第九讲 全等三角形的判定.

1、 春季同步课程 第九讲 全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法能够构造全等三角形的添加方法教学重点掌握全等三角形的判定掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法能够构造全等三角形的添线方法教学难点全等三角形的判定与性质的灵活运用能够构造全等三角形的添线方法教学方法建议用图形的运动的观点来添加辅助线归纳总结第一部分 知识梳理一 、 全等三角形的判定1、全等三角形判定方法1在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，记作S.A.S.2.在两个三角形中，如果有两条边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不一定全等.2、全等三角形判定

2、方法2在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，记作A.S.A.3、全等三角形判定方法3在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等，记作A.A.S.4、全等三角形判定方法41.全等三角形判定方法4在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等，记作S.S.S.2.三角形的稳定性如果三角形的三条边长固定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.二、构造全等三角形的添线方法：1.截长补短截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上

3、截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。（右图为截长法，即把BC截成BE和EC两段）2.倍倍中线所谓“倍长中线”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）,如下图：图中AD为ABC的中线，延长AD使DE=AD，联结BE,即可。第二部分 例题精讲例 1已知：如图AC=BD，CAB=DBA。求证：CAD=DBC.出题意图：全等形判定1的考查解析：由已知，再加上一组公共边等，可以得到ABC与BAD全等，由

4、性质得对应角相等，再由等量公理可得证.答案：证明：在ABC和BAD中，ABCBAD（SAS）CBA=DAB（全等三角形对应角相等）又CAB=DBA（已知）CAB-DAB=DBA-CBA（等量减等量差相等）CAD=DBC.针对训练 1如图1,已知AD=AE，BE=DC，证ABEACD.例 2已知：如图，1=2，ABC=DCB。求证：AB=DC.出题意图：全等三角形判定2的考查.解析：证明线段或角相等时，常归结到线段或角所在的三角形的全等上，这是三角形全等判断的一种应用。本例要证明AB=DC，以它们所在的三角形全等为证明的手段，就是这种应用的一个例子.答案：证明：1= 2，ABC= DCB，ABC

5、1=DCB2DBC= ACB在ABC和DCB中：ABC DCB（ASA）AB=DC针对训练 2如图，已知B=C，AB=AC，试说明ABEACD的理由. 例 3已知：在ABC中，AD为BC边上的中线，CEAD，BFAD.求证：CE=BF出题意图：全等三角形判定3的考查解析：将CE与BF放在CED与BFD中，证明这两个三角形全等，问题便可解决，而全等条件经过已知的转化是可以得到的.答案：证明：CEAD，BFADCED=BFD=90（垂直定义）D为BC中点BD=DC（线段中点定义）在DEC与DFB中DECDFB（AAS）CE=BF（全等三角形对应边相等） 针对训练 3如图，线段AD、BC交于点O，且

6、A=D，AB=CD，试说明ABODCO的理由.例 4已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE. 出题意图：全等三角形判定4的考查.解析：要证AF=DE，可证AFB与DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证AEB与DFC全等; 本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目，第一次全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件.答案：证明：CE=FBCE+EF=FB+EF，即：CF=BE在AEB和DFC中：AEB DFC（SSS）B= C在AFB和DEC中：AFB DEC（SAS）AF=DE针对训练 4如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。求

7、证：ABCDEF.例 5.如图，ABC中，AB=AC,A=108,BD平分ABC交AC于D。求证：BC=AB+CD.出题意图：全等三角形常见添线的考查.解析：本题采用了截长补短的方法进行解答，而从图形运动的角度理解则是翻折，进而用宏观的角度来考虑此题，加深了题目内在的联系。答案：证：在BC上截取BE=BA，连结DE.BD平分ABC1=2在ABD和EBD中 AB=BE 1=2 BD=BDABDEBDDEB=AA=108DEB=108DEC=72AB=ACABC=C=36CDE=72=DECCD=CEBC=BE+EC=AB+CD针对训练 5已知，如图，AD是ABC的边BC上的中线，BE交AC于点E

