第五章运筹学目标规划.

1、第五章第五章 目标规划目标规划( Goal Programming)本章基本要求：本章基本要求：1. 理解目标规划概念理解目标规划概念2. 掌握目标规划建模技巧掌握目标规划建模技巧3. 能够运用图解法求解模型能够运用图解法求解模型一、问题提出与目标规划的数学模型一、问题提出与目标规划的数学模型线性规划线性规划：在一组线性约束下一个线性函数的极值问题。：在一组线性约束下一个线性函数的极值问题。 线性规划的局限性线性规划的局限性 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。一个目标的最大或最小值的问题。实际决策中，衡量方

2、案优劣常常需要考虑多个目标实际决策中，衡量方案优劣常常需要考虑多个目标, ,比如比如1 1）. .生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等；需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等；2 2）. .生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它社会因素等。社会因素等。 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，也有这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的

3、，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相补充的，也有互最小的；有定量的，也有定性的；有互相补充的，也有互相对立的，相对立的，LP则无能为力。则无能为力。目标规划（目标规划（Goal ProgrammingGoal Programming） 在在线性规划线性规划的基础上发展起来的解决的基础上发展起来的解决多目标规划问题多目标规划问题的最有效的方法之一。的最有效的方法之一。 美国经济学家查恩斯美国经济学家查恩斯( (A.CharnesA.Charnes) )和库柏和库柏( (W.W.Cooper)W.W.Cooper)在在19611961年出版的年出版的管理模型及线性规划的工业应用管理模型及线性

4、规划的工业应用一一书中，首先提出的。书中，首先提出的。 19761976年伊格尼齐奥发表了年伊格尼齐奥发表了目标规划及其扩展目标规划及其扩展一书，一书，系统归纳总结了目标规划的理论和方法。系统归纳总结了目标规划的理论和方法。例例1.1.某企业计划生产甲、乙两种产品，这些产品分别要在某企业计划生产甲、乙两种产品，这些产品分别要在A、B、C、D四四种不同的设备上加工。各产品占用资源数量，种不同的设备上加工。各产品占用资源数量，资源拥有量及产品利润见下表。问如何安排生产，才能获资源拥有量及产品利润见下表。问如何安排生产，才能获得最大的总利润？得最大的总利润？32利润（百元利润（百元/ /件）件）12

5、40D1604C821B1222A设备工作设备工作台时台时乙乙甲甲 消耗消耗 产品产品设备设备解：设解：设 x1， x2 分别表示甲乙产品的产量，则相应的线性分别表示甲乙产品的产量，则相应的线性规划模型为：规划模型为：它的最优解为它的最优解为: x1 =4, x2 =2, z =141212121212max23221228. .416412,0zxxxxxxs txxxx 假设企业的经营目标不仅仅是利润，而是要考虑多个方面的目标假设企业的经营目标不仅仅是利润，而是要考虑多个方面的目标:（1 1）企业利润不低于）企业利润不低于1212（百元）。（百元）。（2 2）力争使甲乙两种产品的比例大致为

6、）力争使甲乙两种产品的比例大致为1 1：1 1。（3 3）设备）设备B B必要时可以加班，但不希望加班；设备必要时可以加班，但不希望加班；设备A A既要充分利用，既要充分利用，又尽可能不加班。又尽可能不加班。是否可以用线性规划解决上述多目标的问题？是否可以用线性规划解决上述多目标的问题？为了解决上述多目标的规划问题，就需要使用目标规划的方法为了解决上述多目标的规划问题，就需要使用目标规划的方法。线性规划模型存在以下几方面的局限性线性规划模型存在以下几方面的局限性:1.LP1.LP只能处理单目标优化问题。因此，线性规划模型中人为地将一只能处理单目标优化问题。因此，线性规划模型中人为地将一些次要目

7、标转化为约束。（在实际中，目标和约束可以相互转化）些次要目标转化为约束。（在实际中，目标和约束可以相互转化）2.LP2.LP要求问题的解必须满足全部约束条件，但实际中并非所有约束要求问题的解必须满足全部约束条件，但实际中并非所有约束都必须严格满足。都必须严格满足。3.LP3.LP中各个约束（实际上也可以看作目标）都处于同等重要地位，中各个约束（实际上也可以看作目标）都处于同等重要地位，但实际问题中各个目标既有层次上的差别，又有权重上的区分。但实际问题中各个目标既有层次上的差别，又有权重上的区分。4.LP4.LP寻求最优解，但很多问题只要找到满意解即可。寻求最优解，但很多问题只要找到满意解即可。

