第1章线性系统的状态空间描述

1、第1章 线性系统的状态空间描述 1第一章 线性系统的状态空间描述 1.1 线性系统状态空间描述线性系统状态空间描述1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立线性定常连续系统状态空间表达式的建立1.3 系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵1.5 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述1.4 线性系统等价的状态空间描述线性系统等价的状态空间描述第1章 线性系统的状态空间描述 21.1 线性系统状态空间描述线性系统状态空间描述系统：系统：是由相互关联和相互作用的若干组成部分是由相互关联和相互作用的若干组成部分按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。 对

2、于控制工程而言，它可能是被控对象、控对于控制工程而言，它可能是被控对象、控制装置，也可能是某些部件的串联、并联和反馈制装置，也可能是某些部件的串联、并联和反馈组合。组合。第1章 线性系统的状态空间描述 3图图1-1 系统的方块图表示系统的方块图表示 图中方块以外的部分为系统环境图中方块以外的部分为系统环境; 环境对系统施加的作用或激励称为系统输入，环境对系统施加的作用或激励称为系统输入， 用向量用向量 表示表示; 系统对环境的作用（即从外部量测到的系统信系统对环境的作用（即从外部量测到的系统信 息）称为系统输出，用向量息）称为系统输出，用向量 表示；表示； 系统输入和输出统称为系统的外部变量。

3、系统输入和输出统称为系统的外部变量。 描述系统内部状况的变量称为系统的状态变量，描述系统内部状况的变量称为系统的状态变量， 用向量用向量 表示，它是系统的内部变量。表示，它是系统的内部变量。 12 ,Tpu uuu12,Tqy yyy12,Tnx xxx第1章 线性系统的状态空间描述 4主要的数学描述主要的数学描述第1章 线性系统的状态空间描述 51）输入）输入输出描述（外部描述）输出描述（外部描述） 输入输入输出描述输出描述是描述系统输入是描述系统输入输出变量关系的输出变量关系的模型。如传递函数、微分方程等模型。如传递函数、微分方程等.输入输入输出描述输出描述（外部描述）仅描述系统的外部特（

4、外部描述）仅描述系统的外部特性，不能反映系统的内部结构特征（即不能反映性，不能反映系统的内部结构特征（即不能反映“黑黑箱箱”内部的某些部分），是对系统的一种不完全描述。内部的某些部分），是对系统的一种不完全描述。1qySystem1pu视系统为视系统为black box第1章 线性系统的状态空间描述 6例如：例如： 从输入从输入输出关系来看，它们具有相同的传递函数：输出关系来看，它们具有相同的传递函数：1( )1G ss 实际上这两个系统是不等价的，一个是能观不能控的，实际上这两个系统是不等价的，一个是能观不能控的，一个是能控不能观的。一个是能控不能观的。 表明表明:系统的内部特性比起由传递函

5、数表达的外部特性系统的内部特性比起由传递函数表达的外部特性要复杂得多，输入要复杂得多，输入输出描述没有包含系统的全部信息，输出描述没有包含系统的全部信息，不能完整的描述一个系统。不能完整的描述一个系统。第1章 线性系统的状态空间描述 72）状态空间描述（内部描述）状态空间描述（内部描述） 状态空间描述状态空间描述通过建立系统内部状态和系统的输通过建立系统内部状态和系统的输入以及输出之间的数学关系，来描述系统的行为。入以及输出之间的数学关系，来描述系统的行为。F( x，u，t )u(t)y(t)图图1-3 系统的状态空间描述系统的状态空间描述状态空间描述状态空间描述（内部描述）能完全表征系统的内

6、部描述）能完全表征系统的一切动力学特征，它是对系统的一个完全描述。一切动力学特征，它是对系统的一个完全描述。第1章 线性系统的状态空间描述 8 状态空间描述是基于内部结构分析的数学模状态空间描述是基于内部结构分析的数学模型，通常由两个数学方程组成。型，通常由两个数学方程组成。 状态方程：状态方程：是描述系统内部变量是描述系统内部变量 与输入变量与输入变量 间因果关系的数学表达间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式。式，常具有微分方程或差分方程的形式。 输出方程：输出方程：是表征系统内部变量是表征系统内部变量及输入变量及输入变量 和输出变量和输出变量间转换关系的数学表达式，具有代

