第一章几何光学基本原理 (2)

1、绪论1.光学的研究内容： a.光的发射、传播和接收等的规律； b.光和其他物质的相互作用（吸收、色散、散射等）； c.光的本性； d.光在生产、生活中的应用。2.光学按内容可分为： 几何光学，波动（物理）光学，量子（分子）光学和现代光学。3.光学与生产实践的关系： 生产实践、科学实验推动了光学的发展，光学的发展为生产提供了实验手段和理论依据，生产技术发展反过来提出新的光学课题和研究条件。4.光学的研究方法： 在观察和实验的基础上，对物理现象进行分析、抽象和终合，进而提出假说，形成理论，并不断经受实践的检验。（实验-假说-理论-实验）5.光学发展的五个时期： a.萌芽时期(B.C.4A.C.15

2、) 观察到直进、反射和折射现象，发现镜面成像规律、建立反射定律，制成面镜眼镜、透镜、暗箱和幻灯等。 Euclid提出投射学说：光是从人眼向被看见的物体伸展着的某种触须似的东西。 b.几何光学时期(A.C.16A.C.18) 观察到衍射、干涉和偏振现象，建立折射定律，制成显微镜、望远镜。 L.Newton 提出微粒理论：光是按惯性沿直线飞行的微粒流。 C.Huggens 提出波动理论：光是一种在特殊弹性媒质中传播的机械波。 c.波动光学时期(18001900) 解释了干涉、衍射、偏振现象和物质发射、吸收光的现象，测定了光速。 J.C.Maxwell 提出电磁理论：光是电磁波。 这一时期除了黑体辐

3、射、光电效应和以“静止以太”为背景的绝对时空观存在无法解释的困难外，经典物理形成了一套严整的理论体系。 d.量子光学时期(19001960) M.Plank 提出辐射的量子论：各种频率的电磁波只能以一定分量的能量自振子辐射出，这种能量微粒子称为量子。光的量子称为光子。(1900年) A.Einstein把量子论贯穿到整个辐射和吸收过程中，提出光子理论：光是具有波粒二象性的光量子。(1905年) e.现代光学时期(1960) 1960年， 制成了历史上第一台激光器，激光的问世，标志着现代光学的开始，光学成为现代物理学的一块前沿阵地，并派生出许多崭新的分支学科，如付里叶光学、非线性光学、集成光学、

4、激光光谱学等。第一章 几何光学基本原理 几何光学：撇开光的波动本性，而仅以光的直线传播性质为基础，研究光在透明介质中传播的问题的光学。几何光学是成像的一级近似理论，仅适用于波面的线度远大于波长的情况；几何光学是波动光学的近似情况，用波面和“光线”代替了波长、位相、振幅等波动特征量；但几何光学具有直观、方便、不涉及光的本性问题的优点。§1几何光学的基本定律 一、光线和波面 “光线”表示光的传播方向的几何线，系一理想模型； 波面 波传播过程中的同位相面。 二、几何光学的基本定律 1.直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播。 2.独立传播定律：自不同方向或由不同物体发出的光线相交，对每一光

5、线的独立传播不相互影响。 3.反射定律(Euclid low):光通过两种介质的分界面时，入射光线、反射光线、法线在同一平面内；入射光线、反射光线分居于法线异侧；且反射角与入射角相等，即 4.折射定律(Snell low):光通过两种介质的分界面时，入射光线、折射光线、法线在同一平面内；入射光线、折射光线分居于法线异侧；且折射角与入射角满足关系：其中比例常数称为第二种介质相对于第一种介质的相对折射率。 某种介质相对于真空的折射率，称为该介质的（绝对）折射率；可以证明： 其中、分别为光在真空、介质中的传播速度；，以介质特性、光波波长有关。由可得： 5.光路可逆原理：光经多次反射和折射后，光路是可

6、逆的。 几点说明:a.光路可逆原理可由前面的定律推出，故称为原理； b.分界面可以是曲面，法线系指入射电处的曲面法线； c.关于“海市蜃楼”。§2费马(Fermat)原理 一、光程 光在真空中相距的两点A、B间传播所需时间为： 光在介质中相距的两点A、B间传播所需时间为： 由此可见，光在介质中经过路径所需的时间等于在真空中经过路径所需的时间。定义光程则不管光在什么介质中传播，只要光程相等，光的传播时间就相等。故光程具有折合路程的含义，光程可理解为相同时间内光在真空中传播的路程。 若光线连续经过几种介质1,2,k.则 若光线经过非均匀介质则 二、Fermat原理 光在指定的两点间传播，

