第十二章 能量法(一).

1、2 12-1 外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式12-2 互等定理互等定理12-4 变形体虚功原理变形体虚功原理12-5 单位载荷法单位载荷法 3 一、计算外力功的基本公式一、计算外力功的基本公式 载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量，称为该载荷的载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量，称为该载荷的。ffk k为比例常数。为比例常数。O f fd F d fdf12WF 200dd2kWfk 4轴向拉压杆件的应变能轴向拉压杆件的应变能NF lFllEAEA 22N222F lF lF lVWEAEA F5二、克拉比隆定理二、克拉比隆定理 应变能只取决于外力和变形的最终数值，而与加力

2、的次应变能只取决于外力和变形的最终数值，而与加力的次序无关。序无关。f1f2 1 2F2F1 1 2 假设假设f1、f2按相同的比例，从按相同的比例，从0开始逐渐增加到最终值。开始逐渐增加到最终值。在小变形、线弹性的条件下，位移在小变形、线弹性的条件下，位移 1 、 2也将按相同比例增也将按相同比例增加。引进一个在加。引进一个在0到到1之间变化的参数之间变化的参数 f1 = F1、 f2 = F2 1 = 1、 2 = 26 F1 F212给给 一个增量一个增量d ，位移，位移 、 2的相应增量为的相应增量为 d , 2d 外力外力 F1 、 F2在以上位移增量上作的功为在以上位移增量上作的功

3、为dW = F1 d + F2 2d = (F1 + F2 2) d W = (F1 + F2 2) d 101122,22FFVW12niiiFVW7三、应变能的一般表达式三、应变能的一般表达式dxM(x)M(x)T(x)T(x)FN(x)FN(x)N( )d( )d( )ddd222FxT xM xVW222Np( )d( )d( )d222FxxTxxMxxEAGIEI222Np( )d( )d( )d222lllFxxTxxMxxVEAGIEI8例例 图示悬臂梁，承受集中力图示悬臂梁，承受集中力F与矩为与矩为Me的集中力偶作用。的集中力偶作用。计算外力所作的总功。计算外力所作的总功。l

4、EIABMeF23e1223AM lFlwwwEIEI2e122AM lFlEIEI222 3eee22226AAMFwM lM FlF lWEIEIEI22 3e 12e2226MFwM lF lWEIEI解：解：911( )M xFx BC 段：段：22()()M xF ax AB 段：段：22212120( )()dd22aaaMxMxVxxEIEI22222112220d(2)d2aaaFxxaaxxxEI23103F aEI解：解：例例 计算图示梁的应变能。计算图示梁的应变能。aaFMe=FaEIABCx1x22222212120()dd22aaaF xFaxxxEIEI10例例 计

5、算图示直径为计算图示直径为d 的圆截面水平直角弯杆在铅直力的圆截面水平直角弯杆在铅直力F作作用下的应变能。用下的应变能。(G = 0.4E)ABCF2aax1x2BC 段为弯曲变形段为弯曲变形:11( )M xFx AB 段为弯曲与扭转组合段为弯曲与扭转组合:22()M xFx 2()T xFa 2222222212122000ddd222aaaPF xF xF aVxxxEIEIGI232322(2 )2662PF aFaF aaEIEIGI234176F aEd解：解：11练习练习 求图示外伸梁的应变能及求图示外伸梁的应变能及C 点的挠度。点的挠度。EIABFx1x2FAy=F/2l/2l

6、C解：解： 外力功：外力功：12CWF变形能：变形能：111( )2M xFx22()M xFx222222133/2221210200014dd22246llllF xP xFPVxxxxEIEIEIEI2 31,216CF lFEI38CFlEI 2 316F lEI12 F1 11 2112F2 12 2221第一个下标表示发生位移的部位，第二个表示引第一个下标表示发生位移的部位，第二个表示引起该位移的载荷起该位移的载荷13 12F2F1 11 22 2112F1F2 11 2212111222111222FFWF222111222122FFWF12,WW112221FF1221称为称为