8、目标规划解决上述目标规划解决上述LPLP建模中的局限性的方法：建模中的局限性的方法：1.1. 对每个目标函数确定一个希望达到的对每个目标函数确定一个希望达到的期望值期望值( (目标值目标值或理想值或理想值) )；由于各种条件的限制，这些目标值往往；由于各种条件的限制，这些目标值往往不可能全部都达到；不可能全部都达到；2.2. 对每一个目标函数引入正的或负的对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量偏差变量，分别表，分别表示超过或未达到目标值的情况；示超过或未达到目标值的情况；3.3. 对所有的目标函数建立对所有的目标函数建立约束方程约束方程，并入原来的约束条，并入原来的约束条件中，组成新的约束条件

9、；件中，组成新的约束条件；4.4. 引入目标的引入目标的优先等级和加权系数优先等级和加权系数；建立使组合偏差最；建立使组合偏差最小的目标函数。小的目标函数。1.1.确定目标函数的期望值确定目标函数的期望值 每一个目标函数希望达到的期望值每一个目标函数希望达到的期望值( (或目标值、理想值或目标值、理想值) )。 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。2.2.设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。超出目标的差值，称正偏差变量；超出目标的差值，称正偏差变量；- -未达到目标的差值，称

10、负偏差变量。未达到目标的差值，称负偏差变量。与与两者必有一个为零两者必有一个为零 （1）- -0，0 表示实际值超出规定目标值；表示实际值超出规定目标值； （2）- -0，0 表示实际值未达到目标值表示实际值未达到目标值； （3）- -=0，0 表示实际值同规定目标值恰好一致。表示实际值同规定目标值恰好一致。3.3.统一处理目标和约束统一处理目标和约束系统约束系统约束( (硬约束硬约束) )：对资源使用上有严格限制的约束，对资源使用上有严格限制的约束，用严格的等式或不等式表示（同线性规划中的约束）。用严格的等式或不等式表示（同线性规划中的约束）。如：如：4x1 16 (设备设备C的使用时间的使

11、用时间) 4x2 12 (设备设备D的使用时间的使用时间) 目标约束（软约束）目标约束（软约束）：引入正、负偏差变量后，对各引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标约束方程。个目标建立的目标约束方程。1nkjjkkkjc xddE 原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束束( (软约束软约束) )l设备设备A A既要充分利用，又尽可能不加班既要充分利用，又尽可能不加班, ,可以写成可以写成 mind3- - +d3+ 2x1+2x2+ d3- - d3=12 (设备设备A)设备设备B B允许加班，只是不希望加班或少加班，可以写成允许加班，

12、只是不希望加班或少加班，可以写成 mind4 x1+2x2+ d4- - - d4=8 (设备设备B)l原来的目标函数，在目标规划中只是成了问题要达到的原来的目标函数，在目标规划中只是成了问题要达到的目标之一目标之一 ,“,“目标利润不低于目标利润不低于1212（百元（百元 ）”, , 可以表示可以表示成成 mind1- 2x1 +3x2 + d1- - - d1=12l要求甲、乙两种产品的比例尽可能接近要求甲、乙两种产品的比例尽可能接近1111，可以表示成，可以表示成 mind2- - + d2 x1-x2 +d2- - - d2 = 04.4.目标函数、目标的优先级和权系数目标函数、目标的

13、优先级和权系数（1 1）在目标规划中，如果两个不同目标的重要程度相差悬殊，为达）在目标规划中，如果两个不同目标的重要程度相差悬殊，为达到某一目标可牺牲其他目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。到某一目标可牺牲其他目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低可通过优先因子优先级层次的高低可通过优先因子P P1 1，P P2 2表示。表示。并规定并规定P P k k P P k+1k+1 ，即不同优先级之间的差别无法用数字大小衡量。，即不同优先级之间的差别无法用数字大小衡量。（2 2）对属于同一层次优先级的不同目标，其重要程度的差别可以通）对属于同一层次优先级的不同目标，其重要程度的