7、实际的光程总是一极值。即光沿光程值为最小、最大或恒定的路径传播。极值（极小、极大或恒定值） 一般情况下，实际光程取极小值。 例：均匀介质中，光程取极小值，光沿直线传播（按几何公理，两点间最短的距离是直线）。 三、由Fermat原理推导折射定律 设分界面是M1平面，上下为均匀介质n1n2， 光通过A点后通过B点。 (1)过A、B两电作平面M2垂直于M1，交线记为 (2)折射点C一定在上 故入射面和折射面在同一平面内。 (3)设A(x1,y1) B(x2,y2) C(x,0)，则x1<x<x2,即C必在之间。 故入射线AC和折射线CB分居于法线N的异侧。 即 （可推出 ，故光沿光程为极

8、小值的路径传播） 四、光程取最大、恒定、最小的情况举例 =恒量 =极小 =极大 （镜面是旋转椭球面，、是两个焦点，是规定通过的两点）§3 单心光束 实像和虚像 一、几个概念 1.发光点（物点） 只有几何位置，没有形状大小的“光源”程为发光点（物点）。 若光线实际发自某点，则该点称为实发光点；若光线是等价于发自某点，则该点称为虚发光点。多个物点（发光点）的集合称为物。 2.单心光束 有一定关系的一些光线的集合称为光束。 自一发光点发出的许多光线构成的光束称为单心光束（或同心光束）。 均匀介质中，单心光束的波面为球面，若发光点在无穷远处，则单心光束的波面为平面。 3.像 自物点发出的光束

9、，经光学系统后，若仍是单心光束，则把此单心光束的交点（称为顶点或光心）称为光学系统对该物点的像点。多个像点的集合称为像。 若光线实际通过光心，则得实像；若光线的延长线通过光心，则得虚像。 二、人眼的特性 物像共异性 人眼不能看到光线本身，只能看到光束的光心。 人眼以直接刚刚进入瞳孔前的光线来判断光束的光心位置。 物像共性：物、像都不过是进入瞳孔的光束的光心（的集合）而已。 物像异性：物可向各个方向发光，而像只向某些方向发光。 §4光在平面上的反射和折射 由于反射、折射，单心光束不再保持单心性，保持光束单心性的问题，在适当条件下，可以得到解决。 一、光在平面上的反射 如图，P为发光点，

10、为分界面。由反射定律容易证明： = 即： 为一等腰三角形。故垂直平分，. 结论： 1.像点与物点相对于反射平面对称，像是虚像； 2.平面镜是最简单、但又能完善成像的光学系统。二、光在平面上的折射 如图，xoz面是介质分界面，设，为物点，是靠得很近的两条光线，各有关点的坐标为 则由图可推出 因单心光束是球面波，故可在一平面上考虑光线的分布，用两条光线找出像点的位置。而非单心光束不再是球面波，故需考虑光线的空间分布。 为此，将图绕oy轴旋转一小角度（考虑发出的狭窄空间光束），光束中的所有光线不相交于一点，而是相交于两条互垂的线段上，一条为所描出，另一条是，分别称为子午、弧矢像线（或焦线），这一现象

11、称为像散。 在垂直方向， 在水面上方沿垂直方向观察水中的物体，称为像似深度。三、全反射 由，即（系单调增函数）可知，若光从疏介质传入密介质中，即，则；当增大到某一值时，；故时，光线不再折射而被全部反射；这种只有反射光没有折射光的现象称为全反射，称为临界角： 光导纤维：直径约为的双层玻璃丝，结构如图所示，它具有弯曲传光、质轻、容量大、保秘性好等优点，应用于国防、医学、自控、通讯等领域中。可以证明，在介质中，只有在顶角小于的空间锥形体中的光线，能在光纤中传输。这里， 四、棱镜 1.棱镜：由两个或两个以上的不平行的折射平面围成的透明介质元件。三棱镜由两个折射棱面和一个底面构成。 三棱镜的主截面：垂直