7、数方程的形式间转换关系的数学表达式，具有代数方程的形式. 12 ,Tnx xxx12 ,Tpu uuu12 ,Tnx xxx12 ,Tpu uuu12,Tqy yyy第1章 线性系统的状态空间描述 9 系统的状态系统的状态 描述系统的过去、现描述系统的过去、现在和未来行为的变量在和未来行为的变量组，是用来完善地描组，是用来完善地描述系统行为的最小的述系统行为的最小的一组变量。一组变量。 状态变量状态变量状态变量是指构成系状态变量是指构成系统状态的每一个变量。统状态的每一个变量。状态变量构成的列向状态变量构成的列向量为状态向量。量为状态向量。第1章 线性系统的状态空间描述 10 状态变量组可完全

8、地表征系统行为的属性体现在状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现在： 只要给定这组变量只要给定这组变量 在初始时刻在初始时刻t0的值，的值，以及输入变量以及输入变量 在各瞬时在各瞬时tt0的值，则系统的值，则系统中任何一个变量在中任何一个变量在tt0时的运动行为就可以被完全确定。时的运动行为就可以被完全确定。12( )( )( )nx tx tx t， ，12( )( )( )pu tu tut， ，系统的状态空间描述系统的状态空间描述关于状态的几点说明关于状态的几点说明 状态变量组的最小性体现在：状态变量组的最小性体现在： 状态变量状态变量 是为完全表征系统行为是为完全表征系统行为所必需的

9、系统变量的最少个数，减少变量数将破坏表征的完所必需的系统变量的最少个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。12( )( )( )nx tx tx t， ，第1章 线性系统的状态空间描述 11 状态变量组选取上的不唯一性：状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有，而其中仅有n个个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。唯一性。系统的状态空间描述系统的状态空间描述关于状态的几点说明关于状态的几点

10、说明 系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。异变换的关系。状态变量是时间域的。状态变量是时间域的。状态变量有时是不可测量的。状态变量有时是不可测量的。状态变量不是所有变量的总和。状态变量不是所有变量的总和。输出量可以选作状态变量。输出量可以选作状态变量。输入量不允许选作状态变量。输入量不允许选作状态变量。第1章 线性系统的状态空间描述 12状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为称为n维状态向量。维状态向量。12( )( ),( ),( )Tnx tx tx tx t状态空间：以状

11、态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所个线性无关的状态变量作为基底所组成的组成的 n 维空间称为状态空间维空间称为状态空间Rn。状态轨线：随着时间推移，系统状态状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。 第1章 线性系统的状态空间描述 13 1状态方程（状态方程（）：描述系统状态变量与输入变量）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统连续时间系统)或一阶差分方或一阶差分方程组程组(离散时间系统离散时间系统)称为系统的状态方程。称为系统的状态方程。 状态

12、方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为：其一般形式为：( ) ( ), ( ), ttt t xfxu或或 1() ( ), ( ),kkkkttttxfxu三三 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述第1章 线性系统的状态空间描述 14 2输出方程（输出方程（）：描述系统输出变量与状）：描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程组称为态变量和输入变量之间函数关系的代数方程组称为系统的输出方程。其一般形式为：系统的输出方程。其一般形式为：( ) ( ), ( ), ttt tyg xu或或( ) ( ), (

13、),kkkkttttyg xu第1章 线性系统的状态空间描述 15状态方程与输出方程的状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程或状态组合称为状态空间表达式，又称为动态方程或状态空间描述。其一般形式为：空间描述。其一般形式为：连续系统：连续系统：( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ttt tttt t xfxuyg xu1() ( ), ( ),( ) ( ), ( ),kkkkkkkkttttttttxfxuyg xu(1) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), kkk kkkk k或xfxuyg xu离散系统：离散系统： 第1章 线性系统的状态

14、空间描述 16状态方程与输出方状态方程与输出方程都是线性方程的系统是线性系统。线性系统的状态方程都是线性方程的系统是线性系统。线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程。程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程。线性连续系统状态空间表达式为：线性连续系统状态空间表达式为：( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )tA ttB tttC ttD ttxxuyxu线性离散系统状态空间表达式为：线性离散系统状态空间表达式为：(1)( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )kG kkH kkkC kkD kkxxuyxu （简记为（简记为

15、 ） ( ( ),( ),( ),( )G kH k C kD k第1章 线性系统的状态空间描述 17式中：若状态式中：若状态x、输入、输入u、输出、输出y的维数分别为的维数分别为n, p, q，则，则系统矩阵系统矩阵(或状态矩阵、系数矩阵或状态矩阵、系数矩阵);控制矩阵（或输入矩阵）；控制矩阵（或输入矩阵）；观测矩阵（或输出矩阵）；观测矩阵（或输出矩阵）；前馈矩阵（或输入输出矩阵）；前馈矩阵（或输入输出矩阵）；( ),( )n pB t H kR( ),( )q nC t C kR( ),( )q pD tD kR( ),( )n nA t G kR第1章 线性系统的状态空间描述 18线性系