14、差别可以通过设置权系数来表达。权系数越大，表示目标越重要。过设置权系数来表达。权系数越大，表示目标越重要。目标规划中的目标函数是各个实际值与目标值之间的最小差距。目标规划中的目标函数是各个实际值与目标值之间的最小差距。本例中，假设：本例中，假设：P P1 1 ：企业利润目标；：企业利润目标；P P2 2 ：甲、乙产品的产量尽可能达到：甲、乙产品的产量尽可能达到1111的要求；的要求；P P3 3 ：设备：设备A A、B B尽量不超负荷工作，在第三优先级中，设备尽量不超负荷工作，在第三优先级中，设备A A的重的重要性是设备要性是设备B B的三倍。的三倍。112223333412121112221

15、233124412min()3()416(1)412(2)2312(3)0(4)2212(5)28(6),0,0 (1,2,3,4)iizPdP ddP ddP dxxxxddxxddxxddxxddxxddi 本例中，假设：本例中，假设：P P1 1 ：企业利润目标；：企业利润目标；P P2 2 ：甲、乙产品的产量尽可能达到：甲、乙产品的产量尽可能达到1111的要求；的要求；P P3 3 ：设备：设备A A、B B尽量不超负荷工作，在第三优先级中，设备尽量不超负荷工作，在第三优先级中，设备A A的重的重要性是设备要性是设备B B的三倍。的三倍。l目标约束：目标约束：f(x) + d- - -

16、 d = f0 ;l1.要求性能指标要求性能指标f(x) 尽量达到目标值尽量达到目标值f0 （即不足（即不足f0不好，不好，超出超出f0也不好）也不好） min(d- -+ d) = f0l2.要求性能指标要求性能指标f(x)的值不少于目标值的值不少于目标值f0 (即允许超过即允许超过f0，但尽可能不要少于但尽可能不要少于f0） min（d- -） f0l3.要求性能指标要求性能指标 f(x) 的值不超过目标值的值不超过目标值 f0 (即允许少于即允许少于f0，但尽可能不要超过但尽可能不要超过f0） min（d） f0小结小结二、建立目标规划模型的步骤 第一步：定义决策变量和有关的常量第一步：

17、定义决策变量和有关的常量 定义决策变量和决策目标约束等式右边的常数。定义决策变量和决策目标约束等式右边的常数。等式右边的常数是可利用的资源或是决策者特定等式右边的常数是可利用的资源或是决策者特定的目标值。的目标值。 第二步：建立决策目标约束第二步：建立决策目标约束 通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目标值之间的关系，建立一组目标约束。并从所有标值之间的关系，建立一组目标约束。并从所有的决策目标中，找出绝对决策目标（即，如果不的决策目标中，找出绝对决策目标（即，如果不满足将导致最终结果无法实现的目标），将这些满足将导致最终结果无法实现的目标），将这

18、些目标作为第一优先级。而后再确定其余目标的优目标作为第一优先级。而后再确定其余目标的优先级。先级。 第三步：建立指标偏差函数第三步：建立指标偏差函数目标规划的一般模型为： ), 2 , 1( 0 , ), 2 , 1( 0 ), 2 , 1( ),( . .)(min1n111LlddnjxLleddxcbxatsdwdwPalljlllnjjljjjjijKkLllkllklk例2 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具体数据见下表产品III资源限量原材料（kg/件）51060设备工时（h/件）4440利润（元

19、/件）68 设产品I和II的产量分别为X1和X2，当用线性规划来描述和解决这个问题时，其数学模型为：0,40446010586max21212121xxxxxxxxz其最优解，即最优生产计划为X1=8，X2=2，maxz=64 假设计划人员还被要求考虑如下意见： （1）由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I的一半。 （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗。 （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元。 面对这些意见，计划人员作出如下意见，首先原材料使用额不得突破；产品II产量要求必须优先考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑计划利润的要求。例2的目标规划模型

20、如下：minZ= P1 d1- + P2d2+ + P3d3-5x1+10 x20，则应在，则应在ABCD中选择一个，使中选择一个，使d2+最小。最小。解：解： 可行域可行域OACD 目标目标1： 区域区域 ABCD 目标目标2：点：点A得目标解得目标解x1 =0 d1+ =0 d1 =0 g1 =30 x2 =2 d2+ =4 d2 =0 g2 =16 图解法的缺点：只能解决二维决策变量的情况，图解法的缺点：只能解决二维决策变量的情况，对于三维及以上，很难顺利解决；对于三维及以上，很难顺利解决； 一般的方式：单纯形法；一般的方式：单纯形法； 优先因子的处理：在计算中，应注意优先因子的处理：在