12、于两折射棱面的截面。 三棱镜的顶角（棱角）：两折射棱面的夹角。 三棱镜的偏向角：入射光线与出射光线的夹角. 2.最小偏向角 按图可以证明：当（即)时，最小，记为. 故 利用上式可以测量棱镜材料的折射率. 3.利用棱镜改变光线传播方向（全反射棱镜） 4.利用棱镜分光（色散棱镜） 利用正常色散（即波长增大时，折射率减小）使复色光分为单色光。§5.光在球面上的反射和折射 一、符号法则 顶点O：讨论的部分球面的中心； 曲率中心C：球面的球心； 主轴：的连线； 主截面：过的任一平面。符号法则 1.光线与主轴的交点位置均从顶点算起，凡是在顶点的右方者，其间距离为正；凡是在顶点的左方者，其间距离为

13、负。物、像点到主轴的距离，在主轴上方者为正，在主轴下方者为负。 2.光线方向的倾斜角度均从主轴（或球面法线）算起，并取小于的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度为正；若沿逆时针方向转，则该角度为负。 3.在图中出现的长度量和角度量只能用正值表示。 二、球面反射对光束单心性的破坏 在和中应用正弦定律得： ， ，.应用反射定律 得：即： 结论：单心光束经球面反射后，单心性受到破坏，变为像散光束。 三、理想成像的条件近轴条件 要使基本重合为一点，即有明确的像点存在，必须满足条件： 即：光线必须是近轴的，物点必须是近轴的。 故几何光学也称为一级近似光学或高斯光学。 四、

14、球面反射的物像公式 近轴条件下 整理可得： 一定，对应于一定的物点，有唯一的像点，此像点称为高斯(Gauss)像点，上式称为高斯公式。 是共轭点，是共轭光线，分别称为物距、像距。 当时，平行光经球面反射后对应的像点称为反射球面的（主）焦点，到的距离称为焦距 故高斯公式可写为 以上讨论对凹球面、凸球面均成立。 五、球面反射成像作图法和横向放大率 1.几个概念 焦平面：经过焦点与主轴垂直的平面； 副 轴：经过曲率中心的任一直线； 横向放大率：像高与物高之比 2.作图法 以下光线中，视情况任取二条（e.只需一条）光线，即可作图求像。 a.平行于主轴的光线，经球面反射后，必然经过焦点； b.凡经过焦点

15、的光线，经球面反射后，必然与主轴平行； c.经过曲率中心的光线，经球面反射后，按原方向返回； d*. 经过顶点的光线，经球面反射后，反射光线与主轴的夹角等于入射光线与主轴的夹角； e.平行于副轴的光线，经球面反射后，必然会聚于焦平面与该副轴的交点上。 据光路可逆定律，知像求物时，可将像视为物，对其求出像，所得像即为所求物。 3.横向放大率 由图可得， 即： 故： 像的性质的判断： 像是放大的，像是缩小的； 同符号，像是正立的，像是倒立的； 若，则时是实像，时是虚像。 六、球面折射对光束单心性的破坏 如图， 由余弦定理得：A点移动，r是常数，是位置变量，由费马原理得，即： 故： ,单心光束经球面

16、折射后，成为像散光束。 七、球面折射成像的物像公式 近轴条件下，上式成为： 此即球面折射成像的(普遍的)物像公式。 1.光焦度:称为球面折射系统的光焦度。 单位：屈光度()， 2.物空间和像空间：物和像均可在球面两侧空间内，物和像所在空间是完全重叠的，为区别起见，定义入射光线所在的空间为物空间，出射光线所在的空间为像空间。 3.焦点、焦距 平行于主轴的光线经球面折射后和主轴的交点称为像方（第二）焦点，到顶点的距离称为像方（第二）焦距 若主轴上某一物点发出的光线经球面折射后成为行于主轴的光线，则该物点所在位置称为物方（第一）焦点，到的距离称为物方（第一）焦距 可见， 对于反射情况，数学处理上，可

17、以认为，于是，故此时焦点焦距可不区分物方、像方，物像公式变为，可见球面反射情况可视为球面折射情况的特例。 对于平均折射情况，可见平均折射情况可视为球面折射情况的特例。 4.高斯公式和牛顿公式 将普遍的物像公式两边同除以得：即： (Gauss formula) 若物距、像距不是从顶点，而是分别从物方、像方焦点算起，符号法则不变，如图所示，则 整理即得： (Newton formula)后面将看到，高斯、牛顿公式对其他光学系统也同样适用。 八、球面折射成像的作图法和横向放大率 1.作图法：在已知（或通过折算出）时，前述反射成像作图法则基本适用。 对于主轴上的物点或任意入射光线，已知时，不必算出，也

