概率统计习题解答

1、教材教材P27，EX.3 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐飞机的概率有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐飞机的概率分别为分别为0.3，0.2，0.1，0.4。若坐火车来，他迟到的概率是。若坐火车来，他迟到的概率是0.25，若坐船来，他迟到的概率是若坐船来，他迟到的概率是0.3，若坐汽车来，他迟到的概率是，若坐汽车来，他迟到的概率是0.1，若坐飞机来，则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。，若坐飞机来，则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。解：设解：设A=朋友迟到朋友迟到， 分别用分别用B、C、D、E表示朋友坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来，表示朋友坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来，显然，显

2、然，B、C、D、E两两互斥，且两两互斥，且,EDCB 则则0,E)|P(A0.1,D)|P(A0.3,C)|P(A0.25,B)|P(A0.4P(E)0.1,P(D)0.2,P(C)0.3,P(B) 故由全概率公式知故由全概率公式知E)|P(E)P(AD)|P(D)P(AC)|P(C)P(AB)|P(B)P(AP(A) 145. 004 . 01 . 01 . 03 . 02 . 025. 03 . 0 上页上页下页下页最近页最近页教材教材P28，EX.9 设某一工厂有设某一工厂有A A、B B、C C三个车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的三个车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占

3、该厂生产螺钉总产量的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25%25%，35%35%，40%40%，每个车间成品中次，每个车间成品中次品的螺钉占该车间生产量的百分比分别为品的螺钉占该车间生产量的百分比分别为5%5%，4%4%，2%2%。如果从全厂总产。如果从全厂总产品中抽取一件产品，得到了次品，求它依次是车间品中抽取一件产品，得到了次品，求它依次是车间A A，B B，C C生产的概率。生产的概率。解：分别用解：分别用A、B、C表示抽取的产品是由车间表示抽取的产品是由车间A、B、C生产的，生产的， 设设D=抽到的产品是次品抽到的产品是次品，则，则,02. 0)|(,04. 0)|(,05. 0)|(4

4、 . 0)(,35. 0)(,25. 0)( CDPBDPADPCPBPAP显然，显然，A、B、C两两互斥，且两两互斥，且, CBA故由全概率公式得故由全概率公式得)|()()|()()|()()(CDPCPBDPBPADPAPDP ,0345. 002. 04 . 004. 035. 005. 025. 0 上页上页下页下页最近页最近页教材教材P28，EX.9 设某一工厂有设某一工厂有A A、B B、C C三个车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的三个车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25%25%，35%35%，40%40%，每

5、个车间成品中次，每个车间成品中次品的螺钉占该车间生产量的百分比分别为品的螺钉占该车间生产量的百分比分别为5%5%，4%4%，2%2%。如果从全厂总产。如果从全厂总产品中抽取一件产品，得到了次品，求它依次是车间品中抽取一件产品，得到了次品，求它依次是车间A A，B B，C C生产的概率。生产的概率。解：解：则次品是车间则次品是车间A，B，C生产的概率分别为生产的概率分别为69250345. 005. 025. 0)()|()()|( DPADPAPDAP( ) (|)0.35 0.0428(|)()0.034569P B P D BP B DP D ( ) (|)0.4 0.0216(|)()0

6、.034569P C P D CP C DP D 上页上页下页下页最近页最近页某品种苹果成箱成售，设每箱装某品种苹果成箱成售，设每箱装30只，其广告称每只苹果均只，其广告称每只苹果均在在250g以上，而实际上每箱在以上，而实际上每箱在250g以下的苹果个数为以下的苹果个数为0，1，2的的概率分别为概率分别为0.85，0.10，0.05.今从中随机取一箱，并从中随机取今从中随机取一箱，并从中随机取4只，发现都在只，发现都在250g以上，求该箱苹果确如广告所言的概率。以上，求该箱苹果确如广告所言的概率。习题册习题册P26EX.3.6解：解：设设A取出的取出的4只苹果都在只苹果都在250g以上以上B

7、i=箱子中有箱子中有i只苹果在只苹果在250g以下以下，i0，1，2则则123()0.85,()0.1,()0.05,P BP BP B1(|)P A B 430C430C2(|)P A B 430C429C3(|)P A B 430C428C某品种苹果成箱成售，设每箱装某品种苹果成箱成售，设每箱装30只，其广告称每只苹果均只，其广告称每只苹果均在在250g以上，而实际上每箱在以上，而实际上每箱在250g以下的苹果个数为以下的苹果个数为0，1，2的的概率分别为概率分别为0.85，0.10，0.05.今从中随机取一箱，并从中随机取今从中随机取一箱，并从中随机取4只，发现都在只，发现都在250g以