21、计算中，应注意p1p2.pn，优先因子之间差距非常大，优先因子之间差距非常大，可采用差距很大的数来代替；可采用差距很大的数来代替； 目标约束看做目标约束看做等式约束等式约束，偏差量也看做决策变偏差量也看做决策变量量。二、目标规划的一般解法二、目标规划的一般解法112231111222123312min() 102 40.32100,0 (1,2,3) iiZp ddp dxddxxddS txxddxx ddi 5.2 目标规划的一般解法目标规划的一般解法例例4 用单纯形法求解用单纯形法求解解法一：传统型单纯形法解法一：传统型单纯形法112231111222123312max() 102 40

22、.32100,0 (1,2,3) iiwp ddp dxddxxddS txxddxx ddi 1、标准化、标准化cj00-p100-p1-p20CB基基bx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+-p1d1-10 101-1 0 0 0 00d2-4021 0 01-1 0 0-p2d3-10032 0 0 0 01-1jp1+3p22p20-p10-p10-p22、建立初始单纯形表、建立初始单纯形表选择选择负偏差量负偏差量为基准变量。为基准变量。检验检验数是否均为非负？如否，则要进行变量替换。检验检验数是否均为非负？如否，则要进行变量替换。maxcC Bi a ijcj00-p100-p

23、1-p20CB基基bx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+-p1d1-10101-1 0 0 0 00d2-4021 0 01-1 0 0-p2d3-10032 0 0 0 01-1jp1+3p22p20-p10-p10-p22、基变量的替换、基变量的替换x1换入；换入；d1-换出。换出。x10020-2211-100702-33001-10-p12p20-p1-3p23p200-p2mini =bi/aik|aik0=lcj00-p100-p1-p20CB基基bx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+0 x110 101-1 0 0 0 00 x22001 -2 21-1 0 0-

24、p2d3-3000 1 -1 -2 01-1j00-p1+p2-p2-2p22p2 -p10-p23、最终单纯形表、最终单纯形表x1 =10， x2 =20， d3- =30g1=10，g2=40，g3=70解法二：目标规划的解法二：目标规划的“特殊特殊”单纯形单纯形法法1.列出初始单纯形表。目标规划中目标函数一定是求最小，列出初始单纯形表。目标规划中目标函数一定是求最小，不必将不必将极小的情况转换为求极大极小的情况转换为求极大，仍然采用，仍然采用原有目标函数原有目标函数。同时，选择。同时，选择负偏差量负偏差量作为作为基变量基变量，构成初始基向量，构成初始基向量；（求；（求min，非基变量的，

25、非基变量的检验数全检验数全0合格合格）2.按照按照传统单纯形法传统单纯形法的方式求解检验数的方式求解检验数，此时由于检验数中必然会，此时由于检验数中必然会含有优先因子，按照含有优先因子，按照优先因子的优先程度优先因子的优先程度，将，将检验数分成多行检验数分成多行，每行输入检验数中对应的优先因子的系数每行输入检验数中对应的优先因子的系数，则每个变量对应的总，则每个变量对应的总检验数即为检验数即为（行系数（行系数*优先因子）；优先因子）；3.从从最优先因子最优先因子开始，检查其系数，观察其开始，检查其系数，观察其系数是否为系数是否为，如非，如非负，则完成。如负，则完成。如含有负系数含有负系数，则，

26、则需要进行变量的替代需要进行变量的替代；4.确定换入变量确定换入变量：从：从最优先因子最优先因子开始，选择其负开始，选择其负检验数检验数中中最小值最小值所所对应的变量为对应的变量为换入变量换入变量；（；（选择绝对值最大的负检验数选择绝对值最大的负检验数）5.确定换出变量：按照单纯形法的方法，确定确定换出变量：按照单纯形法的方法，确定b/alj（alj0）中中最小最小值值对应的行作为对应的行作为主元行主元行，其，其对应的原基变量为换出向量对应的原基变量为换出向量；6. 用换入向量替代基变量中的换出向量，对矩阵进行用换入向量替代基变量中的换出向量，对矩阵进行迭代运算；迭代运算；7. 再次检查检验数

