个个步步骤骤选选出出一一组组参参赛赛代代表表分分析析;30,130,1选法种不同有人名男生中选出从步第解;24,124,2种不同选择有人名女生中选出从步第.7202430,种不同的选取法共有根据分步乘法计数原理?,m3,m2,m1,321同的方法同的方法少种不少种不那么完成这件事共的多那么完成这件事

8、共的多的方法的方法种不同种不同步有步有做第做第种不同的方法种不同的方法步有步有做第做第种不同的方法种不同的方法步有步有做第做第个步骤个步骤如果完成一件事需要三如果完成一件事需要三探究探究?,n计数呢计数呢那么应当如何那么应当如何中都有若干种不同方法中都有若干种不同方法做每步做每步个步骤个步骤如果完成一件事需要如果完成一件事需要 ?,13 , 2 , 12?,11.23,32,412同取法有多少种不本书层各取从书架的第有多少种不同取法本书从书架中任取不同的体育书本层放有第本不同的文艺书层放有第本不同的计算机书层放有书架的第例 ;4,111:3,1种方法有本计算机书层取类方法是从第第类方法有从书架

9、上任取一本书解;3,122种方法有本文艺书层取类方法是从第第.2,133种方法有本体育书层取类方法是从第第.9234mmmN,321不同取法的种数是根据分类加法计数原理 :3,13 , 2 , 1个步骤完成可以分成本书层各取从书架的第2 2;4,111种方法有本计算机书层取步从第第;3,122种方法有本文艺书层取步从第第.2,133种方法有本体育书层取步从第第.24234mmmN,321不同取法的种数是根据分步乘法计数原理?,233有多少种不同的挂法问共墙的指定位置幅分别挂在左、右两边幅不同的画中选出从甲、乙、丙要例:,23可以分两步完成边墙上幅分别挂在左、右两幅画中选取从解;3,13,1方法

10、种有幅挂在左边墙上幅画中选从步第.2,12,2种方法有上幅画挂在右边墙幅画中选从剩下的步第.623N,不同挂法种数是根据分步乘法计数原理:6种挂法可以表示如下种挂法可以表示如下左边左边右边右边得到的挂法得到的挂法左甲右乙左甲右乙甲甲乙乙丙丙左甲右丙左甲右丙甲甲乙乙丙丙左乙右甲左乙右甲左乙右丙左乙右丙甲甲乙乙丙丙左丙右甲左丙右甲左丙右乙左丙右乙.,;,:.,件事件事步骤都完成才算做完这步骤都完成才算做完这只有各个只有各个依存依存各个步骤中的方法互相各个步骤中的方法互相题题问问分步分步的是的是分步乘法计数原理针对分步乘法计数原理针对事事可以做完这件可以做完这件用其中任何一种方法都用其中任何一种方法

11、都立立其中各种方法相互独其中各种方法相互独问题问题分类分类针对是针对是原理原理计数计数分类加法分类加法区别在于区别在于种数问题种数问题法的法的有关做一件事的不同方有关做一件事的不同方回答的都是回答的都是步乘法计数原理步乘法计数原理分类加法计数原理和分分类加法计数原理和分 练习、练习、（1 1）4 4名同学选报跑步、跳高、名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？名方法？ （2 2）4 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？个项目的冠军，共有多少种可能的结果？（3 3）某中学的

12、一幢）某中学的一幢5 5层教学楼共有层教学楼共有3 3处楼梯，处楼梯，问从问从1 1楼到楼到5 5楼共有多少种不同的走法？楼共有多少种不同的走法？（4 4）有）有n n个元素的集合的子集共有多少个？个元素的集合的子集共有多少个？5 5、要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分、要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？别上日班和晚班，有多少种不同的选法？6 6、某艺术组有、某艺术组有9 9人，每人至少会钢琴和小人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中号中的一种乐器，其中7 7人会钢琴，人会钢琴，3 3人会人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人，小号，从中选出会钢琴和会

13、小号的各一人，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？7 7、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？排列，共可以组成多少种不同的信号？ 例例4 4、（、（1 1）8 8张卡片上写着张卡片上写着0,1,2,0,1,2,7,7共共8 8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？组成多少个不同的三位数？ （2 2）4 4张卡片的正、反面分别写有张卡片的正、反面分别写有0 0与与1 1、2 2与与3 3、4