16、统线性系统的状态空间描述中，若系数矩阵的各元素都是常数，的状态空间描述中，若系数矩阵的各元素都是常数，则称该系统为线性定常系统则称该系统为线性定常系统(线性时不变系统线性时不变系统), 否则为否则为线性时变系统线性时变系统.线性定常连续系统状态空间表达式为：线性定常连续系统状态空间表达式为：( )( )( )( )( )( )tAtBttCtDtxxuyxu线性定常离散系统状态空间表达式为：线性定常离散系统状态空间表达式为：(1)( )( )( )( )( )kGkHkkCkDkxxuyxu （简记为（简记为 ） ( ,)A B C D（简记为（简记为 ） ( ,)G H C D第1章 线性系

17、统的状态空间描述 19图图1-4 线性连续时间系统结构图线性连续时间系统结构图图图1-5 线性离散时间系统结构图线性离散时间系统结构图注意：注意：1）每一个方块的输入输出关系规定为：）每一个方块的输入输出关系规定为：输出向量输出向量 = (方块所示矩阵方块所示矩阵)( (输入向量输入向量)2）向量、矩阵的乘法运算中，）向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。相乘顺序不允许任意颠倒。第1章 线性系统的状态空间描述 20 从以上两个结构图中可以看出，从以上两个结构图中可以看出，D描述了输入描述了输入u不经状态变量不经状态变量x对输出对输出y的直接影响，它不影响系统的直接影响，它不影响系统的

18、动态过程，实质上是系统外部模型的一部分。的动态过程，实质上是系统外部模型的一部分。 因此，当利用状态模型来分析系统动态行为时，因此，当利用状态模型来分析系统动态行为时，常假设常假设D0，并不失对问题讨论的一性。，并不失对问题讨论的一性。连续时变系统：连续时变系统：( )( )( )( ) ( )( )( )( )tA ttB tttC ttxxuyx连续时不变系统：连续时不变系统：( )( )( )( )( )tAtBttCtxxuyx第1章 线性系统的状态空间描述 21输入输出描述仅揭输入输出描述仅揭示系统在初始松弛示系统在初始松弛假定下输入输出间假定下输入输出间的关系，不能揭示的关系，不能

19、揭示系统的内部行为。系统的内部行为。复杂的线性系统，复杂的线性系统，求状态空间描述较求状态空间描述较困难，可借助于直困难，可借助于直接量测求取输入输接量测求取输入输出描述。出描述。动态方程能够推动态方程能够推广到时变情形，广到时变情形，而传递函数向时而传递函数向时变情形的推广是变情形的推广是不成功的。不成功的。若采用动态方程若采用动态方程描述，较容易在描述，较容易在计算机上对系统计算机上对系统进行仿真。进行仿真。 输入输出描述和状态空间描述的比较输入输出描述和状态空间描述的比较 系统的状态空间描述系统的状态空间描述第1章 线性系统的状态空间描述 221.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立

20、线性定常连续系统状态空间表达式的建立 建立状态空间表达式的方法主要有两种建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1.根据系统机理建立状态空间表达式：属于分析的途根据系统机理建立状态空间表达式：属于分析的途径，适用于结构和参数为已知的系统。径，适用于结构和参数为已知的系统。 直接根据系统的机理建立相应的微分方程，继而选择有关的直接根据系统的机理建立相应的微分方程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式。物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式。 2.辨辨识的途径，适用于结构和参数难以搞清楚的系统。识的途径，适用于结构和参数难以搞清楚的系统。 通过实验手段取得数据并采用适当的

21、方法确定系统的输入通过实验手段取得数据并采用适当的方法确定系统的输入输出模型，再由所得的系统输入输出描述导出相应的状态空间描输出模型，再由所得的系统输入输出描述导出相应的状态空间描述。述。 第1章 线性系统的状态空间描述 23 根据系统机理建立状态空间描述的基本步骤：根据系统机理建立状态空间描述的基本步骤： 1）根据系统所遵循的物理规律，建立系统的微）根据系统所遵循的物理规律，建立系统的微分方程或差分方程；分方程或差分方程； 2）选取有关物理量）选取有关物理量 (变量变量) 作为状态变量，推导作为状态变量，推导出系统的状态方程和输出方程。出系统的状态方程和输出方程。第1章 线性系统的状态空间描

