北理工 概率论 田第6讲(2012).

1、二二 几几个重要的连续型随机变量及其个重要的连续型随机变量及其分布分布 (1) 若随机变量若随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 1. 均匀分布（均匀分布（Uniform） 则称则称 X 在在a, b上服从均匀分布，记为上服从均匀分布，记为XUa, b其他01)(bxaabxf)(xfab说明: 类似地，我们可以定义区间 ,1 ,0,a bxa bIxa b 可以将密度可以将密度 f(x) 写成写成 ,1a bfxIba 例如，定义例如，定义(a, b)上的均匀分布，采用采用 (a, b)上的示性函数上的示性函数 a, b)、(a, b和(a, b)上的均匀分布 xbbxaabaxaxxF1

2、0)(若若 XUa, b，X 的分布函数为的分布函数为)(xFabx对于满足对于满足a c d b的任意的的任意的c , d, 有有 P(c 00 ，则称，则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布, 记为记为XE( )0, 00,)(xxexfx)(xfxo0001)(xxexFxX 的分布函数为的分布函数为 )(xFox1.,0. 0, 0, 0,e1)(分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 XxxxfXx 指数分布的另一种等价定义指数分布的另一种等价定义例例2：经过长期的观测，对某些

3、电子元件的寿命可作经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了如下假定：在已使用了t 小时的条件下，在以后的小时的条件下，在以后的 t小时内损坏的概率为小时内损坏的概率为 t+o( t) ，其中，其中 是不依赖于是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在件在T内损坏的概率。内损坏的概率。 解：解：设电子元件的寿命为设电子元件的寿命为X, 其分布函数为其分布函数为F(x). 依题意，要求依题意，要求F(T)=P(X T). 由题中假定，知由题中假定，知 0)0()0(XPF)()|(tottXttXtP经过长期的观测，

4、对某些电子元件的寿命可作如下假定：在经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了已使用了t 小时的条件下，在以后的小时的条件下，在以后的 t小时内损坏的概率为小时内损坏的概率为 t+o( t) ，其中，其中 是不依赖于是不依赖于t 的常数；电子元件寿命为零的的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在概率是零，求电子元件在T内损坏的概率。内损坏的概率。 设电子元件的寿命为设电子元件的寿命为X, 其分布函数为其分布函数为F(x). )|(tXttXtP另外，由条件概率的定义，知另外，由条件概率的定义，知 )(),(tXPtXttXtP)(1)(tXPttXtP)(1)()(t

5、FtFttF)( tot)(1)()(tFtFttF)( tot从而有从而有 )(1)()()()(tFttottFttF令令 t 0, 得一阶线性微分方程得一阶线性微分方程0)0(F)(1 ()(tFtF解之，得解之，得0, 00,1)(ttetFtTeTF1)(服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有以下性质具有以下性质: 或称或称无后效性，即无后效性，即对于任意对于任意s, t 0, 有有)()|(tXPsXtsXP事实上事实上)(),()|(sXPsXtsXPsXtsXP)()(sXPtsXP)(1)(1sFtsF0001)(xxexFxtstseee)()()(1tXPtF

6、无记忆性无记忆性 无后效性是指数分布的特征无后效性是指数分布的特征. 如果如果 X 表示某仪表示某仪器的工作寿命器的工作寿命, 无后效性的解释是无后效性的解释是: 当仪器工作了当仪器工作了s小时后再能继续工作小时后再能继续工作 t 小时的概率等于该仪器刚开小时的概率等于该仪器刚开始就能工作始就能工作 t 小时的概率小时的概率. 说明该仪器的使用寿命不说明该仪器的使用寿命不随使用时间的增加发生变化随使用时间的增加发生变化, 或说仪器是或说仪器是“永葆青永葆青春春”的的. 一般来说一般来说, 电子元件等具备这种性质电子元件等具备这种性质,它们本身它们本身的老化是可以忽略不计的的老化是可以忽略不计的