8、,交AD于点F，AC=BF.求证:AE=EF. 第三部分 优化作业基础训练题（A）1、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角.ABC中，AB=AC，D为BC中点，DEAB，DFAC2、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形.OA=OB，OC=OD3、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形.ABC中，AB=AC，AE=AF，ADBC于D4、判断1.三个角对应相等的两个三角形全等. ( )2.顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等. ( )3.全等三角形对应的中线相等. ( )4.有一边相等的两个等腰直角三角形全等. ( )5、ABC和ABC中，已知A=B，AB=BC，

9、增加条件 可使ABCBCA(ASA).6、ABC中C=90,BCAC，E在BC上，且BE=EA. CAEB=47,则CEA=_.7、ABC中，C=90，BE为角平分线，EDAB于D，若AE+ED=5cm,则AC=_.8、四边形ABCD中，边AB=DC，AD=BC，B=40,则C= .9、ABC中，AB=AC，两中线BE，CF交于O，则按条件所作图形中共有 对全等三角形.10、如图，ACBE,AC=CE,CB=CF，把EFC绕点C逆时针旋转90,E落在_点上，F落在 点上.11.已知：如图AC=BD，CAB=DBA.求证：CAD=DBC.12、如图，AB=CD，AEBC，DFBC，垂足分别为E，

10、F，CE=BF.求证：ABCD13、如图，AEBC，DFBC，E，F是垂足，且AE=DF，AB=DC，求证：ABC=DCB.14、已知以ABC的边AB、AC为边长，各作正方形ABDE和ACFG.求证:BCEG.提高训练题（B）1、判断1.全等三角形的对应角相等，反之也成立. ( )2.周长为16,一边长为5的两个等腰三角形全等. ( )3.有两个角及一条边相等的两个三角形全等. ( )4.有锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等. ( )2、BP为ABC平分线，D在BP上，PABA于A，PCBC于C，若ADP=35，则BDC= 。3、若ABCABC,且AB=10cm，BC=6cm,则AC的取值

11、范围为 .4、在ABC和DEF中，C=D，B=E，要使两三角形全等，需增加条件( )A.AB=ED B.AB=FD C,AC=FD D. A=F5、下列条件能判断ABCDEF的是( )A. A=D, C=F, B=E B. A=D,AB+AC=DE+DFB. A=D, B=E,AC=DF D. A=D,AC=DF,BC=EF6、ABC中，C=90，AD为角平分线，BC=32，BDDC=97,则点D到AB的距离为( )A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm7、MON的边OM上有两点A、C，ON上有两点B、D，且OA=OB，OC=OD，AD，BC交于E，则OADOBC，ACEBDE

12、，连OE.则OE平分AOB，以上结论( )A.只有一个正确 B.只有一个不正确C.都正确 D.都不正确8、ABC中，C=90,AC=BC，AD为角平分线，DEAB于E，且AB=6cm，则DEB的周长为( )A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm9、B为AC上一点，在AC同侧作等边EAB及等边DBC,那么下列式子错误的是( )A.ABDEBC B. BDA=BCEC.ABEBCD D.若BE交AD于M，CE交BD于N，那么NBCMBD10、线段OD=DC，A在OC上，B在OD上，且OA=OB，OC=OD，COD=60，C=，AC，BC交于E，则BED的度数是( )A.60 B.70 C

13、.80 D.5011、已知：ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，ADE=EFC，AED=ACB，DE=FC.求证：ADEEFC.12、已知：ABC是等边三角形，GAB=HBC=DCA，GBA=HCB=DAC.求证：ABGBCHCAD.13、已知：如图1=2，3=4，求证：ABCABD.14、已知：AB=CD，ABDC。求证：ABCCDA.15、已知：DAAB，CAAE，AB=AE，AC=AD。求证：DE=BC.16、已知：ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点.求证：ABE=ACD.综合迁移题（C） 1、如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC

14、为边在AB同侧作等边ACD和BCE，AE交BC于点G，BD交CE于点H.求证：GHAB.2、如图，在ABC中，CD是ABC的角平分线，BC=AC+AD.求证：A=2B.3、ABC中，AC=BC,ACB=90.D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线，垂足为E，又.求证：BD平分ABC. 4、我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？1 读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略)对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：ABC、均为锐角三角形，AB=，BC

15、=，C=.证明：ABC .(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点B、，作BDCA于D，于，则BDC=90.BC=，C=. BCD，BD=.2 纳与叙述：由可得到一个正确结论，请你写出这个结论.5.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面积6、边数演变如图（1），在正三角形ABC中，N为BC边上任一点（不含B、C两点），CM为正三角形外角ACK的角平分线，若ANM=60，则AN=NM。如图（2），在正方形ABCD中，N为BC边上任一点（不含B、C两点），CM为正方形外角DCK的角平分线，若ANM=90，则AN=NM。请你从、两个命题中任选择一

16、个进行证明：请你继续完成下面的探索：如图（3），在正n(n3)边形ABCDEF中，N为BC边上任一点（不含B、C两点），M为正n边形外角DCK的角平分线，当ANM等于_ 时，结论AN=AM成立（不要求证明）;如图（4），在梯形ABCD中，ADBC ，AB=BC=CD,N为BC延长线上一点，CM为DCN的角平分线，若ANM=ABC，请问AN=NM是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理. 图1 图2 图3 图4参考答案：针对训练1、 答案：AD=DE1=2 在ABE和ACD中AD=DE1=2BE=DCABEACD(S.A.S) 2、答案：通过A.S.A易证明得到ABEACD.3、答案

17、：通过A.A.S易证明得到ABODCO.4、答案：已知中给的条件均为线段，由此可以考虑从边边边公理证明，这里又需用到等量公理, 从而再通过 S.S.S易证明得到ABCDEF.5、答案：利用中线倍长，将ACD旋转至GBD的位置AC=BG=BF可得G=BFG=AFE又G=FAE，AE=EF基础训练题（A）1答案：3对，ADEADF，DBEDCF，BDACDA2答案：3对，OECOED，ECAEDB，OEAOEB3答案：3对，ABDACD，AEDAFD，ABEACF4答案：1.） 2.） 3.） 4.）5答案：B=C 6答案：707答案：5cm8答案：1409答案：310答案：A、B11答案：证明：

18、在ABC和BAD中，ABCBAD（SAS）CBA=DAB（全等三角形对应角相等）又CAB=DBA（已知）CAB-DAB=DBA-CBA（等量减等量差相等）CAD=DBC。12答案：因为CE=BF，所以CE+EF=BF+EF，即BE=CF，在RtAEB和RtDCF中， 所以ABEDCF， 所以B=C，所以ABCD13答案：因为AEBC，DFBC，所以在RtABE和RtDCF中，所以RtABERtDCF，所以ABC=DCB14答案：先证AEG与ABC全等，得AEG=ABC.再利用图形中的“蝴蝶”得BCEG.提高训练题（B）1答案：1.） 2.） 3.） 4.）2答案：7.1453答案：4AC164答案：C 5答案：C6答案：C7答案：C8答案：B9答案：C10答案：B11答案：在ADE与EFC中ADEEFC（ASA）12答案：ABC是等边三角形AB=BC=CA在ABG与BCH中ABGBCH（ASA）同理可证：BCHCADABGBCHCAD13答案：ABC与3互补，ABD与4互补，又3=4，ABC=ABD在ABC与ABD中ABCABD（ASA）14答案：ABCD1=2在ABC与CDA中ABCCDA（SAS）15答案：DAAB，CAAEDAB=EACCAB=DAE在CAB与EAD中CABEAD（SAS）D