微分方程实例和基本概念

1、徐志洁徐志洁期末期末 70%，平时，平时 20%，期中期中10%。待定待定1.自我介绍：2.考核方式：4.答疑时间：基础楼基础楼C座座5393.作业要求：每周三每周三交作业，认真独立完成。交作业，认真独立完成。E-mail: 期中、期末：统考期中、期末：统考 平时：考勤、作业、课堂表现平时：考勤、作业、课堂表现1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程主要内容多元微积分第七章微分方程第一节 微分方程实例和基本概念本章主要介绍微分方程的基本概念本章主要介绍微分方程的基本概念和几种常用微分方程的解

2、法和几种常用微分方程的解法.本节内容本节内容n微分方程的基本概念微分方程的基本概念n微分方程微分方程n常（偏）微分方程常（偏）微分方程n微分方程的阶微分方程的阶n微分方程的解（通解，特解）微分方程的解（通解，特解）n微分方程的初值问题微分方程的初值问题n简单微分方程求解举例简单微分方程求解举例微分方程的基本概念微分方程的基本概念n微分方程微分方程:含有含有自变量自变量, ,未知函数以及未知函数以及未知函数的导数未知函数的导数或微分或微分的方程叫的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 注意注意: : 自变量，未知函数有时不显含自变量，未知函数有时

3、不显含. .微分方程的基本概念微分方程的基本概念n常（偏）微分方程常（偏）微分方程如果在微分方程中，自变量的个数只有一个（也就是未知函数是一元函数），称这种微分方程为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程。微分方程的基本概念微分方程的基本概念n微分方程的阶微分方程的阶: 微分方程中出现的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数未知函数的最高阶导数的阶数., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy微分方程的基本概念微分方程的基本概念n微分方程的解

4、微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同. .特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .2 ,yx 例2,yxC通 解2 ,yx 例21yx特 解微分方程的基本概念微分方程的基本概念n微分方程的初值问题：微分方程的初值问题： 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的

5、问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .简单微分方程求解举例简单微分方程求解举例解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd . 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd简单微分方程求解举例简单微分方程求解举例解解xecxd yed x例2xye dx简单微分方程求解举例简单微分方程求解举例例3221dydx11d yd xxCd x21121()2yxCdxxC xC简单微分方程求解举例简单微分方程求解举例说明说明: :微