第八章 假设检验 - 副本

1、第八章 假设检验 假设检验的基本问题 一个总体参数的检验 两个总体参数的检验 检验问题的进一步说明第一节假设检验的基本问题假设检验的基本思想和做法例 8.1 某车间用一台包装机包装葡萄糖。包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为500克，标准差为15克。某日开工后为检验包装机工作是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得净重为（克）： 506 518 524 498 511 520 515 512497问机器是否正常？( )05. 0 解：（1）提出两个相对立的假设：（2）确定检验统计量： N(0,1)（3）求出拒绝域：（4）取样，根据样本观察值作出决策：于是拒绝

2、，认为这天包装机工作不正常。0100:500:HH和)(0XnZ)(|(|20ZXnZP96. 12 . 215)500511(9)(96. 1,15, 9,5110025. 0205. 0 xnZZnx0H 两类错误 单侧检验)(:0100右边检验和HH0H 决策真实情况真实情况没有拒绝拒绝 为真 为假正确决策取伪错误弃真错误正确决策0H0H0H)(:0100左边检验和HH 例8.2 某批发商欲从厂家购进一批灯泡，根据合同规定灯泡的使用寿命平均不能低于1000小时。已知灯泡使用寿命服从正态分布，标准差为200小时。在总体中随机抽取了100个灯泡，得知样本均值为960小时，批发商是否应该购买这

3、批灯泡？（ ）解：（1）提出假设： （2）确定检验统计量： N(0,1)05. 0)(1000:1000:10左边检验和HH)(0XnZ （3）求出拒绝域：（4）取样，根据样本观察值作出决策：于是拒绝 ，认为这批灯泡的使用寿命低于1000小时，批发商不应购买。注：P值=P（Zz）,若 P 值 ,则拒绝)(10ZXnZP645. 12200)1000960(100)(645. 1,200,100,960005. 005. 01xnzZZnx0H0H第二节 一个总体参数的检验总体均值的检验（1）样本量大方差已知:(例8.2）检验统计量为 N（0，1）b)方差未知检验统计量为 N（0，1）)(0Xn

4、ZSXnZ)(0 例8.4 某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度渐近服从正态分布，其总体均值为0.081mm,今另换一种新机床进行加工，取200个零件进行检验，得到椭圆度均值为0.076mm,样本标准差为0.025mm,问新机床加工零件的椭圆度总体均值与以前有无显著差别？解:(1)提出假设：有显著差别没有显著差别mmHmmH081. 0:081. 0:10 （2）确定检验统计量： N(0,1)（3）求出拒绝域：（4）取样，根据样本观察值作出决策：于是拒绝 ，认为新老机床加工零件椭圆度的均值有显著差异。SXnZ)(0)(|(|20ZSXnZP96. 183. 2025. 0)

5、081. 0076. 0(200)(96. 1,025. 0,200,076. 00025. 0205. 0sxnZZsnx0H （2）样本量小正态总体，方差已知：检验统计量为 N（0，1）（例8.1）b)正态总体，方差未知检验统计量为 t（n-1）)(0XnZSXnZ)(0 例8.7 某机器制造出的肥皂厚度服从正态分布，均值为5cm,今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂作为样本，测得平均厚度为5.3cm,标准差为0.3cm,试以0.05的显著性水平检验机器性能良好的假设。解：:(1)提出假设：机器性能不好机器性能良好cmHcmH5:5:10 （2）确定检验统计量： t(n-1)（3）

6、求出拒绝域：（4）取样，根据样本观察值作出决策：于是拒绝 ，认为该机器的性能不好。SXnt)(0)1()(|(|20ntSXntP2622. 216. 33 . 0)53 . 5(10)(2622. 2)9() 110(, 3 . 0,10, 3 . 50025. 0205. 0sxntttsnx0H 例8.8 一项统计结果声称，某市老年人口（年龄在65岁以上） 所占的比例为14.7%，该市老年人口研究会为了检验该项统计是否可靠，随机抽取了400名居民，发现其中有57 人年龄在65岁以上。调查结果是否支持该市老年人口比例为14.7%的看法（ ） ？解：:(1)提出假设：05. 0不支持支持%7