22、述 24例例1-1（P403例例9-1）：建立）：建立RCL网络的状态方程网络的状态方程解：解：根据各元件的电流与电压关系、回路电压和等于根据各元件的电流与电压关系、回路电压和等于零，得到系统的方程：零，得到系统的方程：11iodiRiLidtudtCuidtC系统的输入、输出分别为系统的输入、输出分别为oiuyuu，第1章 线性系统的状态空间描述 25a）选取状态变量）选取状态变量 ，则状态空，则状态空间描述为：间描述为： 1201xixidtuC，/1/1/1/0001R LLLC xxuyxb）选取状态变量）选取状态变量 ，则状态空间描述为：，则状态空间描述为： tidxix21，/1/

23、()1/10001/R LCLLC xxuyx状态变量选取方法不同，则状态空间描述不同。状态变量选取方法不同，则状态空间描述不同。第1章 线性系统的状态空间描述 26 比较两种状态变量选取方法，很容易得到它们比较两种状态变量选取方法，很容易得到它们之间的变换矩阵：之间的变换矩阵：121xixidtC12xixidt 11221xxxxC11221010 xxxxC即即和和注意：注意：该例说明系统的状态空间描述不是唯一的，该例说明系统的状态空间描述不是唯一的，各种描述之间可以相互转换，且不改变系统的固各种描述之间可以相互转换，且不改变系统的固有性质。有性质。第1章 线性系统的状态空间描述 27

24、状态实现：由输入状态实现：由输入-输出描述建立状态空间描述，输出描述建立状态空间描述，称为状态实现。称为状态实现。 一个给定系统的状态实现有多种形式。在线性系一个给定系统的状态实现有多种形式。在线性系统理论中，要讨论某种性质时，为叙述方便，常采统理论中，要讨论某种性质时，为叙述方便，常采用特定的标准形式。用特定的标准形式。可控标准型实现可控标准型实现可观测标准型实现可观测标准型实现对角型实现对角型实现约当规范型实现约当规范型实现第1章 线性系统的状态空间描述 281 1 问题的提法问题的提法 考虑一个单变量线性定常系统，其输入输出描述微分方程考虑一个单变量线性定常系统，其输入输出描述微分方程如

25、下：如下： ubububyyyy01)(1)m(m0) 1 (1) 1n(1n)n(nm,dtudu,dtydyii) i (ii) i ( 状态实现问题将归结为状态实现问题将归结为选取适当的状态变量组和选取适当的状态变量组和确定各个系数矩阵。确定各个系数矩阵。1212101110( )( )( )nnnnnnnsssY sG sU ssasa sa其中：其中：或：或：第1章 线性系统的状态空间描述 292. 可控标准型实现可控标准型实现（）设设 1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s则矩阵形式的则矩阵形式的可控标准型

26、实现可控标准型实现为为Auy xx+bcx式中：式中：01101210100000100,000101nnAaaaa b =c =友矩阵友矩阵第1章 线性系统的状态空间描述 30 总结：总结：系统矩阵系统矩阵A的上方次对角线的元素全为的上方次对角线的元素全为1，最后一行是最后一行是G(s)的特征多项式系数的相反数的逆序的特征多项式系数的相反数的逆序排列，其余元素全为零，上述形式的排列，其余元素全为零，上述形式的A阵称为阵称为友矩友矩阵阵； 控制矩阵（向量）控制矩阵（向量）b是最后一个元素为是最后一个元素为1，其余，其余元素均为零的列向量；输出矩阵（向量）元素均为零的列向量；输出矩阵（向量）c是

27、是G(s)分分子多项式系数的逆序排列。若动态方程中的子多项式系数的逆序排列。若动态方程中的A，b具具有这种形式，则为有这种形式，则为可控标准型。可控标准型。第1章 线性系统的状态空间描述 313 可观测标准型实现可观测标准型实现（）Auy xxbcx1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s则矩阵形式的状态方程和输出方程为则矩阵形式的状态方程和输出方程为式中：式中：00112211000100010;0001001nnnaaAaabc友矩阵友矩阵第1章 线性系统的状态空间描述 32 总结：总结：系统矩阵系统矩阵A的下方次对

