电磁场与波1矢量分析与场论.

1、电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义二、矢量的运算法则二、矢量的运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度四、标量场的梯度六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度五、矢量场的散度五、矢量场的散度七、七、亥姆霍兹定理及亥姆霍兹定理及重重要的场论公式要的场论公式电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。只有大小，没有方向的物理量。矢量矢量表示为：表示

2、为：|AA a所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1 1。| A a2.2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。不仅有大小，而且有方向的物理量。如如: :力力 、速度、速度 、电场、电场 等等FEv如：温度如：温度 T T、长度、长度 L L 等等电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论例：在直角坐标系中，例：在直角坐标系中， x 方向的大小为方向的大小为 6

3、6 的矢量如何表示？的矢量如何表示？6xa图示法：图示法： 6xaGNFfFxy力的图示法：力的图示法： FNfFFF电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论二、矢量的运算法则二、矢量的运算法则1.1.加法加法: : 矢量加法是矢量的几何和矢量加法是矢量的几何和, ,服从服从平行四边形规则平行四边形规则。a.a.满足交换律：满足交换律：ABBAb.b.满足结合律：满足结合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBD电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论zoyx三个方向的单位矢量用三个方向的单位矢量用 表示。表示。,xyzaaa根据矢量加法运算

4、：根据矢量加法运算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以：所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐标系下的矢量的表示在直角坐标系下的矢量的表示: :AxAyAzA其中：其中：电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论矢量：矢量：xxyyzzAA aA aA a.模的计算模的计算：222|xyzAAAA.单位矢量单位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA.方向角与方向余弦方向角与方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐标系中三个矢量加法运算：在直角坐标系中三个矢量加法运算： ()()(

5、)xxxxyyyyzzzzABCABC aABC aABC azoyxAxAyAzA电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论2.2.减法：减法：换成加法运算换成加法运算()DABAB ABCBAB逆矢量：逆矢量： 和和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。的模相等，方向相反，互为逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐标系中两矢量的减法运算：在直角坐标系中两矢量的减法运算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推论：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。电磁场与波电磁场与波第第1章章

6、矢量分析和场论矢量分析和场论3.3.乘法：乘法：（1 1）标量与矢量的乘积：）标量与矢量的乘积：0|00kkAk A akk方向不变，大小为方向不变，大小为|k|倍倍方向相反，大小为方向相反，大小为|k|倍倍（2 2）矢量与矢量乘积分两种定义）矢量与矢量乘积分两种定义a. a. 标量积（点积）：标量积（点积）：| |cosA BABBA两矢量的点积两矢量的点积含义：含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。其结果是一标量。电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论在直角坐标系中在直角坐标系中，已知三

7、个坐标轴是相互正交的，即，已知三个坐标轴是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有两矢量点积：有两矢量点积：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA结论结论: :两矢量点积等于对应分量的乘积之和。两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论推论1 1：满足交换律：满足交换律推论推论2 2：满足分配律：满足分配律推论推论3 3：当两个非零矢量点积为零：当两个非零矢量点积为零, ,则这两个矢量必正交。则这两个矢量必正交。A BB A()A BCA BA C 电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和

8、场论矢量分析和场论推论推论1 1：不服从交换律：不服从交换律：,A BB AA BB A 推论推论2 2：服从分配律：服从分配律：()AB CA BA C推论推论3 3：不服从结合律：不服从结合律：()()AB CA BC推论推论4 4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.b.矢量积（叉积）：矢量积（叉积）：| |sincABABa含义：含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者

9、符合右手螺旋法则。者符合右手螺旋法则。BAca电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBBx xy yz z() ()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a两矢量的叉积又可表示为：两矢量的叉积又可表示为：电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论（3 3）三重积：）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：三个矢量相乘有以下几种形式：()A B

10、C矢量，标量与矢量相乘。矢量，标量与矢量相乘。()ABC标量，标量三重积。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。矢量，矢量三重积。a. a. 标量三重积标量三重积法则：在矢量运算中法则：在矢量运算中, ,先算叉积先算叉积, ,后算点积。后算点积。定义：定义：|sincosA BCA B C()ABC含义：含义： 标量三重积结果为三矢量构成标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积的平行六面体的体积 。ABChB C 电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论注意注意：先后轮换次序。先后轮换次序。推论推论：三个非零矢量共面的条件。三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：在直角坐

