人教a版必修1学案：3.1.2用二分法求方程的近似解(含答案)

1、3.1.2用二分法求方程的近似解自主学习理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求_2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度)(1)确定区间a，b，使_(2)求区间(a，b)的中点，x1_.(3)计算f(x1)若f(x1)0，则_；若f(a)·f(x1)<0，则令bx1(此时零点x0_)；若f(x1)

2、83;f(b)<0，则令ax1(此时零点x0_)(4)继续实施上述步骤，直到区间_，函数的零点总位于区间_上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yf(x)的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度对点讲练能用二分法求零点的条件【例1】 下列函数中能用二分法求零点的是()规律方法判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用变式迁移1 若yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确

3、的是()A若f(a)f(b)<0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0B若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c(a，b)，使得f(c)0C若f(a)f(b)>0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0D若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c(a，b)，使得f(c)0求函数的零点【例2】 判断函数yx3x1在区间1,1.5内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)规律方法由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值变式迁移2 求函数f(x)x32x23x

4、6的一个正数零点(精确度0.1)二分法的综合运用【例3】 证明方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)规律方法用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解变式迁移3 求的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)1能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用2二分法实质是一种逼近思想的应用区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.3求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同精确度为，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于，

5、即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|ab|<为止课时作业一、选择题1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)3设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间()A(1,1.25) B(1.25,1.5) C(1.5,2) D不能确定4方程2x1x5的解所在的区间是()A(0,1) B(1,2)

6、C(2,3) D(3,4)5用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A(0,0.5)f(0.25) B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.25) D(0,0.5)f(0.125)二、填空题6在用二分法求方程f(x)0在0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为_(精确度为0.1)7用二分法求方程x250在区间(2,3)的近似解经过_次二分后精确度能达到0.01.三

7、、解答题8求函数f(x)x3x22x2的一个正实数零点(精确度为0.1)9利用计算器，求方程lg x2x的近似解(精确度为0.1)3.1.2用二分法求方程的近似解答案自学导引1f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点方程的近似解2(1)f(a)·f(b)<0(2)(3)x1就是函数的零点(a，x1)(x1，b)(4)an，bnan，bn对点讲练【例1】 C在A中，函数无零点在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，C中的函数能用二分法求其零点变式迁移1D

8、由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B可通过反例“f(x)x(x1)(x1)在区间2，2上满足f(2)f(2)<0，但其存在三个零点：1,0,1”推翻；选项C可通过反例“f(x)(x1)(x1)在区间2,2上满足f(2)f(2)>0，但其存在两个零点：1,1”推翻【例2】 解因为f(1)1<0，f(1.5)0.875>0，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间1,1.5内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312

9、5,1.375)1.343 750.08由于|1.3751.312 5|0.062 5<0.1，所以函数的一个近似零点为1.312 5.变式迁移2解由于f(1)6<0，f(2)4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.52.625(1.5,2)1.750.234 4(1.5,1.75)1.6251.302 7(1.625,1.75)1.687 50.561 8(1.687 5,1.75)1.718 750.170 7由于|1.751.687 5|0.062 5<0.1，所以可将1.687 5作为函数零点的近

10、似值【例3】 证明设函数f(x)2x3x6，f(1)1<0，f(2)4>0，又f(x)是增函数，函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一的零点，则方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解设该解为x0，则x01,2，取x11.5，f(1.5)1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，x0(1,1.5)，取x21.25，f(1.25)0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，x0(1,1.25)，取x31.125，f(1.125)0.444<0，f(1.125)·f(1.25)<0，x0(1.125,1.25)

11、，取x41.187 5，f(1.187 5)0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 5<0.1，1.187 5可以作为这个方程的实数解变式迁移3解设x，则x320.令f(x)x32，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值由于f(1)1<0，f(2)6>0，故可以取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值1,21.51.3751,1.51.250.046 91.25,1.51.3750.599 61.25,1

12、.3751.312 50.261 01.25,1.312 51.281 250.103 31.25,1.281 251.265 6250.027 31.25,1.265 6251.257 812 50.011.257 812 5，1.265 6251.261 718 750.008 6由于|1.265 6251.257 812 5|0.007 81<0.01，所以函数f(x)零点的近似值是1.26，即的近似值是1.26.课时作业1B2B数形结合可知，交点横坐标在(1,2)内3B1.5为区间(1,2)的中点，且f(1)<0，f(1.5)>0，方程的根x0(1,1.5)，又1.2

13、5是(1,1.5)的中点且f(1.5)>0，f(1.25)<0，x0(1.25,1.5)4C令f(x)2x1x5，则f(2)1<0，f(3)2>0，f(2)f(3)<0，故选C.5Af(0)<0，f(0.5)>0，f(0)·f(0.5)<0，故f(x)在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为ff(0.25)60.75或0.687 5解析因为|0.750.687 5|0.062 5<0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解77解析区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为<0.01.8解由于

14、f(1)2<0，f(2)6>0，所以函数在(1,2)内存在零点取(1,2)的中点1.5，经计算f(1.5)0.625>0，故函数在(1,1.5)内存在零点，如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间.(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f(1,2)1.5f(1)<0f(2)>0f(1.5)>0(1,1.5)1.25f(1)<0f(1.5)>0f(1.25)<0(1.25，1.5)1.375f(1.5)>0f(1.25)<0f(1.375)<0(1.375，1.5)1.437 5f(1.5)>0f(1.375) <0f(1.437 5)>0(1.375，1.437 5)|1.3751.437 5|0.062 5<0.1所以原函数的一个正实数零点的近似解可取为1.437 5.9解作出ylg x，y2x的图象，可以发现，方程lg x2x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内设f(x)lg