27、，再次检查检验数，观察检验数是否为非负观察检验数是否为非负。如果。如果第第一优先级所有检验数均为非负一优先级所有检验数均为非负时，则转入下一优先时，则转入下一优先级；级；8. 迭代运算停止的准则：迭代运算停止的准则：（1）检验数）检验数p1，p2.，pk行行的所有值均为非负；（的所有值均为非负；（2）p1，p2.，pi行所有检验行所有检验数均为非负，第数均为非负，第pi+1行存在负检验数，但在负检验行存在负检验数，但在负检验数所在的列的上面行中都有正检验数（原因是数所在的列的上面行中都有正检验数（原因是p1p2.pi+1）112231111222123312min() 102 40.32100

28、,0 (1,2,3) iiZp ddp dxddxxddS txxddxx ddi cj00P100P1P20CB基基bx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+P1d1-10 1 01-10d2-40211-1 P2d3-100321-1jP1-111P2-3-21初始表初始表cj00P100P1P20CB基基bx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+0 x120101-1 1/20d2-101 -2 21/21 P2d3-402 -33-3/2 1-1jP10 0 1001 00P20-23 0-3 01cj00P100P1P20CB基基bx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+

29、0 x11011-10 x2201 -2 21-1 P2d3-30 1 -1 -2 21-1jP1 11P2 -1 1 2 -21最优表最优表目标规划的目标规划的“特殊特殊”单纯形法总结单纯形法总结1、列出初始单纯形表。仍然采用、列出初始单纯形表。仍然采用原有目标函数原有目标函数，且选择，且选择作为作为，构成初始基向量；，构成初始基向量；2、按照、按照传统单纯形法传统单纯形法的方式求解检验数的方式求解检验数，并按照，并按照优先因子的优优先因子的优先程度先程度，将，将检验数分成多行检验数分成多行，每行中填入检验数中相应的优先因每行中填入检验数中相应的优先因子的系数子的系数，则每个变量对应的总检验

30、数即为，则每个变量对应的总检验数即为（行系数（行系数*优先因优先因子）子）；3、从最优先因子从最优先因子开始，检查其系数，观察其开始，检查其系数，观察其系数是否为系数是否为，如非负，则完成。如如非负，则完成。如含有负系数含有负系数，则，则需要进行变量的替代需要进行变量的替代；4、确定换入变量确定换入变量：从：从最优先因子最优先因子开始，选择其开始，选择其检验数检验数中中最小值最小值所对应的变量为所对应的变量为换入变量换入变量；5、确定换出变量：按照单纯形法的方法，确定、确定换出变量：按照单纯形法的方法，确定b/alj中中最小的值最小的值对对应的行作为应的行作为主元行主元行，其，其对应的原基变量

31、为换出向量对应的原基变量为换出向量；6、用换入向量替代基变量中的换出向量，对矩阵进、用换入向量替代基变量中的换出向量，对矩阵进行迭代运算；行迭代运算；7、再次检查检验数，、再次检查检验数，观察检验数是否为非负观察检验数是否为非负。如果。如果第一优先级所有检验数均为非负第一优先级所有检验数均为非负时，则转入下一优先时，则转入下一优先级；级；8、迭代运算停止的准则：、迭代运算停止的准则：（1）检验数）检验数p1，p2.，pk行行的所有值均为非负；（的所有值均为非负；（2）p1，p2.，pi行所有检验数行所有检验数均为非负，第均为非负，第pi+1行存在负检验数，但在负检验数所行存在负检验数，但在负检

32、验数所在的列的上面行中都有正检验数（原因是在的列的上面行中都有正检验数（原因是p1p2.pi+1）5.3 应用举例应用举例例、某单位制定职工升级计划，基本情况如下：例、某单位制定职工升级计划，基本情况如下：等级等级月工资月工资现有人数现有人数 编制人数编制人数ABC2000150010001001201501201501501、升级调薪模型、升级调薪模型要求：要求： 1、不能超过月工资总额、不能超过月工资总额600000元；元； 2、提级时，每级的定编人数不能超过；、提级时，每级的定编人数不能超过； 3、升级面不超过现有人数的、升级面不超过现有人数的20； 4、C级不足的人数可用新职工补足；级

33、不足的人数可用新职工补足； A级将有级将有10的人要退休，退休的人要退休，退休 后工资由福利基金中开支。后工资由福利基金中开支。解：解：设设x1表示由表示由B级提升到级提升到A级的人员数；级的人员数； x2表示由表示由C级提升到级提升到B级的人员数；级的人员数； x3表示新录用表示新录用C级的人员数。级的人员数。 根据规定优先因子：根据规定优先因子： p1 不超过工资总额；不超过工资总额； p2 各级人员不超编；各级人员不超编； p3 升级面升级面20%，但尽可能多提。，但尽可能多提。 工资总额工资总额 2000（1001000.1+x1）+1500(120 x1+ x2) +1000(150