14、4与与5 5、6 6与与7 7，将其中的，将其中的3 3张卡片排放在张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？一起，共有多少个不同的三位数？ 例例5 5、自然数、自然数25202520有多少个正约数？有多少个正约数？ 例例6 6、书架上原来并排放着、书架上原来并排放着5 5本不同的书，本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同的插法有现要插入三本不同的书，那么不同的插法有多少种？多少种？?.91,ZUGA,3,5序序命命名名问问最最多多可可以以给给多多少少个个程程后后两两个个要要求求用用数数字字或或要要求求用用字字母母其其中中首首字字符符个个字字符符需需要要用用给给程程序序模模块块命命名名例例

15、.3;,2;,1:,类类而而首首字字符符又又可可以以分分为为两两符符步步选选最最后后一一个个字字第第选选中中间间字字符符步步第第选选首首字字符符步步第第可可以以分分三三个个步步骤骤要要给给一一个个程程序序模模块块命命名名分分析析.1367,.种选法首字符共有由分类加法计数原理先计算首字符的选法解.1053,10539913,.个程序命名即最多可以给个不同的名称最多可以有理由分步乘法计数原名称再计算可能的不同程序?吗吗你还能给出不同的解法你还能给出不同的解法 第10页：习题2 1-6选做（选做（2）?RNA,100RNA.,RNA.U,G,C,A,4.,RNA.RNA6分分子子少少种种不不同同的

16、的那那么么能能有有多多个个碱碱基基组组成成分分子子由由有有一一类类假假设设位位置置上上的的碱碱基基无无关关个个位位置置上上的的碱碱基基与与其其他他所所以以在在任任意意一一序序出出现现各各种种碱碱基基能能够够以以任任意意次次中中分分子子在在一一个个表表示示分分别别用用同同的的碱碱基基种种不不总总共共有有分分所所占占据据一一种种称称为为碱碱基基的的化化学学成成由由长长链链中中每每一一个个位位置置上上都都至至数数千千个个位位置置的的长长链链甚甚分分子子是是一一个个有有着着数数百百个个一一个个的的化化学学成成分分现现分分子子是是在在生生物物细细胞胞中中发发核核糖糖核核酸酸例例.U,G,C,A,100,

17、100任选一个来占据任选一个来占据中中每个位置都可以从每个位置都可以从个位置个位置这时我们有这时我们有个碱基组成的长链个碱基组成的长链用下面的图来表示由用下面的图来表示由分析分析位位第第1位位第第2位位第第3位位第第100种种4种种4种种4种种4 .4,U,G,C,A,.,100100充方法种填每个位置有中任选一个填入从置中从左到右依次在每个位如上图所示个位置个碱基组成的长链共有解长度为根据分步乘法计数原理,分子数目有的所有可能的不同RNA100.4444100个 4100个.NAR.,106.1460100资资料料的的有有关关阅阅一一下下以以自自己己查查的的同同学学可可有有兴兴趣趣数数非非常

18、常大大的的这这是是一一个个 ?,6763GB2?81:.8,.,10.,7表示表示字至少要用多少个字节字至少要用多少个字节每个汉每个汉要对这些汉字进行编码要对这些汉字进行编码个汉字为一个字符个汉字为一个字符一一个汉字个汉字包含了包含了码码计算机汉字国标码计算机汉字国标码同的字符同的字符最多可以表示多少个不最多可以表示多少个不位位一个字节一个字节问问个二进制位构成个二进制位构成每个字节由每个字节由最小计量单位最小计量单位据存储的据存储的其中字节是计算机中数其中字节是计算机中数多个字节来表示多个字节来表示每个字符可以用一个或每个字符可以用一个或需要对字符进行编码需要对字符进行编码字符字符为了使计算

19、机能够识别为了使计算机能够识别即二进制即二进制种数字的记数法种数字的记数法两两或或了每一位只有了每一位只有因此计算机内部就采用因此计算机内部就采用状态状态两种两种而这也是最容易控制的而这也是最容易控制的的高与低等两种状态的高与低等两种状态的通与断、电位的通与断、电位易实现电路易实现电路容容电子元件很电子元件很例例.,1 , 0,8数原理求解本题数原理求解本题因此可以用分步乘法计因此可以用分步乘法计字符字符同的同的而且不同的顺序代表不而且不同的顺序代表不两种选择两种选择值都有值都有每一位上的每一位上的个二进制位个二进制位由于每个字节有由于每个字节有分析分析;256222222222,.2,88个