18、可直接作图求出其共轭的像点或共轭的光线。 2.横向放大率近轴条件下 据折射定律得：故： 将代入上式可得： §6 光在连续几个球面上的折射 1.共轴光具组 各个折射球面的曲率中心在一条直线上的光学系统。 2.逐个球面成像法-追迹法 对第一个球面来说是出射的折射光线，可视为第二个球面的入射光线；即将第一个球面所成的像，看成第二个球面的物，依次逐个地对各球面成像，最后可求出物体通过整个光学系统所成的像。可以证明： 3.虚物 入图所示， 对 是实像 对 是虚物 实物：发散的入射光束的顶点； 虚物：会聚的入射光束的顶点。 成像问题，重要的不是“光束的顶点是在物空间还是在像空间的问题”，重要的是

19、光线方向，虚物并不意味着虚无渺茫。§7 透镜 透镜：由两个共轴球面包围某种透明介质（如玻璃）而构成的光学元件。 凸透镜：中央厚边缘薄的透镜，一般是会聚透镜； 凹透镜：中央薄边缘厚的透镜，一般是发散透镜。 厚透镜：中央厚度与曲率半径相比不可忽略的透镜； 薄透镜：中央厚度与曲率半径相比可以忽略的透镜。 一、厚透镜的成像 如图所示，利用逐次成像法可得： 联立两式即可求出给定物的像。 二、薄透镜的成像 1.普遍的物像公式 注意薄透镜：，可得： 上式即薄透镜的普遍的物像公式。 2.焦点和焦距 会聚透镜，发散透镜. 3.光心和副轴 薄透镜可以认为重合在一起，记为.若则通过点的光线不变，此时称点为

20、光心。 副轴：通过光心的任意直线。 4.高斯公式和牛顿公式 将焦距的表达式代入普遍的物像公式中，即得： (Guass formula) 若物距、像距分别从算起，则上式变为： (Newton formula) 5.关于光焦度和焦距的讨论： a.由知，若，则;若，则,此时成像公式变为： b.由知，若，则 此即透镜制造者方程。若，则 ，当时,凸透镜：，是会聚的；凹透镜：是发散的。而当时,凸透镜：是发散的；凹透镜：，是会聚的。 三、薄透镜成像的作图法和横向放大率从图中可得： 四*、成像规律分析（见附录）§8 理想光具组 一、基点和基面 1.理想光具组 能够理想成像的光具组（即单心光束经过光具

21、组后仍然是单心光束的光具组）称为理想光具组。共轴光具组在理想成像条件（即近轴条件）下即为理想光具组。理想光具组可用等效光具组代替。 理想光具组中，物方的任一点（线、面）都与像方的任一点（线、面）共轭（这里“线”、“面”系指垂直于主轴的线、面）。本教程中只讨论理想光具组并简称为光具组。 基点和基面：焦点、主点、节点，焦平面、主平面。 2.焦点和焦平面 像方焦点 ：平行于主轴的入射光线，经光具组后与主轴的交点。或：与物空间主轴上无限远处物共轭的像点。 像方焦平面：过垂直于主轴的平面。 物方焦点：主轴上的一特定点，经此点的入射光线，经光具组后与主轴平行。或：与像空间主轴上无限远处像共轭的物点。 物方

22、焦平面：过垂直于主轴的平面。 3.主点和主平面 薄透镜，透镜平面是的一对共轭平面。 主平面：垂直于主轴的一对共轭平面。 主点：主平面与主轴的交点。 第一、第二主点（主平面）记为。 第一主平面：若过的光线与像空间对应的平行于主轴的光线的交点记为，过向主轴作垂直主轴的平面，则光具组对从处发出的光线产生的偏折，等效于对同一光线所产生的偏折。 第二主平面：若平行于主轴的光线与像空间对应的过的光线的交点记为，过向主轴作垂直主轴的平面，则光具组对平行于主轴的光线的光线产生的偏折，等效于对同一光线所产生的偏折。 结论的得出：光线与共轭，存在一特殊的光线，其共轭光线与距主轴的距离相等。此时，、是两对共轭光线的