34、 x2+ x3)（）600000化为化为12311500500100090000 xxxdd1221233234411223A 100(1-0.1)+ 12030B12015030C1501500( )( )( )xxddxxxxddxxxxdd 11552266B( )120 0.224C( )150 0.230 xxddxxdd 级级 编制限额的目标约束：编制限额的目标约束： 提升的目标约束提升的目标约束构造目标函数构造目标函数111222334435566min()()()zp ddp ddddddp dddd（1）目标）目标1：工资总额不得超过，：工资总额不得超过，成本型目标成本型目标

35、，不能对，不能对d1-求求min，则，则目标函数中取消目标函数中取消d1- ；112234356min()()()zp dp dddp dd（2）目标）目标2：编制限额，：编制限额，成本型目标成本型目标，不能对，不能对d2-、 d3- 、d4-和和求求min，则，则目标函数中取消目标函数中取消；（3）目标）目标3：人员升级，：人员升级，利润型目标利润型目标，不能对，不能对d5+和和 d6+ 求求min，目标函数中应取消。目标函数中应取消。得到的结果：得到的结果：变量变量 含义含义 x1 提升到提升到A级的人数级的人数 24 30 30 24 x2 提升到提升到B级的人数级的人数 30 30 5

36、0 52x3 录用为录用为C级的人数级的人数 30 30 50 52 d1- 工资总额节余工资总额节余 33000 30000d2- A级编制不足人数级编制不足人数 6 6d3- B级编制不足人数级编制不足人数 24 30 1 2 d4- C级编制不足人数级编制不足人数d5+ B级编制超过人数级编制超过人数 6 6 d6+ C级编制超过人数级编制超过人数 20 22 2、投资计划模型、投资计划模型某经济特区的计委有一笔资金，在下一个计划期内可向某经济特区的计委有一笔资金，在下一个计划期内可向钢铁、化工、石油等行业投资建新厂。这些工厂能否预钢铁、化工、石油等行业投资建新厂。这些工厂能否预期建成是

37、一定风险的，在建成投产后，其收入与投资额期建成是一定风险的，在建成投产后，其收入与投资额有关，经过分析研究，各工厂的建设方案的风险因子及有关，经过分析研究，各工厂的建设方案的风险因子及投产后可增收入的百分比例如表所示。投产后可增收入的百分比例如表所示。 计委根据该地区情况提出以下要求：计委根据该地区情况提出以下要求：用于钢用于钢铁的投资额不超过总资金的铁的投资额不超过总资金的35%；用于化工；用于化工的投资额至少占总资金的的投资额至少占总资金的15%；用于石油的；用于石油的投资不超过总资金的投资不超过总资金的50%。并且，首先要考虑并且，首先要考虑总风险不超过总风险不超过0.2；其次；其次考虑

38、总收入至少要增长考虑总收入至少要增长0.55%；然后再考虑；然后再考虑各项投资的总和不能超过总资金额各项投资的总和不能超过总资金额，现在要，现在要确定对不同行业的各投资历方案所占的比例。确定对不同行业的各投资历方案所占的比例。 解：解：（1）确定决策变量：）确定决策变量：假设假设xi为第为第i方案投资金的百分比，方案投资金的百分比，且总的投资比例为且总的投资比例为100%；（2）确定绝对约束：）确定绝对约束：1）用于钢铁工业的投资额不超过总资金的）用于钢铁工业的投资额不超过总资金的35% ：12340.35xxxx2）用于化工工业的投资额至少占总资金的）用于化工工业的投资额至少占总资金的15%

39、 ：3）用于石油工业的投资额不超过总资金的）用于石油工业的投资额不超过总资金的50% ：5670.15xxx8910110.5xxxx（3）确定目标约束：）确定目标约束：1）总风险不超过）总风险不超过0.2，为第一优先级，赋予有限因子，为第一优先级，赋予有限因子p1： 111110.2iiirxdd2）总收入至少要增长）总收入至少要增长0.55% ，为第二优先级，赋予有限因子，为第二优先级，赋予有限因子p2： 112210.55iiig xdd3）各项投资不能超过总投资金额）各项投资不能超过总投资金额 ，为第三优先级，赋予有限，为第三优先级，赋予有限因子因子p3： 113311iixdd（4）