8、上，求该箱苹果确如广告所言的概率。以上，求该箱苹果确如广告所言的概率。习题册习题册P26EX.3.6解：解：显然，两两互斥，且显然，两两互斥，且123,B B B123,BBB 故由全概率公式得故由全概率公式得112233( )() (|)() (|)() (|)P AP B P A BP B P A BP B P A B4443029284443030300.850.10.05CCCCCC42370.9744350故所求概率为故所求概率为111() (|)(|)( )P B P A BP BAP A 0.873 教材教材P46P46，EX.10EX.10有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一

9、天某段时间有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，辆汽车通过，求事故次数不少于求事故次数不少于2的概率。的概率。解解设某天该段时间内通过的设某天该段时间内通过的1000辆汽车中有辆汽车中有X辆汽车出事故，辆汽车出事故，则则)0001. 0 ,1000( BX故查泊松分布表可得所求概率为故查泊松分布表可得所求概率为)1()0(1)2( XPXPXP由泊松定理知由泊松定理知 P(1000 0.0001) P(0.1)XX 近近似似近近似似，即即，090484. 0904837. 01 004

10、7. 0 上页上页下页下页最近页最近页教材教材P47P47，EX.12EX.1202Axdx 20|Ax 2A 设随机变量设随机变量X X的密度函数为的密度函数为 2 ,0,( )0,.xxAf x 其其他他试求：试求：(1)(1)常数常数A A；(2)X(2)X的分布函数。的分布函数。1( )f x dx 1A ( )( )xF xf t dt 20,0,01,1,1,xxxx 0,x 01,x1, x 02,xtdt 0,1,解解：（1）（2）01x上页上页下页下页最近页最近页教材教材P47P47，EX.19EX.19设随机变量设随机变量X的分布函数的分布函数( )arctan ,F xA

11、Bxx 求求：(1)常数常数A，B；(2)P(X0时，有时，有2( ) YFyP Xy()()XXFyFyPyXy所以，所以，Y的概率密度为的概率密度为( )Yfy 0y 1()() ,2XXfyfyy0y 0,即即Y的分布函数为的分布函数为()(),0,( )0,0.XXYFyFyyFyy 上页上页下页下页最近页最近页因为，即因为，即X的密度函数为的密度函数为X(0,1)N221( ),.2xXfxexR 所以所以21()(),0.2yXXfyfyey 故故Y的概率密度为的概率密度为21,0,( )20,0.yYeyfyyy 上页上页下页下页最近页最近页设设X X的密度函数为的密度函数为2

12、,01,( )0,.xxf x 其其他他，求，求Y=XY=X2 2的密度函数。的密度函数。 ( )()YFyP Yy 解：解：(1)(1)方法一方法一Y Y的分布函数为的分布函数为2()P Xy00,()0,.PyyXyy 0,0,0.(,()XXFyFyyy 教材教材P75P75，EX.3EX.30,0,11()()22( ),0,XXYfyffyyyyyy 故故Y Y的密度函数为的密度函数为上页上页下页下页最近页最近页2,01,()0,Xyyyf 其其他他. .12,01,2( )0,Yyyyfy 其其他他. .所以所以故，故，2,01,0,1.yyy ()0,0,Xfyy1,01,0,y

13、 其其他他. .2 ,01,( )0,.Xxxfx 其其他他因为因为上页上页下页下页最近页最近页1( ),( ),()201xh yy h yyy ( ( )( )01,( )Yf h yh yfyy 0 ，0 ，其其他他, ,方法二方法二故故Y的密度函数为的密度函数为2yx 在在( (0,10,1) )上单调递增且一阶连续可导，上单调递增且一阶连续可导，因为因为1(),01,2fyyy 0 ，0 ，其其他他, ,12,01,20,.yyy 其其他他1,01,0,.y 其其他他上页上页下页下页最近页最近页在在( (0,10,1) )上反函数存在且可导，反函数为上反函数存在且可导，反函数为2yx

14、 故故设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布，随机变量1,0,0,0,1,0.XYXX 试求随机变量函数Y的分布律。1,12,( )30,.xf x 其其他他0( )f x dx 0( )f x dx 解：由题意知，解：由题意知，X的密度函数为的密度函数为 Y的全部可能取值为的全部可能取值为-1,0，1，且，且P(Y=1)=P(X0)=即即X的分布律为的分布律为 P(Y=-1)=P(X00未知，现在观测到六个时间间隔数据未知，现在观测到六个时间间隔数据( (单位：单位：s)s)：1.81.8，3.23.2，4 4，8 8，4.54.5，2.52.5，试求该路口车辆经过的平均，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。 教材教材P120,EX.7P120,EX.7解：设车辆经过的时间间隔为解：设车辆经过的时间间隔为X，则平均时间间隔为，则平均时间间隔为 将此式中的将此式中的1用用A1来代替，即可得来代替，即可得的矩估计量为的矩估计量为 所以，该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值为所以，该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值为 1()E X1AX 1 83 2484 52 546.x 上页上页下页下页最近页最近页上页上页下页下页最近页最近页( )XE X的密度函数为的密度函数为,0