第七章 弯曲(自)材料力学 张少实

1、第第7章章 弯曲弯曲起重机大梁起重机大梁第第7章章 弯曲弯曲第第7章章 弯曲弯曲第第7章章 弯曲弯曲一、平面弯曲第第7章章 弯曲弯曲一、平面弯曲梁的轴线弯成对称平面内的一条平面曲线。1.结构特点：纵向对称面。2.受力特点：力全部作用在纵向对称面内，和轴正交3.变形特点轴由直线变成平面曲线，但仍在纵向对称面内。4.平面弯曲变形和载荷都是在同一个纵向对称面内的弯曲。5.梁发生弯曲变形的杆件。第第7章章 弯曲弯曲2. 支座的简化：（1）活动铰支座 （2）固定铰支座 （3）固定端 3. 静定梁的基本类型： 1. 载荷的简化：二、简化FMq(x)（1）简支梁 （2）外伸梁 （3）悬臂梁 集中力、集中力偶

2、、分布载荷7.1 梁的内力 剪力与弯矩第第7章章 弯曲弯曲第第7章章 弯曲弯曲第第7章章 弯曲弯曲第第7章章 弯曲弯曲7.1 梁的内力 剪力与弯矩三、梁的横截面上的内力计算图示梁，求截面I-I上的内力1.首先确定支反力首先确定支反力2.然后使用截面法然后使用截面法，假想在，假想在n-n处切开，并处切开，并取脱离体。取脱离体。剪力Fsy弯矩Mz使研究对象有逆时针方向转动趋势的剪力为正；反之为负。使梁变成下凸上凹形的弯矩为正；使梁变成上凸下凹的弯矩为负。3.静力平衡方程静力平衡方程FA、FB、XA（ XA =0）第第7章章 弯曲弯曲7.1 梁的内力 剪力与弯矩二、内力大小的求法1.某截面剪力的大小

3、等于该截面一侧（左或右）梁上所有外力的代数和。即 SFF 和FS方向相同的外力，取负；和FS方向相反的外力，取正；2.某截面弯矩的大小等于该截面一侧所有外力对此截面形心之矩的代数和。( )CzMMx和MZ方向相同的外力，取负；和MZ方向相反的外力，取正；（按“设正法” 画图）第第7章章 弯曲弯曲7.1 梁的内力 剪力与弯矩FAFBNNx2-x2-xNN第第7章章 弯曲弯曲7.2 剪力图与弯矩图 yysszzFFxMMx 以平行于梁轴线的横坐标表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面的剪力、弯矩。 FS，M 图图(剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图)的要求的要求(1)与梁的轴线对齐画，并注明内力性质；与梁

4、的轴线对齐画，并注明内力性质；(2)正正的剪力、弯矩画在梁的的剪力、弯矩画在梁的上方上方，负负的剪力、弯矩画在梁的的剪力、弯矩画在梁的下方下方；(3)标明特殊截面内力数值；标明特殊截面内力数值；(4)标明内力的正负号；标明内力的正负号；剪力方程弯矩方程 表示剪力、弯矩沿梁轴线的变化情况各段左右两端截面的剪力和弯矩。第第7章章 弯曲弯曲7.2 剪力图与弯矩图 yysszzFFxMMx 表示剪力、弯矩沿梁轴线的变化情况。以平行于梁轴线的横坐标表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面的剪力、弯矩。 第第7章章 弯曲弯曲7.2 剪力图与弯矩图第第7章章 弯曲弯曲7.2 剪力图与弯矩图第第7章章 弯曲弯曲7

5、.3 载荷、剪力及弯矩间的关系dxxq(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxA对对dx微段分析，由微段分析，由 Fy=0SSS( )( )d( ) d ( )0F xq x xF xF xS( )dd( )q xxFx d( )( )dSF xq xx 剪力图上某点切线的斜率等于该点剪力图上某点切线的斜率等于该点处荷载集度的大小负值处荷载集度的大小负值一、载荷、剪力及弯矩间的关系1.剪力与载荷集度的关系第第7章章 弯曲弯曲( )0 zMF3.弯矩与荷载集度的关系弯矩与荷载集度的关系22d( )( )dMxq xx7.3 载荷、剪力及弯矩间的关系d( )(

6、)dSM xF xx F(x)+d F(x)F(x)M(x)dxAM(x)+d M(x)一、载荷、剪力及弯矩间的关系2.弯矩与剪力的关系弯矩与剪力的关系d( )( )dSF xq xx 1.剪力与载荷集度的关系第第7章章 弯曲弯曲7.3 载荷、剪力及弯矩间的关系外力外力FS图图特特征征M图图特特征征无外力段无外力段q=0水平直线水平直线xFSFS 0FSFS 0q 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于剪力弯曲近似成立。maxmaxmaxZMyI剪力弯曲最大正应力，曲率Z1( )( )M xxEI第第7章章 弯曲弯曲弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力分布ZIMy细长梁横截面惯性积 Iyz=0 S