20、不同的字符一个字节最多可以表示法计数原理根据分步乘种选择每位上有位一个字节有来表示一个字节用图解31.1位位第第1位位第第2位位第第3位位第第8种种2种种2种种2种种2 31.1图图 .256,256.2,6763,12种表示方法后一个字节也有种不同的表示方法前一个字节有能够表示多少个字符个字节我们就考虑用个字符不够不同用一个字节所能表示的知由.2,.6763,536652562562 ,个字节表示每个汉字至少要用所以要表示这些汉字的汉字个数经大于汉字国标码包含这已个不同字符示个字节可以表根据分步乘法计数原理?,?:.,41.1.,.),(.8以以减减少少测测试试次次数数吗吗法法序序员员设设计

21、计一一个个测测试试方方少少测测试试次次数数你你能能帮帮助助程程程程序序员员需需要要设设法法减减时时间间为为了了减减少少测测试试另另外外执执行行路路径径这这个个程程序序模模块块有有多多少少条条问问路路径径的的程程序序模模块块它它是是一一个个具具有有许许多多执执行行如如图图模模块块组组成成一一个个程程序序模模块块由由许许多多子子的的一一般般个个测测试试数数据据以以便便知知道道需需要要提提供供多多少少线线路路即即程程序序从从开开始始到到结结束束的的径径多多少少条条执执行行路路到到底底有有程程序序员员需需要要知知道道要要对对程程序序进进行行测测试试好好程程序序以以后后需需计计算算机机编编程程人人员员在

22、在编编写写例例条执行路径条执行路径子模块子模块181条执行路径条执行路径子模块子模块452条执行路径条执行路径子模块子模块283条执行路径条执行路径子模块子模块435条执行路径条执行路径子模块子模块384结束结束开始开始A.A2;A1:到到结结束束点点执执行行步步是是从从第第点点步步是是从从开开始始执执行行到到第第成成行行路路径径都都分分两两步步完完整整个个模模块块的的任任意意一一条条执执分分析析来来或子模块或子模块或子模块或子模块步可由子模块步可由子模块而第而第3211;完成完成.542来完成来完成或子模块或子模块步可由子模块步可由子模块第第.原理原理计数计数执行路径需要用到两个执行路径需要

23、用到两个一条指令在整个模块的一条指令在整个模块的分析分析因此因此,);(91284518321,条的子路径共有子模块或或子模块子模块由分类加法计数原理解);(81433854条的子路径共有或子模块子模块).(73718191,条有整个模块的执行路径共又由分步乘法计数原理.1724338284518.,5,.,试次数为总共需要测作是否一正常以考察每个子模块的工块个模它可以先分别单独测试这样来测试整个模块了正确的子模块的方式即通过只考察是否执行黑箱模块看成一个程序员总是把每一个子在实际测试中.632,21,需要测试次数为常之间的信息交流是否正步中的各子模块步中的各个子模块和第试程序第只需要测信息交

24、流是否正常再测试各个模块之间的 .1786172,.,次为试整个模块的次数就变测这样作正常那么整个程序模块就工息交流也正常并且各子模块之间的信工作如果每个子模块都正常.7371178,的差距是非常大的与显然?实现减少测试次数的吗你看出了程序员是如何?.3 ,3,33,.,9少辆汽车上牌照少辆汽车上牌照那么这种办法共能给多那么这种办法共能给多必须合成一组出现必须合成一组出现个数字也个数字也现现个字母必须合成一组出个字母必须合成一组出并且并且字字个不重复的阿拉伯数个不重复的阿拉伯数复的英文字母和复的英文字母和个不重个不重有有每一个汽车牌照都必须每一个汽车牌照都必须成办法成办法种汽车牌照组种汽车牌照组交通管理部门出台了一交通管理部门出台了一扩容扩容汽车牌照号码需要汽车牌照号码需要庭汽车拥有量迅速增长庭汽车拥有量迅速增长某城市家某城市家高高着人们生活水平的提着人们生活水平的提随随例例.6.,2,个个步步骤骤的的字字母母和和数数字字可可以以分分确确定定一一个个牌牌照照在在右右母母组组合合在在左左和和字字母母组组合合即即字字类类牌牌照照可可以以分分为为按按照照新新规规定定分分析析.,2类的字母组合在右另一一类字