7、 .14:%7 .14:10HH 总体比例的检验二项分布当n很大时，与正态分布近似，检验统计量 N(0,1),式中 为样本比例； 为总体比例 的假设值。p npZ)1 (0000 （2）确定检验统计量： N(0,1)（3）求出拒绝域：（4）取样，根据样本观察值作出决策：np)1 (Z000)1 (|(|2000ZnpzP96. 1254. 0400)147. 01 (147. 0147. 01425. 0)1 (96. 1,400,1425. 040057000025. 0205. 0npzZZnp 所以不能拒绝 ，可以认为调查结果支持了该市老年人口所占比例为14.7%的看法。 总体方差的检验

8、0H 例8.9 某厂商生产出一种新型的饮料装瓶机器，按设计要求，该机器装一瓶1000ml的饮料误差上下不超过1ml.如果达到设计要求，表明机器的稳定性非常好。假设该机器所装饮料的体积服从正态分布。现从该机器装完的产品中随机抽取25瓶，分别进行测定（用样本观察值分别减1000ml）,得到如下表所示的结果。试以 的显著性水平检验该机器的性能是否达到设计要求。05. 025瓶饮料容量测试结果 0.3 -0.4 -0.7 1.4 -0.6 -0.3 -1.5 0.6 -0.9 1.3 -1.3 0.7 1 -0.5 0 -0.6 0.7 -1.5 -0.2 -1.9 -0.5 1 -0.2 -0.6

9、1.1 解：（1）提出两个相对立的假设：（2）确定检验统计量： （3）求出拒绝域：（4）取样，根据样本观察值作出决策：于是不能拒绝 ，可以认为该机器的性能达到设计要求。1:1:0100HH和2022) 1(sn)1() 1(22022nsnP415.368 .201866. 0) 125() 1(415.36)24(,866. 0,252022205. 02snsn0H) 1(2n第三节 两个总体参数的检验 两个总体均值之差的检验1.当两个总体均服从正态分布或者虽然两个总体的分布形式未知，但抽自两个总体的样本量均较大，且两个总体的方差 时，可以证明由两个独立样本算出的抽样分布服从正态分布： 已

10、知2221,已知2221,21XX ),(22212121nnN21XX 此时检验统计量为 N(0,1)例8.10 有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产出来的产品抗拉强度的标准差为8千克，第二种方法的标准差为10千克。从两种方法生产的产品中各抽一个随机样本，样本量分别为测得 。问这两种方法生产出来的产品平均抗拉强度是否有显著差别？40,3221nn2221212121)()(nnXXZ千克千克，445021xx)05. 0( 解：（1）提出两个相对立的假设：（2）确定检验统计量： N（0,1）（3）求出拒绝域：（4）于是拒绝 ，即两种方法生产出

11、来的产品其抗拉强度有显著差别。22212121)(nnXXZ（有显著差别）（没有显著差别）和0:0:211210HH96. 183. 2|4010032644050|,96. 1,10,44,40,8,50,32025. 02222222111zZxnxn0H)|(|P2ZZ 2. a) 情况下，检验统计量为： 较小未知，且n2221,2221较小未知，且n2221,2) 1() 1(212222112nnsnsnsp21212111)()(nnsXXtp) 2(21nnt 两个总体比例之差的检验1.两个总体比例相等的检验该假设的表达式为在原假设成立的条件下，最佳的方差估计为 ，其中 是将两个