28、角线的元素均为的下方次对角线的元素均为1，最后一列是最后一列是G(s)的特征多项式系数的相反数的逆序的特征多项式系数的相反数的逆序排列，其余元算全为零，上述形式的排列，其余元算全为零，上述形式的A阵称为阵称为友矩友矩阵阵； 输出矩阵（向量）输出矩阵（向量）c是最后一个元素为是最后一个元素为1，其余，其余元素均为零的行向量；控制矩阵（向量）元素均为零的行向量；控制矩阵（向量）b是是G(s)分分子多项式系数的逆序排列。若动态方程中的子多项式系数的逆序排列。若动态方程中的A，c具具有这种形式，则为有这种形式，则为可观测标准型可观测标准型。第1章 线性系统的状态空间描述 33例例1-2（P411例例9

29、-5）（）（）：已知二阶系统的微分方程）：已知二阶系统的微分方程22yyyT uu试求系统的状态空间试求系统的状态空间表达式表达式.解：解：系统传递函数为系统传递函数为22( )1( )( )2Y sT sG sU sss可控标准型：可控标准型：1112222010121ccccccxxxuyTxxx ；2111222100112ooooooxxxuyxxxT ；可观测标准型：可观测标准型：第1章 线性系统的状态空间描述 344 对角型实现对角型实现 当系统传递函数当系统传递函数只含单实极点只含单实极点时，还可作对角时，还可作对角型实现，该实现形式型实现，该实现形式系统矩阵系统矩阵A是一个对角

30、阵。是一个对角阵。 1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU sD ssasa sa分母多项式分母多项式D(s)有有n个单实极点个单实极点 ，对传递，对传递函数作部分分式展开则有函数作部分分式展开则有 ：1( )( )( )( )( )niiicY sN sG sU sD ss其中：其中： 为为G(s)在极点在极点 处的留数。处的留数。( )()( )iiisN scsD s12,n i第1章 线性系统的状态空间描述 35111122221211,1nnnnnxxxxxxuycccxxx 对角型实现为：对角型实现为： 或或1111122222,

31、1 11nnnnnxxcxxxcxuyxxcx对偶关系对偶关系 第1章 线性系统的状态空间描述 36例例1-3：已知系统的传递函数为：已知系统的传递函数为232( )3.573( )( )3.53.51N sssG sD ssss请写出系统的对角型实现。请写出系统的对角型实现。解：解：1）求系统极点：）求系统极点： 32( )3.53.51(1)(2)(0.5)0D sssssss 故系统有三个单实极点，即故系统有三个单实极点，即 1231,2,0.5 2）对传递函数进行部分分式展开为）对传递函数进行部分分式展开为( )120.5( )( )120.5N sG sD ssss即：即：1231,

32、2,0.5ccc第1章 线性系统的状态空间描述 373）对角型实现为：）对角型实现为：10010201120.5000.51uy ；xxx100102021 1 1000.50.5uy；xxx或或第1章 线性系统的状态空间描述 385 约当标准型实现约当标准型实现 当传递函数除含有单实极点以外，还当传递函数除含有单实极点以外，还含有含有重极点时，不能作对角型实现，但总可以作成重极点时，不能作对角型实现，但总可以作成分块对角形实现，称之为约当标准型实现，其分块对角形实现，称之为约当标准型实现，其系统矩阵系统矩阵A是一个含有约当块的矩阵。是一个含有约当块的矩阵。第1章 线性系统的状态空间描述 39

33、322( )110111( )(3)(3)3(2)21N sD sssssss即：即：111213414261,1,0,1,1,1cccccc 例例1-4：系统传递函数为：系统传递函数为求约当标准型实现。求约当标准型实现。32( )211( )( )(3)(2)1N sssG sD ssss解：解：系统极点为：系统极点为：3重极点重极点1= 3，2重极点重极点4 = - 2， 单极点单极点6 = 1。部分分式改写为：部分分式改写为：第1章 线性系统的状态空间描述 401111121213134141424266310000003100000030001000210000002010000011

34、xxxxxxuxxxxxx 111213414261 10111xxxyxxx约当标准型实现为：约当标准型实现为：第1章 线性系统的状态空间描述 41或或1111121213134141424266300000113000010130000000200100012010000011xxxxxxuxxxxxx 11121341426001011xxxyxxx第1章 线性系统的状态空间描述 42总结：总结：1）对角型实现和约当标准型实现，需要计算）对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点系统的极点(特征值特征值)和特征向量，很不方便。和特征向量，很不方便。2）在线性系统理论中，许多定理或性质

