第四章 正弦稳态相量分析(1).

1、1电路经典分析方法知识要点电路经典分析方法知识要点分析对象分析对象分析依据分析依据分析方法分析方法电路模型与电路变量连接约束与元件约束系统法、等效法、电路定理 线性电路普适分析方法内容分类内容分类电路方程电路方程概念与方法概念与方法分析对象分析对象直流分析直流分析代数方程系统法、等效法电路定理直流激励下 电阻 性有源与无源电路动态分析动态分析常微分方程时域分析法一阶与二阶 含动态元件电路正弦稳态正弦稳态分析分析复代数方程相量形式两类约束 相量电路模型 相量分析法一般含动态元件电路 三相电路 谐振电路 变压器电路2第第 4 章章 正弦稳态相量分析正弦稳态相量分析4.4 4.4 阻抗与导纳阻抗与导

2、纳4.5 4.5 正弦电路的相量分析正弦电路的相量分析4.6 4.6 正弦稳态功率正弦稳态功率4.2 4.2 正弦相量正弦相量4.1 4.1 正弦信号与正弦稳态正弦信号与正弦稳态4.3 4.3 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式4.7 4.7 三相电路分析三相电路分析3第第1 1节节 正弦信号与正弦稳态正弦信号与正弦稳态周期信号周期信号)()(nTtftf2, 1, 0n1 1、正弦交流信号：、正弦交流信号：) cos()(tUtfm三要素：三要素：2 2、相位差：、相位差：) cos()(111tUtum) cos()(222tUtum2112 则)2sin(cosxxTUcmt

3、mU幅值 初相)1( 2Tff角频率4 i1与与i2 反相反相i1与与i2 同相同相 i1超前超前i2 或或i2 滞后滞后 i1i1与与i2 正交正交53 3、正弦电流、电压的有效值、正弦电流、电压的有效值根据有效值的定义，则有 则周期电流的有效值为TdtTIi021TRTIRdti022 一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。（1 1）有效值的定义）有效值的定义6（2 2）正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值)cos()(imtIti对于正弦电流，设ImmmTm

4、TimTimIItTIdttTIdttITI707.02221)22cos(2)(cos120202022同理 mmUUU707.0217 4 4、正弦、正弦RCRC电路的分析电路的分析)cos()cos(imutItA有) 1 ( )() ( 22mmmIRUCUA)2( iu故 22)1()(RCIUmmCRtgiu 1)cos()(imSCCtItiRudtduC解：Ri)(tuCRC0t)(tiSCi已知 ， ，求 A )cos()(imStItiV0)0(Cu?)( 0tutC代入) cos() cos(1 ) sin( imumumtItURtCU80 ) cos()cos( tt

5、UeUuumtumC4/mUumUKtcos0 0umUKcos求K9正弦稳态正弦稳态正弦稳态分析正弦稳态分析 含有动态元件的线性稳定电路，在正弦信号激励下，当电路中暂态响应消失，电路中的各变量均为与激励信号频率相同、幅度和相位恒定的正弦量，称此时电路处在正弦稳态。对处于正弦稳态的电路中变量的求解和电路特性分析。正弦稳态电路正弦稳态电路稳态分析可以利用相量法进行，避免求解微分方程。10第第2节节 正弦相量正弦相量2、四则运算 11111XjbaX 22222XjbaX )()(212121bbjaaXX)(212121XXXX)(212121XXXX) sincos (jej欧拉公式：一、复数

6、abArctgbaXXeXXjXjbaXj sincos 221、表示：jXab|X|1为虚数单位1j11二、相量的概念（建立复数和正弦量的关系） 定义：振幅相量 mjmmUeUUUUeUj2mUU ，则在欧拉公式中令t sin cos tjtetj cosRe tetj sinIm tetj ) cos()( tUtum设tjmtjjmtjmeUeeUeUtu ) (ReRe Re)( 则有效值相量 12)cos(2111tIi11111 IeIIj讨论讨论1用相量可以唯一地表征一个频率已知的正弦量，21II 反之亦然。即，若21ii 则相量只能用来比较相同频率的正弦量；2相量对应一个正弦量