12、样本合并后得到的比例估计量，即 （8.12）在大样本条件下，统计量Z的表达式为 N(0,1) （8.13）0:0:211210HH和) 1 ( ppp )11)(1 ( 2121nnppppZ2122112121nnpnpnnnxxp 例8.12 人们普遍认为麦当劳的主要消费群体是青少年，但对市场的进一步细分却发现有不同的看法。一种观点认为小学生更喜欢麦当劳，另一种观点认为中学生对麦当劳的喜爱程度不亚于小学生。某市场调查公司对此在某地区进行了一项调查，随机抽取了100名小学生和100名中学生，调查的问题是如果有麦当劳和其他中式快餐（如兰州拉面），你会首选哪种作为经常性午餐。调查结果如下：小学生

13、100人中有76人把麦当劳作为首选的经常性午餐， 中学生100人中有69人作出同样的选择。调查结果支持哪种观点？解：（1）提出假设：由(8.12)式可得：由(8.13)式可得0:0:211210HH和10010069762121nnxxp96. 111. 1)10011001)(725. 01 (725. 069. 076. 0)11)(1 ( 2121nnppppZ 故调查结果支持原假设，说明在该地区小学生和中学生对麦当劳的偏爱程度没有显著差别。2.两个总体比例之差不为零的检验 即检验 ，在大样本条件下， 检验统计量为 N(0,1) （8.14）)(21pp )1 ()1 (,(222111

14、21nnN0:0210dH222111021)1 ()1 ()(nppnppdppZ 例8.13 有一项研究报告说青少年经常上网聊天，男生的比例至少超过女生10个百分点，即 。现对150个男生和150个女生进行上网聊天的频度调查，其中经常聊天的男生有68人，经常聊天的女生有54人。调查结果是否支持研究报告的结论 ？ 解:（1）提出假设：)%(102121为女生比例为男生比例，)05. 0(%10:%10:211210HH和 （2）确定检验统计量： （8.14）（3）确定拒绝域：(4)(ZZP%10,36. 015054,45. 015068,15002121dppnn645. 1177. 01

15、50)36. 01 (36. 0150)45. 01 (45. 01 . 036. 045. 0)1 ()1 ()(222111021nppnppdppZ 没有落入拒绝域内，故无法推翻原假设，调查结果支持研究报告的结论。 两个总体方差比的检验检验问题：检验统计量为： 222122222121SSSSF) 1, 1(21nnF2221122210:H:和H 例8.14 为研究一种化肥对某种农作物的效力，选了13块条件相当的地种植这种作物，在其中6块地上施肥，其余7块地上不施肥。结果，施肥的平均每块地的产量是33公斤，样本方差为3.2；未施肥的平均每块地的产量是30公斤，样本方差为4.假设无论施肥

16、与否产量都服从正态分布。问施肥与不施肥土地产量的方差有无显著差异？（ ）1 . 0 解：（1）提出两个相对立的假设：（2）确定检验统计量： （3）求出拒绝域：（4）2221SSF （有显著差别）（没有显著差别）和2221122210:HH39. 48 . 042 . 395. 4195. 41)5 , 6(1)6 , 5(,39. 4)6 , 5(, 4,30, 7, 2 . 3,33, 6222105. 095. 005. 022222111ssFFFFsxnsxn1212122P(1,1)(1,1)FFnnFFnn或者) 1, 1(21nnF 未落入拒绝域，所以不能拒绝 ，认为两种情况方差

17、无显著差异。 匹配样本的检验例8.15 一个以减肥为目的的健美俱乐部声称，参加它的训练班至少可以使肥胖者减轻8.5千克以上。为了验证该声称是否可信，调查人员随机抽取了10名参加者，得到他们的记录表如下，在 的显著性水平下，调查结果是否支持该俱乐部的声称？0H05. 0 训练前94.5 101 110 103.5 97训练后85 89.5 101.5 96 86差值9.5 11.5 8.5 7.5 11训练前88.5 96.5 101 104 116.5训练后80.5 87 93.5 93 102差值8 9.5 7.5 11 14.5 解：（1）提出两个相对立的假设：差值样本的均值和标准差分别为：由此得到抽样分布的标准差的估计值为85. 9105 .981dniindd千克）（平均减重超过和千克）（平均减重没有超过5 . 85 . 8:5 .