7、, 造成损坏的原因是意外造成损坏的原因是意外的高电压等等的高电压等等.)()|(tXPsXtsXP N tPt 例例3 3 设时间设时间(0, t内有内有N(t) 粒子放射出来粒子放射出来, ,且且 设设 X 为第一个粒子发射出来的时刻，则为第一个粒子发射出来的时刻，则 0XtN t 000!tttP XtP N tee 所以所以 ( )() 11tF tP XtP Xte 从而从而 即即 XE( ) . . 3. 正态分布正态分布 若若r.v X 的的概率密度为概率密度为),(2NXxexfx,)()(22221 其中其中 ， 均为常数，且均为常数，且 0，则称，则称X服从参服从参数为数为

8、， 的正态分布的正态分布. 记作记作 X 的分布函数为的分布函数为 dtexFtx222)(21)(4. 正态分布正态分布),(2Na. . 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .f (+ +c)=f (- -c)密度函数图形的特点密度函数图形的特点b. b. 决定了图形的位置。决定了图形的位置。 正态分布正态分布),(2N的密度函数图形特点的密度函数图形特点c. c. 在在x=处达到最大值处达到最大值: :xexfx,)()(22221 21)(f 决定了图形中峰的陡峭

9、程度决定了图形中峰的陡峭程度. .d. d. 这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来向左右伸展时，越来越贴近越贴近x轴。即轴。即f (x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。 xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x) 0, ,e.e.xexfx,)()(22221 为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = 年降雨量、同龄人身高、在正常条件下年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标各种产品的质量指标如零件的尺寸；纤如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂长

10、、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布正态分布. . 设设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是xdtexFxt,)()(22221 5. 5. 正态分布的分布函数正态分布的分布函数dtexxt2221)(6. 6. 标准正态分布标准正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 注意：注意：(0)=0.5 ( x)=1 (x) xxdtexxt2221)(若若 XN

11、(0, 1)，对任意的实数，对任意的实数x1, x2 (x1 x2)，有，有)()()(1221xxxXxP人们已编制了人们已编制了 (x)的函数表，可供查用。的函数表，可供查用。),()(11xxXP)(1) (11xxXP 7. . 正态分布的计算正态分布的计算 )(x对任意的实数对任意的实数x1， x2 (x1 x2)，有，有)()()(111xxFxXP)(1)(1) (111xxFxXP)()()()() (121221xxxFxFxXxPduedtexFuxtx22)(2222121)(例例4 设设 X N( , 2), 求求 P( |X- | k )的值的值, k=1, 2, 3

12、解：解：)()|(|kXkPkXP)()(kk)()(kk1)(2)(1 )(kkk当当 k=1,6826. 01) 1 (2)|(|XP当当 k=2,9544. 01)2(2)2|(|XP当当 k=3,9974. 01) 3(2)3|(|XP质量控制中的质量控制中的3 原则。设在正常生产的情况下，某原则。设在正常生产的情况下，某零件的尺寸零件的尺寸X服从正态分布服从正态分布N( , 2),为了在生产过程为了在生产过程中随时检查有无系统性误差出现，人们画了一个质中随时检查有无系统性误差出现，人们画了一个质量控制图。每隔一定时间，对产品尺寸进行检查，量控制图。每隔一定时间，对产品尺寸进行检查，测

13、量的产品的尺寸应落在上、下控制线之内。如果测量的产品的尺寸应落在上、下控制线之内。如果点超出控制线，则很有可能是生产出现了异常情况，点超出控制线，则很有可能是生产出现了异常情况，应该暂停生产进行检查。当然也可能虚报，但虚报应该暂停生产进行检查。当然也可能虚报，但虚报的可能性比较小。的可能性比较小。 解：解：例例5 某市高校高等数学统考某市高校高等数学统考, 假定考生成绩假定考生成绩 X N( , 2). 现已知现已知80分以上者占总人数的分以上者占总人数的33%, 40分以下者分以下者占总人数的占总人数的8%, 求考生的及格率求考生的及格率.依题意，知依题意，知P( X 80)=0.33P(X