7、，但不等于正弦量；相量加上频率才能求得正弦量。3相量的表示方式数学表示sincosmmmjmmjIIIeIIsincosjIIIIeIj)cos(2222tIi22222 IeIIj13j0mItjmtjjmtjmeIeeIeI)(在实轴的投影即为正弦信号)cos()(tItim若相量mI从初相角, 以角速度绕0点逆时针旋转，则旋转相量在复平面上用有向线段表示相量， 称为相量图。相量图表示相量图表示+1)(ti14可证明正弦信号的运算与其向量的运算有如下关系：Iktki )(2121)()(IItitiItij ddj dIti三、相量的运算性质三、相量的运算性质则若 , )( Iti15例例

8、用有效值用有效值相相量表示下列正弦量量表示下列正弦量V)(cos200)(A)()57314sin(215)(A)()60cos(210)(21ttuttitti解:)A(60101 I)(1ti)A(33152I)V(02100U)(tu)233314sin(215)57314sin(215)(2ttti)33314cos(215t)2sin(cosxx16例例已知已知(A)60cos(4(A)30cos(621titi求求21ii 解：解：(A)9 .41cos(67. 921tii(A)32 . 530sin630cos63061jjIm(A)5 . 326042jIm(A)9 .416

9、7. 95 . 62 . 721jIImm17小小 结结1 1、正弦交流信号正弦交流信号：) cos()(tUtum三要素： 、mU2mUU 2 2、有效值、有效值: :3 3、相量的概念、相量的概念: :)cos()(tUtumUUeUj4 4、相量的运算、相量的运算: :Iktki )(2121)()(IItitiItijddjdIti则若 , )( ItiTUcmt18第第3 3节节 两类约束关系的相量形式两类约束关系的相量形式一基尔霍夫定律的相量形式一基尔霍夫定律的相量形式设电路中某节点有n条支路相连nkkti10)(将电流用相量表示0)Re(22Re)(tjktjkkeIeIti即0

10、kI反之，若对应的相量kI满足相量KCL，则有 0)(tik同理可知，KVL瞬时表示及其对应的相量形式为mkktu00)(mkkU00在单一频率的正弦稳态电路中， 为同一频率的正弦量。)(tikKCL的相量形式。KCLKCLKVLKVLnkkti10)(190j13I1I2I03 1I解：4904 2jI43 21jIIA5A 3的读数为例 已知求 A3表的读数。A cos23)(1ttiA )90cos(24)(2tti20例 已知 )60cos(10tuab V )120sin(8tubc V 求 acu 解: )90120cos(8tubc )30cos(8t 60210abU)66.8

11、5(21j 3028bcU)493.6(21j bcabacUUU )66. 493. 1 (21j 5 .6704. 521 (V) )5 .67cos(04.5tuac(V) 01jbcUacUabU21电流电压的瞬时值及其相量分别设为电流电压的瞬时值及其相量分别设为uUU 将基本元件的伏安关系用相量形式表示。可将微积分将基本元件的伏安关系用相量形式表示。可将微积分 运算化为简单的复代数运算。使得用相量法分析电路成为运算化为简单的复代数运算。使得用相量法分析电路成为可能。同时可更方便地比较同频率正弦量之间幅度和相位可能。同时可更方便地比较同频率正弦量之间幅度和相位关系。关系。以下讨论中假设

12、元件两端的电压与电流取关联参考方向。以下讨论中假设元件两端的电压与电流取关联参考方向。)cos()(imtItiiII)cos()(umtUtu二二元件元件VARVAR的相量形式的相量形式221.1.电阻元件电阻元件iummRIU即在关联方向下，电阻两端电压与电流同相位iuRIU写出相量形式为IRUuitRUIu= iUI对于线性电阻)()(tRitu)cos()( imtIti设232 2电感元件电感元件(1)瞬时VAR关系dtdiLtu)(90iudtdiLu )cos(imtIdtdL)sin(imtLI)2cos(imtLImmLIU(2)(2)相量相量VAR关系关系)(2ijmjmm