11、标系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCCCb.b.矢量三重积：矢量三重积：()()()ABCB A CC A B ()()()VABCCABBCAABChB C电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论例例1 1：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：求：4123rarbrcr中的标量中的标量a,b,c。解：解：325(2)(32)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23

12、)xyzabc aabc aabc a 则：则：设设213abc 22332235abcabcabc电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论例例2 2： 已知已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：确定垂直于求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。所在平面的单位矢量。AB解：解：已知已知AB所的矢量垂直于所的矢量垂直于 、 所在平面。所在平面。ABnABaAB 263151030431xyzxyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15( 10)3035AB 电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论三、矢量微分元：线元，面元，体

13、元三、矢量微分元：线元，面元，体元例：例：,F dlB dSdV其中：其中： 和和 称为微分元。称为微分元。,dl dSdV1.1.直角坐标系直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为在直角坐标系中，坐标变量为( (x,y,z) )，如图，做一微分体元。，如图，做一微分体元。线元：线元：yydldyaxyzdldxadyadzadldSxxdldxazzdldza面元：面元：xxdSdydza体元：体元：dVdxdydzyydSdxdzazzdSdxdya方向见下页：方向见下页：电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论 面元面元 是矢量，或写成是矢量，或写成 方向的规定：方向的规

14、定： 闭合曲面外法线方向闭合曲面外法线方向(自内向外自内向外) 为正。为正。 非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则SdSndSSd nndSdSa电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论2.2.圆柱坐标系圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。，如图，做一微分体元。( , , )rz线元：线元：ddddrzlrarazadd drrSrzadd dSr zadd dzzSrradd d dVr rz面元：面元：体元：体元：变矢量，不是常矢量变矢量，不是常矢量电磁场与波电磁场与波

15、第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论3.3.球坐标系球坐标系在球坐标系中，坐标变量为在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。，如图，做一微分体元。( , , )R 2dsin d dRRSRa dsin d dSRRadd dSR Radddsin dRlRaRaRa 线元：线元：面元：面元：体元：体元：2dsin d d dVRR 电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论a. a. 在直角坐标系中，在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为均为长度量，其拉梅系数均为1 1， 即：即：1321hhh1, 1321hrhhb. b. 在柱坐标系中，坐标

16、变量为在柱坐标系中，坐标变量为 , , 其中其中 为角度，其对为角度，其对应的线元应的线元 ，可见拉梅系数为：，可见拉梅系数为：( , , )rzdrac.c. 在球坐标系中，坐标变量为在球坐标系中，坐标变量为 ，其中，其中 均为均为 角度，其拉梅系数为：角度，其拉梅系数为：( , , )R , sin, 1321RhRhh注意：注意：每个坐标长度增量同各自坐标每个坐标长度增量同各自坐标增量之比增量之比, 称为度量系数或称为度量系数或电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论 在正交曲线坐标系中，其坐标变量在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都不一定都是长度，其线元必然有一

17、个修正系数，这些修正系数称为拉是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元，就可正确写出其线元，面元和体元。面元和体元。123( ,)u u u123,h h h体元：体元：321321dududuhhhdV 1111udlhdu a2222udlh du a3333udlh du a123112233uuudlhdu ah du ah du a线元：线元：112323udSh h du du a221 313udShh du du a331 212udShh du du a面元：面元：正交曲线坐标系：正交曲线坐标系

18、：电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论四、标量场的梯度四、标量场的梯度1.1.标量场的标量场的等值面等值面可以看出：可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。相交的。以温度场为例：以温度场为例：热源热源等温面等温面电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论 甲：每米的温度变化为甲：每米的温度变化为 乙：每米的温度变化为乙：每米的温度变化为 丙：每米的温度变化为丙：每米的温度变化为 同一温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同。同一温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同。 000(030)/1003