7、z=0弹性变形阶段7-6 有关弯曲的讨论1）非对称截面梁的纯弯曲 2）纯弯曲正应力公式及曲率公式的推广 第第7章章 弯曲弯曲7-6 有关弯曲的讨论1）非对称截面梁的纯弯曲 2）纯弯曲正应力公式及曲率公式的推广 3）截面的横向变形 xyzxy 第第7章章 弯曲弯曲7.6 弯曲切应力一、矩形截面梁图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。q(x)F1F2(1) 推导公式的思路1用横截面m-m, n-n从梁中截取dx一段 。两横截面上均有剪力和弯矩。FSM+dMMFSnmmndxxmmnn弯矩产生正应力, 剪力产生切应力。xdxy7-6 剪力弯曲梁横截面的切应力剪力弯曲梁横截面的切应力 关于横截面切应力分

8、布规律的假设： 侧边上的切应力与侧边相切 切应力沿 z 的方向均匀分布SFzy第第7章章 弯曲弯曲横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等。利用切应力互等定律可以证明。mnnmohbdxyzmmnxyABA1B1yzxomnmABA1B1F *N1F *N2dFS矩形越狭长，假设接近实际情况。第第7章章 弯曲弯曲2假想地从梁段上截出体积元素 mB1，。 mnnmohbdxyzmmyABA1B1nxyzxomnmABA1B13体积元素mB1在两端面 mA1, nB1上两个法向内力不等。F *N1F *N2*N1N2FF外表面的切应力为零。外表面的切应力为零。4在纵截面AB1上必有沿x方向的切向

9、内力dFS。此面上也就有切应力dFSmnnmohbdxyzmmnxyABA1B1第第7章章 弯曲弯曲mnnmohbdxyzmmnxyABA1B1y1yzxomnmABA1B1F *N1F *N2dFS(2) 公式推导假设m-m, n-n上的弯矩为M和M+dM。两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2 。1求 F *N1和F *N2*N11dAFA用A*记作mA1的面积Sz*是面积A*对中性轴z的静矩。*11ddAAzzMyMAy AII *zzMSI A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积。1dA第第7章章 弯曲弯曲*N22ddzAzMMFASI 同理2由静力平衡方程求dFS*N2N1Sd

10、0FFF*SN2N1ddzzMFFFSI *N1zzMFSI ymnmABA1B1F *N1F *N2dFSymnmABA1B1F *N1F *N2dFS3 求纵截面上的切应力SddFbx *d1dzzMSbIx *SzzFSbI第第7章章 弯曲弯曲ymnmABA1B1F *N1F *N2dFS*SzzFSbI mnnmohbdxyzmmnxyABA1B1y1A*1dA4由切应力互等定理得横截面上距中性轴为任意y的点, 其切应力的计算公式*SzzFSbI第第7章章 弯曲弯曲*SzzFSbIIz 整个横截面对中性轴的惯性矩b 矩型截面的宽度Sz* 过求切应力的点做与中性轴平行的直线, 该线任一边

11、的横截面面积对中性轴的静矩 其方向与切力FS的方向一致ybzA*A*第第7章章 弯曲弯曲对于矩形截面梁,横截面上的切应力t沿截面高度的变化情况由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系反映。*1dzASy A211dhyy b y22()24bhy22S()24zFhyI*SzzFSbI22S()24zFhyIzybA*h第第7章章 弯曲弯曲*SzzFSbI22*()24zbhSy22S()24zFhyI切应力沿截面高度按抛物线规律变化。当y0时, 即在中性轴上各点处, 切应力达到最大值。当yh/2时, 即在横截面上距中性轴最远处, 切应力t0。22SSSmax3382812zFFFhhbhIb

12、hSmax32FAAbh是矩形截面的面积。第第7章章 弯曲弯曲二、工字形截面梁横截面腹板上的切应力*SzzFSI d假设求应力的点到中性轴的距离为y Sz* 距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积对中性轴的静矩。d 腹板的厚度2222*00()()824zhbdhhyS2222S00()()824zFhbdhhyI dzyOmaxmaxmin22S0max()88zFhbhbdI d22Smin0()8zFbhhI d第第7章章 弯曲弯曲因为腹板的宽度d远小于翼缘的宽度b, tmax与tmin实际上相差不大, 所以, 可以认为在腹板上切应力大致是均匀分布的。横截面上的剪力FS的绝大部分为腹板所