40、建立目标函数，完成模型：）建立目标函数，完成模型：112233minZp dp dp d12340.35xxxx5670.15xxx8910110.5xxxx111110.2iiirxdd112210.55iiig xdd113311,0iiiiixddx dds.t.应用举例应用举例2某电子厂生产录音机和电视机两种产品，分别经由甲、乙两个车间生某电子厂生产录音机和电视机两种产品，分别经由甲、乙两个车间生产。已知除外购件外，生产一台产。已知除外购件外，生产一台录音机录音机需甲车间加工需甲车间加工2 h，乙车间装，乙车间装配配1 h；生产一台；生产一台电视机电视机需甲车间加工需甲车间加工1 h，

41、乙车间装配，乙车间装配3 h。这两种产。这两种产品生产出来后均需经检验、销售等环节。已知每台录音机品生产出来后均需经检验、销售等环节。已知每台录音机检验销售费检验销售费用用需需50元元，每台电视机检验销售费用需，每台电视机检验销售费用需30元元。又甲车间每月可用的生。又甲车间每月可用的生产工时为产工时为120 h，车间管理费用为，车间管理费用为80元元/h；乙车间每月可用的生产工时；乙车间每月可用的生产工时为为150 h，车间管理费用为，车间管理费用为20元元/h。估计每台录音机利润为。估计每台录音机利润为100元元，每，每台电视机利润为台电视机利润为75元元，又估计下一年度内平均每月可销售录

42、音机，又估计下一年度内平均每月可销售录音机50台台，电视机电视机80台台。工厂确定制订月度计划的目标如下：工厂确定制订月度计划的目标如下：第一优先级第一优先级：检验和销售费用每月不超过：检验和销售费用每月不超过4600元；元；第二优先级第二优先级：每月售出录音机不少于：每月售出录音机不少于50台；台；第三优先级第三优先级：甲、乙量车间的：甲、乙量车间的生产工时生产工时得到充分利用（重要性权系数得到充分利用（重要性权系数按两个车间每小时费用的比例确定）；按两个车间每小时费用的比例确定）；第四优先级第四优先级：甲车间加班不超过：甲车间加班不超过20 h；第五优先级第五优先级：每月销售电视机不少于：

43、每月销售电视机不少于80台；台；第六优先级第六优先级：两个车间加班总时间要有控制（权系数分配与第三优先：两个车间加班总时间要有控制（权系数分配与第三优先级相同）。级相同）。试确定该厂为达到以上目标的最优月度计划生产数字试确定该厂为达到以上目标的最优月度计划生产数字。建模方法建模方法：(1) 设定约束条件设定约束条件 (构建构建目标约束、绝对约束目标约束、绝对约束和非负约束和非负约束)；(2) 规定目标约束规定目标约束优先级优先级；(3) 根据目标所属的类型，建立关于偏差量根据目标所属的类型，建立关于偏差量的目标函数，完成模型的建立。的目标函数，完成模型的建立。（1）甲、乙两车间的可用工时约束：

44、）甲、乙两车间的可用工时约束：2 x1 +x2 +d1- -d1+=120（甲车间）；（甲车间）；x1 +3x2 +d2- -d2+=120（乙车间）（乙车间）解：设解：设x1为每月生产的录音机台数，为每月生产的录音机台数，x2为每月生产的电视机为每月生产的电视机台数。列出约束条件：台数。列出约束条件：（2）检验和销售费用的限制：）检验和销售费用的限制：50 x1 +30 x2 +d3- -d3+=4600（3）每月销售量的要求：）每月销售量的要求：x1 +d4- -d4+=50（录音机）；（录音机）；x2 +d5- -d5+=120（电视机）（电视机）（4）对甲加班的限制：）对甲加班的限制：

45、d1+ d6- -d6+=20目标目标1：检验和销售费用每月：检验和销售费用每月不超过不超过4600元；元；目标目标2：每月售出录音机不少：每月售出录音机不少于于50台；台；目标目标3：甲、乙量车间的生产：甲、乙量车间的生产工时得到充分利用（重要性权工时得到充分利用（重要性权系数按两个车间每小时费用的系数按两个车间每小时费用的比例确定）；比例确定）；目标目标4：甲车间加班不超过：甲车间加班不超过20 h；目标目标5：每月销售电视机不少：每月销售电视机不少于于80台台确定目标函数：确定目标函数：首先要确定优先级；然后确定各目标的类型，对目标函数进首先要确定优先级；然后确定各目标的类型，对目标函数