14、 40)=0.08因此有因此有67. 0)80(08. 0)40(P( X80)=0.6767. 0)80(08. 0)40(,44. 08092. 0)40(405. 14068.21,46.70反查标准正态分布表得反查标准正态分布表得解上述联立方程组，得解上述联立方程组，得某市高校高等数学统考某市高校高等数学统考, 假定考生成绩假定考生成绩 X N( , 2). 现已知现已知80分以上者占总人数的分以上者占总人数的33%, 40分以下者占总分以下者占总人数的人数的8%, 求考生的及格率求考生的及格率.68.21,46.70所以所以)60(XP)48. 0(6844. 0)48. 0(1)6

15、8.2146.7060(1例例6 一桥长一桥长60m, 以桥的中点为原点以桥的中点为原点,沿着桥的方向引沿着桥的方向引入坐标轴入坐标轴. 一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥, 假定弹着点的坐标假定弹着点的坐标X N(0, 100 2).(1) 求投掷一枚炸弹求投掷一枚炸弹, 命中此桥的概率命中此桥的概率 p ;(2) 问独立投掷多少枚炸弹问独立投掷多少枚炸弹, 才能使至少有一枚弹才能使至少有一枚弹 命中此桥的概率大于命中此桥的概率大于0.9.o- 3030解：解：)30|(|XPp)3030(XP)100030()100030(1) 3 . 0(22358.

16、0一桥长一桥长60m, 以桥的中点为原点以桥的中点为原点,沿着桥的方向引入沿着桥的方向引入坐标轴坐标轴. 一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥, 假假定弹着点的坐标定弹着点的坐标X N(0, 100 2).(2) 问独立投掷多少枚炸弹问独立投掷多少枚炸弹, 才能使至少有一枚弹才能使至少有一枚弹 命中此桥的概率大于命中此桥的概率大于0.9.解：解：2358. 0p ) 1(ZP设需独立投掷设需独立投掷n弹才能满足要求。弹才能满足要求。设设Z为为n弹中弹中命中桥的弹数。命中桥的弹数。 则有则有 Z B(n,p)，所以依题意所以依题意)0(1ZPnnppC)1 (10

17、0n)7642. 0(19 . 0一桥长一桥长60m, 以桥的中点为原点以桥的中点为原点,沿着桥的方向引入沿着桥的方向引入坐标轴坐标轴. 一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥, 假假定弹着点的坐标定弹着点的坐标X N(0, 100 2).(2) 问独立投掷多少枚炸弹问独立投掷多少枚炸弹, 才能使至少有一枚弹才能使至少有一枚弹 命中此桥的概率大于命中此桥的概率大于0.9.解：解：n)7642. 0(19 . 0562. 87642. 0ln1 . 0lnn所以需要所以需要独立投掷独立投掷9枚炸弹枚炸弹, 才能使至少有一枚弹才能使至少有一枚弹 命中此桥的概率大于命中

18、此桥的概率大于0.9. 10 xxedx 4. 4. Gamma 分布分布 , 设设 , , 是正常数是正常数, , ( ) 由积分由积分 定义定义. . 如果如果 X 的密度是的密度是 1,00,0 xxexfxx 则称则称 X 服从参数服从参数 , , 的的Gamma分布分布, 记作记作 ,X 000 xexfxx 当当 =1时，时， (1, ) 即为即为E( ), 此时此时 1,00,0 xxexfxx Gamma分布的历史 英国著名统计学家Pearson在研究物理, 生物及经济中的随机变量时, 发现很多连续型随机变量的分布都不是正态分布. 这些随机变量的特点是只取非负值, 于是他致力于