13、负担。既然腹板几乎负担了截面上的全部剪力, 而且腹板上的切应力又接近于均匀分布, 这样, 就可用腹板的截面面积除剪力FS, 近似地得出腹板内的切应力。二、工字形截面梁横截面腹板上的切应力第第7章章 弯曲弯曲smax32FA Asmax43FA Asmax2.0FA max?zySFA为圆环截面面积为圆环截面面积第第7章章 弯曲弯曲三、圆截面梁(1)沿宽度kk上各点处的切应力均汇交于O点; (2)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等。*3SSSmax4/124(/ 64)3zzF SF dFI bddA23*1224312zdddS4,64zdIbd第第7章章 弯曲弯曲四、薄壁环形截面梁(1)

14、横截面上切应力的大小沿壁厚无变化; (2) 切应力的方向与圆周相切 。*SzzFSI b*200022zrSrr 整个圆环截面对中性轴的惯性矩30zIr可得最大切应力*SSmax2zzF SFI bA第第7章章 弯曲弯曲7-7 开口薄壁非对称截面梁的弯曲开口薄壁非对称截面梁的弯曲 弯曲中心弯曲中心第第7章章 弯曲弯曲7-7 开口薄壁非对称截面梁的弯曲开口薄壁非对称截面梁的弯曲 弯曲中心弯曲中心第第7章章 弯曲弯曲7-7 开口薄壁非对称截面梁的弯曲开口薄壁非对称截面梁的弯曲 弯曲中心弯曲中心第第7章章 弯曲弯曲7-7 开口薄壁非对称截面梁的弯曲开口薄壁非对称截面梁的弯曲 弯曲中心弯曲中心弯曲中心

15、位置的确定弯曲中心位置的确定截取截取 dx 微段微段取出放大取出放大取出取出 abcdefgh第第7章章 弯曲弯曲7-7 开口薄壁非对称截面梁的弯曲开口薄壁非对称截面梁的弯曲 弯曲中心弯曲中心弯曲中心位置的确定弯曲中心位置的确定本身为负值）（注意：zzzzAzzNzzzzAzzzNMSIMAyIMFSIMMAyIMMFd d)d(dd210d021xFFFNNxzzszzzISFISxMyddzzsxISFy第第7章章 弯曲弯曲7-7 开口薄壁非对称截面梁的弯曲开口薄壁非对称截面梁的弯曲 弯曲中心弯曲中心弯曲中心位置的确定弯曲中心位置的确定AraFAxzsd合zzsxISFy 微内力微内力 组

16、成切于横截面的内力系。组成切于横截面的内力系。据合力矩定理，据合力矩定理， 对对 C 点的力矩总和应点的力矩总和应等于截面剪力合力等于截面剪力合力 对对C 点的力矩，即点的力矩，即AxdAxd合 sF第第7章章 弯曲弯曲7-8 梁的弯曲变形梁的弯曲变形（Deflection of Beam）1）工程实例）工程实例第第7章章 弯曲弯曲轴侧轴侧俯视俯视第第7章章 弯曲弯曲7-8 梁的弯曲变形梁的弯曲变形（Deflection of Beam）1）工程实例）工程实例第第7章章 弯曲弯曲7-8 梁的弯曲变形梁的弯曲变形（Deflection of Beam）2）挠曲线）挠曲线（ Deflection

17、Curve ）1）工程实例）工程实例第第7章章 弯曲弯曲7-8 梁的弯曲变形梁的弯曲变形（Deflection of Beam）2）挠曲线）挠曲线（ Deflection Curve ）1）工程实例）工程实例)(xvy 在在 y 方向线位移方向线位移 v 挠度挠度 角位移角位移 q 转角转角3）挠曲线方程）挠曲线方程（ Equation of the Deflection Curve ）zzEIM1 纯弯曲zzEIxMx)()(1 剪力弯曲 2/321)(1 vvx 高等数学 zzEIxMvv)(1 2/32 于是第第7章章 弯曲弯曲 zzEIxMvv)(1 2/32 忽略一阶平方项忽略一阶平方项zzEIxMv)( 讨论符号讨论符号7-8 梁的弯曲变形梁的弯曲变形（Deflection of Beam）2）挠曲线）挠曲线（ Deflection Curve ）1）工程实例）工程实例)(xvy 在在 y 方向线位移方向线位移 v 挠度挠度 角位移角位移 q 转角转角3）挠曲线方程）挠曲线方程（ Equation of the Deflection Curve ）