35、的证）在线性系统理论中，许多定理或性质的证明过程中，使用约当标准型是很方便的。明过程中，使用约当标准型是很方便的。3）在作状态实现时选用可控标准型或可观测）在作状态实现时选用可控标准型或可观测标准型最为方便。如需要其它标准型式，可通标准型最为方便。如需要其它标准型式，可通过非奇异变换来获取。过非奇异变换来获取。第1章 线性系统的状态空间描述 43 由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P

36、405-407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在标准型和可观测标准型实现，例如我们在例例1-2种所种所做的那样。做的那样。第1章 线性系统的状态空间描述 44方法一：方法一：（1 1）m=0m=0（微分方程右边不含输入变量的导数项微分方程右边不含输入变量的导数项）ubyyyy00) 1 (1) 1n(1n)n(选取系统的选取系统的n n个状态变量为个状态变量为) 1n(1nn)2(23121yxxyxxyxxyx第1章 线

37、性系统的状态空间描述 451021n1n00) 1 (1) 1n(1n0)n(nxxx-ubyyy-ubyx写成向量方程的形式：写成向量方程的形式：ub00 xxx10010 xxxx0n1n11n10n1n1第1章 线性系统的状态空间描述 46（2 2）m=nm=n（微分方程右边含输入变量的导数项微分方程右边含输入变量的导数项）ubububyyyy01)(1)n(n0) 1 (1) 1n(1n)n(按如下方法选取状态变量组：按如下方法选取状态变量组：uuuuyxuuuyxuu-yxu-yx1n) 1 (2n)2n(1) 1n(0) 1n(n2) 1 (1)2(0)2(31) 1 (0201第

38、1章 线性系统的状态空间描述 47经推导可得：经推导可得：uxxxxuxxuxuu-yxuxu-yxn1021n1nn1nn1 -n23(1)1)2(0(2)212(1)0(1)1第1章 线性系统的状态空间描述 48可得到系统的状态方程和输出方程为：可得到系统的状态方程和输出方程为：uxxx001uxyuxxx10010 xxxx0n1n101n1 -n1n1n11n10n1n1第1章 线性系统的状态空间描述 49方法二（中间变量法）方法二（中间变量法）ubububyyyy01)(1)n(n0) 1 (1) 1n(1n)n(令系统的输入输出描述微分方程如下：令系统的输入输出描述微分方程如下：

39、系统的传递函数为：系统的传递函数为： 011n1nn01nnsssbsbsb) s ( u) s ( y) s ( g第1章 线性系统的状态空间描述 50引入中间变量引入中间变量z(tz(t),),则上式表示为：则上式表示为： 01nn011n1nnbsbsb) s ( z) s ( ysss1) s (u) s ( z对上面两式求拉氏反变换：对上面两式求拉氏反变换： ) t ( zb) t (zb) t (zb) t (zb) t ( y) t ( uz(t) t (z) t (z) t (z0) 1 (1) 1n(1n)n(n0) 1 (1) 1n(1n)n(第1章 线性系统的状态空间描述

40、 51按方法一的方法选取状态变量：按方法一的方法选取状态变量： uxxx) t (zxzxxzxxzxxzx1021n1n)n(n) 1n(1nn)2(23121第1章 线性系统的状态空间描述 52可得到系统的状态方程和输出方程为：可得到系统的状态方程和输出方程为：u100 xxx10010 xxxxn1n11n10n1n1xbbxbubxbbbuxxby1n01n0nn1n10n1n10n第1章 线性系统的状态空间描述 531.3 系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵 (P421)初始条件为零时，初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的与输入向量的

41、拉氏变换式之间的传递关系传递关系称为传递称为传递函数矩阵，简称传递矩阵。函数矩阵，简称传递矩阵。设线性定常连续系统的状态空间描述为设线性定常连续系统的状态空间描述为：( )( )( )( )( )( )tAtBttCtDtxxuyxu在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为：在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为：1( )()G sC sABDI（） 第1章 线性系统的状态空间描述 54证明：证明：在初始条件为零的条件下，作拉普拉斯变换有：在初始条件为零的条件下，作拉普拉斯变换有：( )( )( )( )( )( )ssAsBssCsDsXXUYXU(sI-A)非奇异非奇异1( )(

42、)( )ssIABsXU11( )()( )( )()( )( )( )sC sIABsDsC sIABDsG ssYUUUU1( )()G sC sABDI第1章 线性系统的状态空间描述 55三点说明：三点说明：1）若输入）若输入u为为p维向量，输出维向量，输出y为为q维向量，则维向量，则G(s)为为(qp)矩阵。矩阵。Y(s)=G(s)U(s)的展开式为：的展开式为：1111211221222212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ppqqqqppY sGsGsGsU sY sGsGsGsUsY sGsGsGsUs 式中：式中：Gij