23、（与，与）的交点，故、共轭（若为物，则为像，反之亦然）。是任意的，改变，在上移动，相应地，在上移动，轨迹都是平面，此两平面即主平面。故光具组的两个主平面是共轭平面，面上任一对共轭点到主轴的距离相等（）。 物方焦距 ：物方焦点 到第一主点 的距离。 像方焦距：像方焦点到第二主点的距离。 4.节点和角放大率： 节点：主轴上角放大率为1的一对共轭点. 角放大率： 二、作图法和物像公式 1.作图法 2.物像公式 由图可得，: : :由： 由： +： ,： /： ,： 0 ,： 三、基点的性质 1.若，则由得，.即若物在物方主平面上，则像在像方主平面上，且.由此得出结论：光具组的两个主平面是共轭平面，面

24、上任一对共轭点到主轴的距离相等（）。 2. 节点，故： 上式称为节点坐标（节平面方程）. 若，则，与、与重合在一起。 四、简单光具组的基点 1.（反射和折射）单球面 第一主点、第二主点即单球面的顶点，第一节点、第二节点即单球面的曲率中心. 2.薄透镜 第一主点、第二主点即透镜中心，第一节点和第二节点重合，且与相距.若，则，此时、与重合，称为光心。 五、组合光具组的基点 由图可知，光具组的第二焦点为，第二主点为。图中光具组间距，光学间隔，到的距离均遵循符号法则。 因为是光具组II的共轭点，故 ，即 同理可得，光具组的第一焦点为，第一主点为。若到的距离也遵循符号法则，则 六、厚透镜的基点 厚透镜可

25、以看成是两个单球面构成的组合光具组，如图所示。 附录光学系统成像的解析几何方法田家金 王继国 王世恩（蒙自师范高等专科学校物理系）摘 要 本文给出了光学系统成像问题的解析几何方法，即用解析几何及解析图形来解决光学系统的成像问题。 【关键词】 光学系统 高斯公式 双曲线 、引言 传统上，光学系统 (诸如反射、折射球面，透镜及其组合) 的成像问题，采用高斯(或牛顿)公式和横向放大率公式，或采用作图求像法来解决，以求出给定物的像的位置和大小、正倒、虚实等，但要得出不同区间的物的成像规律, 必须经过很多重复步骤的计算或作图才能得出结果，而且得出的结果是零散的,不易记忆。本文给出一般光学系统的解析几何方

26、法，与光学专业的同行商榷。 光学系统的解析几何表述 光学系统成像遵循高斯公式： (1)将(1)式变形得： 即 (2)令x=sf，y=s'f'，则(2)式变为: (3)(3)式的解析几何图形如图1 所示，为一双曲线。因此，由(2)式可知，高斯公式(1)也可由一双曲线表示(如图2 所示)。 在图2中, o'点的坐标为(2f,2f')， 直线s=f, s'=f'为双曲线的渐近线。 (1) s<0, 表示实物; s>0, 表示虚物。 (2)若s'>0, 则为实像; 若s'<0, 则为虚像。 (3)若图线处于第一和第

27、三象内, 则s'与s 符号相同，注意 f与f'符号相反,得 =y'/y=(fs')/(f's)>0, 即像是正立的; 若图线处于第二和第四象限内, 则s'与s符号相反, <0, 即像是倒立的。 (4)对会聚光学系统(f'>0), 在ao'段和od 段, |s|>|s'|, 像是缩小的; 在o'b 段和co 段，|s|<|s'|, 像是放大的。同样, 对发散光学系统(f'<0),在ao 和o'd 段, 像是缩小的, 而在ob 和co'段,像是放大的。 (5)若图2 绘在坐标纸上, 则对于给定的物点, 可从图中求出其共轭像点的位置,反之, 对于给定的像点，也可从图中求出其共轭物点的位置。 3.简单光学系统的解析几何法 上面的讨论是就一般光学系统即理想光具组进行的, 若光学系统是简单的, 则结论当然应成立。常见的简单光学系统, 如薄透镜, 折射单球面, 无论是会聚的还是发散的, 都分别遵循图2(a)或图2(b)给出的结果。例如, 从图2(a)中可以得出, 空气中会聚薄透镜(f=f')的成像规律: (1).若物是二倍焦距以外的实物, 则像是倒