19、这类随机变量的研究. 从1895年至1916年间, Pearson连续发表了一系列的连续分布密度曲线, 认为这些曲线可以包括常见的单峰分布, 其中就有Gamma分布. 在气象学中, 干旱地区的年、季或月降水量被认为服从分布, 指定时间段内的最大风速等也被认为服从分布.问题的提出问题的提出2-5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在实际问题中，我们常常对某些随机变量的函数在实际问题中，我们常常对某些随机变量的函数感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量不能由直接测量得到，而它却是某个能够直接不能由直接测量得到，而它却是某个能够直接 测量测量的随

20、机变量的函数。如，考察一批圆轴的截面面积的随机变量的函数。如，考察一批圆轴的截面面积Y，我们能够直接我们能够直接 测量的是直径测量的是直径 X，且当直径且当直径 X 取取 x 值值时，截面面积时，截面面积Y 的取值为的取值为241xy 一般地，设一般地，设X, Y 是两个随机变量，是两个随机变量，y=g(x)是一个已知函数，如果当是一个已知函数，如果当X 取值取值 x 时，时，Y 取取值为值为g(x)，则称，则称Y 是随机变量是随机变量X 的函数。记的函数。记为为Y=g(X) 问题是：问题是：如何由如何由已知的已知的随机变量随机变量X 的概的概率分布率分布去求得它的去求得它的函数函数Y=g(X

21、)的的概率分布概率分布一一 离散型随机变量离散型随机变量函数函数Y=g(X)的分布的分布解：解：例例7 7 设设 X 4 . 01 . 03 . 02 . 02101求求 Y= (X 1)2 的分布律的分布律.Y 所有可能的取值为所有可能的取值为0，1，4，而且，而且1 . 0) 1()0(XPYP7 . 0)2()0() 1(XPXPYP2 . 0) 1()4(XPYP所以，所以，Y 的分布律为的分布律为YP0, 1, 40.1 0.7 0.2一般地，若一般地，若X 的分布的分布列为列为 Xx1x2 xkPp1p2 pk则则Y = g(X) 的分布列的分布列为为 Yg(x1)g(x2)g(x

22、k)Pp1p2pk如果如果 g(xk )中有一些值是相等的，则它们是中有一些值是相等的，则它们是Y可能可能取的同一个值。此时，在取的同一个值。此时，在Y的分布列中，只需列出的分布列中，只需列出一个，然后把一个，然后把对应于这些相同值的概率相加对应于这些相同值的概率相加，作，作为为Y取这个可能值的概率取这个可能值的概率. .二二 连续型随机变量函数连续型随机变量函数Y=g(X)的分布的分布例例8 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为其他, 010,2)(xxxf令令2/1, 02/1, 1XXY求求Y 的分布的分布解：解：) 1(YP2/102xdx)2/1(XP4/12/1, 0

23、2/1, 1XXY) 1(YP4/1所以所以Y 的分布为的分布为YP0, 13/4 1/4 例例9 设设 X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：设设Y 的分布函数为的分布函数为 FY ( y )，FY (y)=PY y = P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函数的密度函数0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY当当 8 y 16 时，时， 168)28(yyfX其它, 040, 8/)(xxxfX当当 y 8 或

24、或 y 16 时，时， 0)28(yfX)28()(yFyFXY1. 当当 y =g(x) 是单调函数是单调函数 定理定理 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 只在只在(a, b)上取值，它上取值，它的概率密度为的概率密度为 fX(x)，又，又 y =g (x) 是严格单调的可是严格单调的可导函数，则导函数，则Y =g (X)是连续型随机变量，其概率是连续型随机变量，其概率密度为密度为其他0)().()(yyyfyfXY其中其中 x = (y) 是是 y =g(x) 的反函数，的反函数，( ， )是是y =g(x), a x b 的值域。的值域。 yx=g 1(y)xy=g(x)yab证明：证明：设设y =g (x) 严格单调增加严格单调增加当当y 时时,)()(yYPyFY1当当 y 时时,)()(yYPyFY)(1ygXP)(1)(ygaXdxxf所以所以其他, 0),(, )()()(11yygygfyfyXY例例10 10