19、/10/CCmC m 000(030)/2003/20/CCmC m 000(030)/703/7/CCmC m 沿着沿着l1、l2、l3 的方向性导数的方向性导数不同不同电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论2.2.标量场的梯度标量场的梯度a.a.方向导数：方向导数：dld空间变化率，称为方向导数。空间变化率，称为方向导数。dnd为最大的方向导数。为最大的方向导数。标量场的场函数为标量场的场函数为),(tzyx00dP1P2Pdndl2202()( )limPPPPPlPPb.b.梯度梯度定义：定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，标量场中某点梯度的大小为该

20、点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：数学表达式：ndgradadn计算：计算：电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论cosddn0dgradldlu rdddndldndlnldaadn在直角坐标系中梯在直角坐标系中梯度的表示式：度的表示式：dzzdyydxxdxyzdldxadyadzav所以：所以：xyzgradaaaxyz梯度也可表示：梯度也可表示：grad00dP1P2Pdndl用梯度表示方向导数：用梯度表示方向导数：电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论哈米尔顿（哈米尔顿（Ha

21、milton）算子）算子xyzxyz aaa为矢性微分算子：为矢性微分算子：是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。算子与标量函数算子与标量函数 的乘积为一矢量函数。的乘积为一矢量函数。在直角坐标系下：在直角坐标系下：xyzxyzxyzxyzaaaaaa电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论在柱坐标系中：在柱坐标系中：在球坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：rzaaarrzsinRaaaRRR 123112233uuuaaah uh uh u在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在不同的坐标系中，梯度的计

22、算公式：在直角坐标系中：在直角坐标系中：xyzaaaxyz电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论24681012141618202468101214161820某二维标量场梯度某二维标量场梯度电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论梯度的积分梯度的积分梯度场的曲线积分与梯度场的曲线积分与路径无关，只与起点路径无关，只与起点P和终点和终点Q 有关。有关。若若 ，有，有uFQQQPPPudu ddll Fll( )( )QPduu Pu Q C2C1P1P2l无旋场沿不同无旋场沿不同路径的积分路径的积分 电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分

23、析和场论例 题 求求2( , , )x y zx yz在点（在点（2，3，1）处的梯度及沿方向）处的梯度及沿方向345xyzleee的方向导数。的方向导数。解：解：222xyzexyze x ze x y(2,3,1)12412xyzeee(2,3,1)(2,3,1)12 34 4 12 59 1625112562550lel 所以，所以，电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论五、矢量场的散度五、矢量场的散度1. 1. 矢线（场线）：矢线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线上每在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则

24、该曲线成为矢线。方向重合，则该曲线成为矢线。2. 2. 通量：通量：定义：定义：如果在该矢量场中取一曲面如果在该矢量场中取一曲面S S， 通过该曲面的矢量线称为通量。通过该曲面的矢量线称为通量。表达式：表达式：sv dS若曲面为闭合曲面：若曲面为闭合曲面：sv dS+ +- -电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论物理意义物理意义-流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量 若流体流过平面上面积为若流体流过平面上面积为S的一个区域，的一个区域， 且流体在此区域上各点的流速为常量且流体在此区域上各点的流速为常量v， 设设n为该平面的单位法向量为该平面的单位法向量 则单位时间内流过

25、此区域的流体组成一底则单位时间内流过此区域的流体组成一底面积为面积为S、斜高为、斜高为|v|的斜柱体，这斜柱体的的斜柱体，这斜柱体的体积为体积为nvSS| |cosS vv Sn电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论讨论：讨论：a.a. 如果闭合曲面上的总通量如果闭合曲面上的总通量0 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。味着闭合面内存在正的通量源。b.b. 如果闭合曲面上的总通量如果闭合曲面上的总通量0 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在

26、曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c.c. 如果闭合曲面上的总通量如果闭合曲面上的总通量0说明穿入的通量等于穿出的通量。说明穿入的通量等于穿出的通量。电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论3.3.散度：散度：a.a.定义：定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 b.b.表达式：表达式：0limSVF dsdivFV c.c.散度的计算：散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢

27、量场矢量场 表示为：表示为：FxxyyzzFF aF aF a1Szyx6S5S4S3S2S123123SSSSF dsF dsF dsF ds456456SSSF dsF dsF ds电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论111( )()xxxsF dsF x ay za zyxFx)(1222()xxxsF dsF x ay za 在在 x x方向上：方向上：计算穿过计算穿过 和和 面的通量为面的通量为2S1S1()xF xxy z 11( )()()xxxF xF xxF xxx 因为：因为：221( )()xxsF xF dsF xy zx y zx 则：则：在在

28、 x x 方向上的总通量：方向上的总通量：1212xssFF dsF dsx y zx 电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论在在 z z 方向上方向上, ,穿过穿过 和和 面的总通量：面的总通量：5S6S5656ZssFF dsF dsx y zz vvvv整个封闭曲面的总通量：整个封闭曲面的总通量：yxzsFFFF dsx y zxyz vv3434yssFF dsF dsx y zy vvvv同理：在同理：在 y y方向上方向上, ,穿过穿过 和和 面的总通量：面的总通量：3S4S电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论该闭合曲面所包围的体积：该

29、闭合曲面所包围的体积：zyxV0limsVF dsdivFV zFyFxFzyx通常散度表示为：通常散度表示为：divFF()xyzxxyyzzyxzxyzAAAxyzAAAxyzQAaaaaaaaaa电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论4.散度定理：散度定理：SvF dsFdV物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论柱坐标系中：柱坐标系中：1 ()1rzFF rFFrrrz球坐标系中：球坐标系中：22(sin )()111sinsinRFFR

30、 FFRRRR132231 21 31 23123()()1uuuF h hF hhF hhFhh huuu正交曲线坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：yxzFFFFxyz常用坐标系中，散度的计算公式常用坐标系中，散度的计算公式电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度1.1.环量：环量： 在矢量场中，任意取一闭合曲线在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。将矢量沿该曲线积分称之为环量。lCF dl可见：环量的大小与环面的方向有关。可见：环量的大小与环面的方向有关。电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分

31、析和场论矢量分析和场论 以以 为周界的曲面为周界的曲面S，规定，规定S的正法线方的正法线方向向 和和 的绕行方向成右螺旋关系，当的绕行方向成右螺旋关系，当 缩小到某点附近，以下极限有一确定值，缩小到某点附近，以下极限有一确定值， 称该极限值为矢量场在此点处沿称该极限值为矢量场在此点处沿 方向的方向的环流密度。（该值与环流密度。（该值与 的形状无关，但与的形状无关，但与所围面积的法线所围面积的法线 有关）有关）2. 环量面密度环量面密度:0limlSF dlS nnnllll电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论3.旋度旋度:定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度定义：一矢

32、量其大小等于某点最大环量密度 方向为该环面的法线方向方向为该环面的法线方向 表达式：表达式：max0d rotlimnlSaFlFS 旋度可用符号表示：旋度可用符号表示：rotFF 由旋度的定义可知，沿任意方向由旋度的定义可知，沿任意方向 的环流密度等于的环流密度等于旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量）旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量） m0d(rot )lim(rot )lmSFlFmFS 电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论旋度计算：写出旋度在直角坐标系中的三个坐标分量旋度计算：写出旋度在直角坐标系中的三个坐标分量以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：

33、以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：()()()xxyyzzFFaFaFa 10()limlxSxF dlFS xxyyzzFF aF aF a场矢量：场矢量：1abbccddaabbccddalllllF dlF dlF dlF dlF dl其中：其中： 为为x x 方向的环量密度。方向的环量密度。()xFxzydcba电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论()abzdldza1zylF dlFzFy ()()yzzyFFFyzFzyyz ()yzxFFSyz其中：bcydldyacdzdldza()daydldya可得：()yzxFFFyz()xzyFFFzx()y