7、称为称为如果如果F1 = F2，则，则14FRBCMe例例 图示曲杆，当只加集中力图示曲杆，当只加集中力F时，端面的转角时，端面的转角 = kFR2/EI。求当只加力偶求当只加力偶Me时，时，B截面沿截面沿F力作用线方向的位移力作用线方向的位移 B。EI2eBkFRFMEI 2eBkM REI 解：解：112221FF1215 与外力保持平衡的内力，称为静力可能内力，简称与外力保持平衡的内力，称为静力可能内力，简称；满足位移边界条件与变形连续条件的任意微小位移，满足位移边界条件与变形连续条件的任意微小位移，称为称为，也称为几何可能位移，简称，也称为几何可能位移，简称。16dxd *dxd *d

8、xd *当微段发生当微段发生时，作用在微段上的可能内力所作时，作用在微段上的可能内力所作的虚功为的虚功为*iNddddWFTM总虚功为总虚功为*iN(ddd)lWFTM称为称为。17当杆（或杆系结构）发生虚位移时，作用于其上的外当杆（或杆系结构）发生虚位移时，作用于其上的外力在虚位移上作虚功，其总功称为力在虚位移上作虚功，其总功称为。We = Wi称为称为。18：虚位移满足位移边界条件：虚位移满足位移边界条件：*(0)0, (0)0, ( )0www l虚位移满足变形连续条件：虚位移满足变形连续条件：*ddwxM(l) = 0qdxdxFSFS+dFSMM+dMxdxxlw*q(x)19qdx

9、dxFSFS+dFSMM+dM*edlWw q x*Sdlw F*d0ddlMxxxdxxlw*q(x)*0dllMM*dlMeiWW*dddSlFwxx*SS0dddllwF wFxx*dlM20 qFnnMeA Ann1实际载荷引起的位移作为虚位移，微段的轴向变形实际载荷引起的位移作为虚位移，微段的轴向变形d 、d 和和d 为相应的虚变形。为相应的虚变形。单位力在位移单位力在位移 上作虚功，其值为上作虚功，其值为We = 1 21与单位力平衡的内力在相应的变形上作虚功，整个杆与单位力平衡的内力在相应的变形上作虚功，整个杆（或杆系）的内虚功为（或杆系）的内虚功为Ni( )d( )d( )dl

10、WFxT xM x根据变形体虚功原理根据变形体虚功原理N( )d( )d( )dlFxT xM x 应理解为广义位移，而式中的内力则为相应单位载荷应理解为广义位移，而式中的内力则为相应单位载荷的可能内力。这种计算位移的方法，称为的可能内力。这种计算位移的方法，称为，它不，它不仅适用于线性弹性杆或杆系，也适用于非线性弹性杆或杆系。仅适用于线性弹性杆或杆系，也适用于非线性弹性杆或杆系。22N( )d( )d( )dlFxT xM x对于对于线性弹性杆或杆系线性弹性杆或杆系N( )dd ,FxxEAt( )dd ,T xxGI( )ddM xxEINNt( )( )( ) ( )( )( )dddl

11、llFx FxT x T xM x M xxxxEAGIEINN1nii iiiiF F lE Ap( ) ( )dlT x T xxGI( )( )dlM x M xxEI1123桁架位移计算桁架位移计算求结点求结点D 的水平位移的水平位移求结点求结点D 的竖向位移的竖向位移求杆求杆BD 的转角的转角求结点求结点D、E 的相对位移的相对位移ABCDEFABCDEFBACDEFlBD1/BDl1/BDlCDEFAB1124例例 求图示桁架结点求图示桁架结点D 的水平位移和的水平位移和BE 杆的转角，各杆杆的转角，各杆EA 相同。相同。ABCDEFaaaF123456789712345689FN