43、(s)表示第表示第i个输出量与第个输出量与第j个输入量之间的传函。个输入量之间的传函。2）几个概念：几个概念： 系统的特征矩阵：系统的特征矩阵：(sI- -A) 第1章 线性系统的状态空间描述 56系统系统的特征多项式：的特征多项式：det(sI-A) , n维系统的特征多项式为维系统的特征多项式为:1110( )det()nnnssAsssI系统的特征方程：系统的特征方程：( )0s 系统的特征根（或特征值）：特征方程系统的特征根（或特征值）：特征方程 的根。的根。( )0s3）前馈矩阵）前馈矩阵D不影响系统的动态性能，在分析系统动不影响系统的动态性能，在分析系统动态性能时，通常认为态性能时

44、，通常认为D =0，即：，即：BAsCsG1)()(当当D0D0时，时，G(s)G(s)为真有理分式阵；为真有理分式阵；当当D=0D=0时，时，G(sG(s) )为严格真有理分式阵。为严格真有理分式阵。第1章 线性系统的状态空间描述 57例例1-5（P422例例9-10） （） ：已知系统动态方程为：已知系统动态方程为1111122222011010;020101xxuyxxxuyx解：解：试求系统的传递函数矩阵。试求系统的传递函数矩阵。011010,0020101ABCD11201)I(ssAs1121(2)101(2)0(2)sss sss ss第1章 线性系统的状态空间描述 581( )

45、()G sC sABI11111010(2)(2)01101100(2)(2)ss sss sss传递函数矩阵为：传递函数矩阵为： 第1章 线性系统的状态空间描述 59结论：结论：给定状态空间描述的系数矩阵给定状态空间描述的系数矩阵A, B, C, D，求出特征多项式求出特征多项式1110( ) det()nnnssAsssI和和1212311212011nnnnnnnnnECBECABCBECABCABCBECABCABCB则相应的传递函数矩阵就可按下式来定出：则相应的传递函数矩阵就可按下式来定出：1212101( )( )nnnnG sEsEsE sEDs特别适用于特别适用于计算机计算机计

46、算计算第1章 线性系统的状态空间描述 60例例1-6：给定系统的状态空间描述为：给定系统的状态空间描述为：2 0 01 20 2 01 0;1 1 20 3 13 1xxuyx求传递函数矩阵求传递函数矩阵G(s)。解：解：1) 先定出系统的特征多项式为：先定出系统的特征多项式为：232( )det()(2) (1)584ssIAsssss2) 再计算系数矩阵：再计算系数矩阵：21 21 1 2 1 08 43 1ECB第1章 线性系统的状态空间描述 61 122 0 0121 1 20 2 01 0402024140 3 13 1ECABCB 20212 0 02 411 20 2 02 08

47、03064 3216 120 3 16 1ECA BCABCB 3) 传递函数矩阵为传递函数矩阵为:222210323218241641412( )( )584584ssssG sE sE sEsssssss第1章 线性系统的状态空间描述 62莱弗勒算法：莱弗勒算法：给定给定nn阶常阵阶常阵A，其特征多项式为：，其特征多项式为：1110( )det()nnnssAsssI其系数其系数可按如下顺序递推定出：可按如下顺序递推定出：11122112332231122100110(),1(),2(),3(),1(),nnnnnnnnnnnnntr RARItr RARRAItr RARRAItr R

48、ARR AIntr R ARR AIn 其中：其中：tr表示矩阵的主对角线上元素之和，称为矩阵的迹。表示矩阵的主对角线上元素之和，称为矩阵的迹。 I为为n阶单位阵。阶单位阵。第1章 线性系统的状态空间描述 63一一 坐标变换坐标变换1 1 基底基底 设在线性空间中有一组设在线性空间中有一组线性无关线性无关向量，若该空向量，若该空间中的每一个向量均可唯一地由该组向量的线性组合间中的每一个向量均可唯一地由该组向量的线性组合表示，则称该组向量是该线性空间中的一个基底。表示，则称该组向量是该线性空间中的一个基底。 在在n n维向量空间中，维向量空间中，任何任何n n个线性无关向量均可作为个线性无关向量