34、xzFFFxy同理：xzydcba所以：10()limlxSxF dlFS yyxxzzxyzFFFFFFFaaayzzxxy旋度公式：电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论为了便于记忆，将旋度的为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式计算公式写成下列形式: :xyzxyzaaaFxyzFFF 类似的，可以推导出在广义正交坐标系中旋度计算公式：类似的，可以推导出在广义正交坐标系中旋度计算公式： 对于柱坐标，球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可对于柱坐标，球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。写出旋度的计算公式。1231231231 231231231u

35、uuuuuhah ah aFhh huuuh Fh Fh F电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论3.3.斯托克斯定理：斯托克斯定理：物理含义：物理含义： 一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。线积分。() ddSlFSFl电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论方向相反方向相反大小相等大小相等结果抵消结果抵消电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论恒等式(1).()0u 即任何标量场的梯度的旋度恒等于零；即任何标量场的梯度的旋度恒等于零；推论：如果一个矢量场推论：如

36、果一个矢量场F的旋度等于零，那么该矢量场的旋度等于零，那么该矢量场可由一个标量场的梯度来表示。可由一个标量场的梯度来表示。() dd0SlCCCuuSulu ldldldul 证明：证明：对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理由斯托克斯定理由于曲面由于曲面S是任意的，故有是任意的，故有 ()0u 电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论 对于对于以以任意闭合任意闭合曲面曲面S为边界的体积为边界的体积V V，由散度定理有，由散度定理有 11VSSSA dVAdSAdSAdS 其中其中S S1 1和和S S2 2如图如图1 1所示。由

37、斯托克斯定理，有所示。由斯托克斯定理，有 11SCAdSA d l(2)()0F 图S1S2C2C1n1n222SCAdSA d l电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论证明矢量恒等式（2）即任何矢量场的旋度的散度恒等于零；即任何矢量场的旋度的散度恒等于零；推论：如果一个矢量场推论：如果一个矢量场F的散度等于零，那么该矢量场的散度等于零，那么该矢量场可由另一个矢量场的旋度来表示。可由另一个矢量场的旋度来表示。所以所以 0dvAV由题图由题图1 1可知可知C C1 1和和C C2 2是方向相反的同一回路，则有是方向相反的同一回路，则有 21CCdAdAll由于体积由于体积V

38、 V是任意的，故有是任意的，故有0)(A电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论亥姆霍兹定理的简化表述如下亥姆霍兹定理的简化表述如下: : 若矢量场若矢量场F在无限空间中处处在无限空间中处处单值单值, , 且其导数连续有界且其导数连续有界, , 而源分布在有限区域中而源分布在有限区域中, , 则矢量则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定。场由其散度、旋度和边界条件唯一确定。 并且并且, , 它可表示为它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, , 即即 12FFFA 七、七、 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理调和场，有源无旋场

39、，无源有旋场，有源有旋场调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论GFgF如果在矢量场如果在矢量场F的散度和旋度都不为零，设的散度和旋度都不为零，设 可将矢量场可将矢量场F表示为一个无源场表示为一个无源场Fs和无旋场和无旋场Fi 的叠加，即的叠加，即isFFF其中其中Fs和和Fi分别满足分别满足 GFFss00FFiiguisFAF于是于是 AFu因而，可定义一个标量位函数因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数和矢量位函数A A，使得，使得 电磁场与

40、波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论 矢量场的分类矢量场的分类 若矢量场若矢量场F在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有：F=0和和F=0 则在则在该区域该区域V V内，场内，场F F为调和场。为调和场。 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。如果如果 ，则称矢量场，则称矢量场F为无旋场。无旋场为无旋场。无旋场F可以表示可以表示为另一个标量场的梯度为另一个标量场的梯度 。0F 如果如果 ，则称矢量场，则称矢量场F为无源场。无源场为无源场。无源场F可以表示可以表示为另一个矢量场的旋度。为另一个矢量场的旋度。0 FAF一般的情况下，如果矢量场一般的情况下，如果矢量场F的散度和旋度都不为零，的散度和旋度都不为零，即即 电磁场与波电磁场与波第第1章章 矢量分析和场论矢量分析和场论在圆柱坐标系中：在圆柱坐标系中： 2222221)(1zrrrr