13、eILeILjUILjU2iuLIU电感两端电压超前其电流电感两端电压超前其电流2（关联方向）（关联方向）iUI在正弦稳态下，将 和 表达式代入上式)(tu)(ti)(tu)(tiL。243. 3. 电容元件电容元件(1)线性电容：dtduCi 2uiCUI电容电流超前其端电压相位2（关联方向）(2)相量形式VAR：UCjIICjICjU11将 和 的表达式代入微分VAR可知)(ti)(tuUIu)(tu)(tiC。250kIKCLKCL的相量形式。的相量形式。nkkti10)(mkktu00)(KVLKVL的相量形式。的相量形式。0kUiuRIUIRUILjU2iuLIU21iuICUICj

14、U1UILUCU26解：设解：设U为参考相量为参考相量由相量图得由相量图得)A(108622IU2I81I6I10例例 已知电流表读数已知电流表读数求求 的读数？的读数？)A(6)A(8，27正弦电压正弦电压例例(V)4560cos(12tu加到加到L=0.1H L=0.1H 的电感上，求流过该电感的正弦稳态电流。的电感上，求流过该电感的正弦稳态电流。(V)4512mU由电感元件相量伏安特性mmjILU(A)45290645121 . 060j4512jmmLUI(A)4560cos(2)(tti解：最大值电压相量UI28第第4 4节节 阻抗与导纳阻抗与导纳一欧姆定律的相量形式一欧姆定律的相量

15、形式1. 阻抗: 无源二端网络端口上电压相量与电流相量之比。jXRZIUZzX：电抗分量（等效）iuzIUZ R：电阻分量（等效）|Z|：阻抗模阻抗三角形：阻抗角Z（电压滞后电流）：N0为容性.0Z（电压超前电流）：N0为感性.0Z22XRZzRXZN0IU292导纳：jBGYYUIYYYB：电纳分量3阻抗与导纳的关系同一对端口YZ1G：电导分量4基本元件的阻抗与导纳电阻：GRYR1电感：LjYL1电容：CjYCRZRLjjXZLLCjjXZCC1IRUILjUICjU1N0IUfLLXL2感抗CfCXC211容抗30交流电路交流电路建微分方程建微分方程定时域响应定时域响应相量模型相量模型列代

16、数方程列代数方程解相量代数方程解相量代数方程正弦交流电路分析的两种方法：正弦交流电路分析的两种方法：RR LjXLjLCjXCjCjC11isssIIti)(usssUUtu)(相量电路模型相量电路模型 将电路中电流，电压用相量表示；将基本元件用他们的阻抗或导纳来标出，得到的电路模型称为相量模型。311. 阻抗与导纳的串并联等效串联：2121ZZIUUZ并联：212121YYYZZZZZ或二阻抗的连接组合二阻抗的连接组合Z1Z21U2UUIUIZ1Z21I2I32Z2Z1Z3(a)Z12Z13Z23(b)121232. 阻抗星形网络和三角形网络的等效变换313322112/ )(ZZZZZZZ

17、Z113322123/ )(ZZZZZZZZ213322131/ )(ZZZZZZZZ31231213121ZZZZZZ31231223122ZZZZZZ31231223133ZZZZZZ33例例)(2j6)10j10(10)10j10(10)10j10(|10ZiiiUUUZZU4532 12j62j6 10j1110452210j1010UUUiiUUj3145324522分压公式三阻抗导纳分析举例三阻抗导纳分析举例证明图示相移电路的输出电压超前输入电压相位证明图示相移电路的输出电压超前输入电压相位90 10j 10j10 10iU1U0UZ34acR1LR2bC。求如图电路阻抗求如图电路阻抗Z Zacac设信号频率设信号频率解：R()：等效电阻。 X()：等效电抗。例例LjRZab1CjRYZbcbc2111bcabacZZZ2222111CRCjRLjR)(22222221111CRCLjCRRR121RRH2 . 0LF1C)(j)()15j(111)(22acXRZ jLCj 135)(j)()15j(111)(22acXRZ0211)0()0(acRZ1)