12、NFl-F0000F/2F/22/2F2/2F000011/21/22/22/2aaaaaaaa2a222211.914(2)222 2DFFFaaaEAEAABCDEF1234567891F/2F/2F1/21/2125ABCDEFaaaF123456789DEABCF1234567891/21/21/2a1/2a712345689l-F0000F/2F/22/2F2/2F0000-1/2a -1/2aa2/1aaaaaaaa2a200FNNF/12110.207(22)22 22B EFFFaaEAaEAa F/2F/2F26例例 求图示桁架结点求图示桁架结点D 的竖向位移，各杆的竖向位移

13、，各杆EA 相同。相同。ABCDaaaF1234512345FNFl0F/2F/22/2F11/21/22/2aaaa2a22/22/2F21()2 22DFFaaEAEA解：解：ABD123451F/2FF/227静定梁静定梁、刚架的位移计算刚架的位移计算求结点求结点C 的竖向位移的竖向位移求求B 截面的转角截面的转角FABCD11FABCDFABCDE11FABCDE11求求C、E两点的相对位移两点的相对位移 求铰求铰C 两侧截面的相对转角两侧截面的相对转角28例例 求图示简支梁求图示简支梁 C 截面的挠度和截面的挠度和A 截面的转角。截面的转角。x1x22l/3EIABCFl/3ABC1

14、x1x21/32/3F/3F2/3111( )3M xFx222()3FxM x11( )3xM x222()3xM x222 /3/31212004dd99llCFxFxxxEIEI3384729729FaFaEIEI34243FaEI解：解：29x1x22l/3EIABCFl/3x1x21/l1/lF/3F2/3111( )3M xFx222()3FxM x11( )1xM xl 22()xM xl2 /3/31122120021-dd33llAFxxFx xxxEIlEIl3338227243243FlFlFlEIEIEI3481FlEIABC130例例 求图示求图示1/4圆弧形曲梁圆弧

15、形曲梁B 端的铅直位移、水平位移和转端的铅直位移、水平位移和转角。角。F、R、EI 已知。已知。 CDFABRO(1cos),MFR(1cos)MR( )( )dBylMMsEI3220(1 cos )dFREI CD1ABRO( )( )dMMREI解：解：313220(1 2coscos)dFREI CDFABROA CD1BRO320112sinsin2 24FREI3(38)4FREI32 CDFABRO CD1ABRO(1 cos ),MFRsinMR ( )( )dBxMMREI320(1 cos )sin dFREI 320(1 cos )dcosFREI32FREI 32/20

16、1coscos2FREI33 CDFBRO CD1ABRO220(1 cos )dBFREI2(2)2FREI1M 2/20sin FREI(1 cos ),MFR注意：注意：M与与 正负的正负的假设必须一致。假设必须一致。M34练习练习 求图示外伸梁端截面求图示外伸梁端截面C 的挠度的挠度 C和转角和转角C 。ll/2EIABCFx1x2F/23F/21/23/2EIABC1x1x2111( )2M xFx 22()M xFx 解：解：111( )2M xx 22()M xx 22/2121200dd4llCFxFxxxEIEI33312/2001238llFFFlxxEIEIEI35ll/

17、2EIABCFx1x2F/23F/21/l1/l1x2EIABCx1111( )2M xFx 22()M xFx 111( )M xxl 2()1M x /22211200dd2llCFFxxxxEIlEI23212/27006224llFFFlxxEIlEIEI36BqlAClEIEI例例 求图示刚架求图示刚架B 点的水平位移和点的水平位移和C 截面的转角。截面的转角。x1x2ql/2ql/2)(1xMqql/2)(2xM1)(1xM11)(2xM1解：解：x1x2BACEI1137qql/2ql/211)(1xM)(1xM)(2xM)(2xM111121)(qlxxM22222121)(qxqlxM11)(xxM22)(xlxM2221221200()()dd22llBxqlxq lxlxxxEIEIEIql834381/l)(1xMBA1EIx1x2C1/l)(2xM122222121)(qxqlxM111)(xlxM0)(2xM2110d2lCqxxEI1121)(q