49、均可作为基底。基底。1.4 线性系统等价的状态空间描述线性系统等价的状态空间描述第1章 线性系统的状态空间描述 642 2 坐标变换坐标变换 将系统在状态空间的一个基底上的表征，将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。化为另一个基底上的表征。 坐标变换是一种非奇异变换。坐标变换是一种非奇异变换。第1章 线性系统的状态空间描述 65二二 线性系统等价状态空间描述线性系统等价状态空间描述 DuCxyBuAxx对对x x进行非奇异变换进行非奇异变换 ，则有，则有Pxx uDxCyuBxAx式中：式中：DD,CPC,PBB,PAPA-1-1第1章 线性系统的状态空间描述 66 D(

50、t)uC(t)xyB(t)uA(t)xx对对x x进行非奇异变换进行非奇异变换 ，则有，则有P(t)xx (t)uDx(t)Cy(t)uBx(t)Ax式中：式中：D(t)(t)D,(t)C(t)P(t)C,P(t)B(t)(t)B(t)P(t)A(t)P(t)PP(t)(t)A1 -1代数等价状态空间描述代数等价状态空间描述第1章 线性系统的状态空间描述 67三三 代数等价系统的主要性质代数等价系统的主要性质u 对于两个代数等价系统对于两个代数等价系统 u 对于线性定常系统，两个代数等价的状态空对于线性定常系统，两个代数等价的状态空 间描述，可以化为相同的对角线规范形或约间描述，可以化为相同的

51、对角线规范形或约 当规范形。当规范形。第1章 线性系统的状态空间描述 68 对角规范形对角规范形状态方程中的状态方程中的系统矩阵系统矩阵A A具具 有对角形的形有对角形的形式。式。 约当规范形约当规范形状态方程中的状态方程中的系统矩阵系统矩阵A A具具 有分块对角形有分块对角形的形式。的形式。四四 状态方程的对角规范形和约当规范形状态方程的对角规范形和约当规范形第1章 线性系统的状态空间描述 69u当当A A的的n n个特征值个特征值 两两互异时两两互异时u或当系统矩阵或当系统矩阵A A的的n n个特征向量个特征向量 线性无关线性无关 此时，系统的状态方程可以通过线性非奇异变换，此时，系统的状

52、态方程可以通过线性非奇异变换，变换为对角线规范形形式。变换为对角线规范形形式。n21,n21,化对角规化对角规范形的条件范形的条件1 1 化对角规范形的条件化对角规范形的条件第1章 线性系统的状态空间描述 702 2 化对角线规范形的方法化对角线规范形的方法（1 1） 当当A A矩阵为一般形式时矩阵为一般形式时 结论：设系统满足化为对角规范形的条件，那么结论：设系统满足化为对角规范形的条件，那么系统的状态方程在变换系统的状态方程在变换 下必可化为如下下必可化为如下的对角线规范形：的对角线规范形：xQPxx-112nxxBuBPB其中：其中：q,q,qPQn21-1 (1) Q矩阵由矩阵由A的的

53、n个线个线性无关的特征向量构成性无关的特征向量构成的。的。 (2)在对角规范形下，在对角规范形下，各个状态变量间实现了各个状态变量间实现了完全解耦。完全解耦。第1章 线性系统的状态空间描述 71（2 2） 当当A A为友矩阵时为友矩阵时 即即0121010000100001nAaaaa 当当A A的特征值的特征值 两两互异时，则下两两互异时，则下列的范德蒙特（列的范德蒙特（VandermodeVandermode）矩阵）矩阵P P可使可使A A对角化：对角化：121222212111111211111nnnnnnnnnnPn21,范德蒙特矩阵范德蒙特矩阵第1章 线性系统的状态空间描述 72p

54、组合系统：组合系统：由两个或两个以上的子系统按一由两个或两个以上的子系统按一定方式相互联接而构成的系统称为组合系统。定方式相互联接而构成的系统称为组合系统。p 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈。基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈。 两个线性时不变子系统两个线性时不变子系统S1和和S2的状态空间描的状态空间描述分别为：述分别为： 11111111111ABSCD：xxuyxu22222222222ABSCD：xxuyxu第1章 线性系统的状态空间描述 73图图1-11 并联组合系统并联组合系统12dim()dim()uu12dim()dim()yy1212uuuyyy第1章 线性系统的状态空间描述 74对并联组合系统，其状态空间描述为：对并联组合系统，其状态空间描述为：1111222212112212ABABCCDDxxuxxuyyyxxuu即：即：1111222211212200ABABCCDDxxuxxxyux第1章 线性系统的