46、进行取舍。行取舍。第一优先级第一优先级：检验和销售费用：检验和销售费用每月不超过每月不超过4600元；元；第二优先级第二优先级：每月售出录音机：每月售出录音机不少于不少于50台；台；第三优先级第三优先级：甲、乙量车间的：甲、乙量车间的生产工时得到充分利用（重要生产工时得到充分利用（重要性权系数按两个车间每小时费性权系数按两个车间每小时费用的比例确定）；用的比例确定）；（1）对于第一优先级：）对于第一优先级：属于属于成本型成本型目标，在目标函数中相应目标，在目标函数中相应的部分为：的部分为：p1d3+。（2）第二优先级：）第二优先级：属于属于利润型利润型目标，在目标函数中相应目标，在目标函数中相

47、应的部分为：的部分为：p2d4-。（3）第三优先级：）第三优先级：属于属于利润型利润型目标，同时，在同一优先目标，同时，在同一优先级内，存在权重。权重比为甲：乙级内，存在权重。权重比为甲：乙=80元元/h：20元元/h=4：1。则在目标函。则在目标函数中相应的部分为：数中相应的部分为：p3（4d1-+d2-）。）。第四优先级第四优先级：甲车间加班不超过：甲车间加班不超过20 h；第五优先级第五优先级：每月销售电视机不少于：每月销售电视机不少于80台；台；第六优先级第六优先级：加班时间进行控制（权重与三：加班时间进行控制（权重与三 一致）。一致）。（4）第四优先级：）第四优先级：属于属于成本型成

48、本型目标，则在目标函数中相应的部分为：目标，则在目标函数中相应的部分为：p4d6+。（5）第五优先级：）第五优先级：属于属于利润型利润型目标，则在目标函数中相应的部分为：目标，则在目标函数中相应的部分为：p5d5+。（6）第六优先级：）第六优先级：属于属于成本型成本型目标，则在目标函数中相应的部分为：目标，则在目标函数中相应的部分为：p6（4d1+d2+）。）。13243124655612min(4)(4)zp dp dpddp dp dpdd目标规划的模型为：目标规划的模型为：13243124655612min(4)(4)zp dp dpddp dp dpdd1211122212331442

49、55166122120315050304600. .508020,0 (1,.,6)iixxddxxddxxddstxddxdddddx x ddi 已知三个工厂生产的产品供应四个用户需要，各工已知三个工厂生产的产品供应四个用户需要，各工厂生产量、用户需求量及从各工厂到用户的单位产厂生产量、用户需求量及从各工厂到用户的单位产品的运输费用如表所示：品的运输费用如表所示： 工厂工厂用户用户1234生产量生产量152673002354620034523400需求量需求量2001004502503、生产计划模型、生产计划模型 用表上作业法求得最优调配方案如下表，用表上作业法求得最优调配方案如下表，总运

50、费为总运费为2950元。元。 但上述方案但上述方案只考虑了运费为最少只考虑了运费为最少，没有考，没有考虑到很多具体情况和条件。虑到很多具体情况和条件。 工厂工厂 用户用户1234生产量生产量1200100300202003003250150400虚设虚设100100需求量需求量200100450250故上级部门研究后确定了制订调配方案时要故上级部门研究后确定了制订调配方案时要考虑的七项目标，并规定重要性次序为考虑的七项目标，并规定重要性次序为 ： 第一目标第一目标：第第4用户为重要部门用户为重要部门，需要量，需要量必须全部满足必须全部满足； 第二目标第二目标：供应用户：供应用户1的产品中，的产品中，工厂工厂3的产品不少于的产品不少于100单位；单位； 第三目标第三目标：为兼顾一般，每个：为兼顾一般，每个用户满足率不低于用户满足率不低于80； 第四目标第四目标：新方案总运费：新方案总运费不超过原方案的不超过原方案的10； 第五目标第五目标：因道路限制，从：因道路限制，从工厂工厂2到用户到用户4的路线应尽量的路线应尽量避避免分配运输任务免分配运输任务； 第六目标第六目标：用户：用户1和用户和用户3的满足率应的