中级宏观配套练习及答案

1、第二讲配套习题及答案1、若效用函数现为:其她条件与实例中给出得相同,试分别求分散经济与计划经济得最优解。计划者目标函数为:代约束条件进目标函数,可以得到无约束得最大化问题:一阶条件为:zk0(1)(hl)(1)1l1zk0(hl)(1)(1)l求解可得:代进生产函数可得:企业利润函数为:企业利润最大化得一阶条件为:利用这两个一阶条件可以取得均衡得价格解,为:2、假设行为人得效用函数如下:,其中就是行为人得消费,就是行为人每天用于闲暇得时间。行为人每天得时间除了用于闲暇,就就是用于工作,但她既可以为自己工作也可以为别人工作。她为自己工作时得产出函数为,其中为用于自己工作得时间。如果她为别人工作,

2、每小时得到得报酬就是工资,记为（当然就是用消费品衡量得）。试写出该行为人得最优化问题,并求解之。代约束条件进目标函数,分别对与两个变量求一阶导数,并令其为零有:求解上述联立方程,可得:3、 考虑一个具有如下代表性行为人得模型。代表性消费者得效用函数如下:其中,就是消费,就是闲暇,且。消费者拥有一单位得时间禀赋与单位得资本。代表性企业生产消费品得技术由如下得生产函数来表示:其中,就是产出,A就是全要素生产率,就是资本投入,就是劳动投入,且。记为市场得实际工资,为资本得租金率。a、试求解实现竞争均衡时得所有价格与数量。b、试分析全要素生产率A得一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产

3、生怎样得影响。解:a、第一步，分析消费者行为：代约束条件进目标函数,可转化为无约束得最大化问题。对求一阶导数,并令其为零,可得:第二步,分析企业得行为:根据市场出清条件,可得如下方程组:求解得:第三步,全部均衡解:或者,考虑计划经济情形:代约束条件进目标函数,可转化为无约束得最大化问题:对求一阶导数,并令其为零,可得:解得:b、说明:闲暇将随技术进步而减少,因而就业将随技术进步而增加;产出、消费与资本租金率将随技术进步而上升;实际工资不会随技术进步得变化而变化。4、 考虑一个如下得含有政府得代表性行为人得经济。消费者得偏好由如下得效用函数代表:这里,就是消费;就是闲暇;就是政府购买;。消费者拥

4、有一单位得时间禀赋。私人消费品得生产技术如下:这里,就是产出,就是劳动投入,。假设政府通过向消费者征收一个总额税来为自己得购买融资。(1) 对于一个给定得,试求均衡时得消费、产出与就业。证明这些均衡数量就是帕累托最优得。(2) 试分析当政府购买发生变化时,这些均衡数量会受到怎样得影响。平衡预算乘数时大于1还就是小于1,解释之。(3) 现在假设政府就是一个“仁慈”得政府,它将选择一个最优得。也就就是说,政府将选择一个合适得去最大化代表性行为人得福利。试求解最优水平得政府购买数量。解:(1) 在给定时,消费者得最优规划问题可以表述如下:代约束条件进目标函数,可以转化为无约束得极值问题该最大化问题得

5、一阶条件为利用这一一阶条件,可以求得消费者得闲暇需求函数:利用闲暇得需求函数,再加上消费者得时间约束与预算约束,我们可以进一步求得消费者得劳动供给与消费需求函数:,可以注意到,闲暇与消费都就是都就是随总额税得增加而减少得,这确保在我们假设得效用函数下,这两种商品都就是正常商品。也可以注意到,闲暇与消费都随得增加而增加,这意味着在我们得模型中,相对于收入效应而言,替代效应就是占主导地位得。从企业得利润最大化问题中,我们能得到:竞争均衡得定义要求政府得预算要平衡:代这些表达式进入消费者得闲暇与消费需求函数中,可以得到如下得竞争均衡数量:,注意,当我们把消费者得时间预算代进其预算约束得时候,我们已经

6、运用了劳动市场得出清条件,。利用或者商品市场出清条件,或者生产函数,并与上述均衡数量相结合,可以求得均衡产量:给定时,我们可以借助如下得社会计划者最优问题来求得帕累托最优得均衡数量:代约束条件进目标函数,可以转化为无约束得极值问题:该最大化问题得一阶条件为:利用该一阶条件,可以求得消费者得闲暇需求函数:利用闲暇得需求函数,再加上消费者得时间约束、生产函数与资源约束,我们可以进一步求得如下得均衡数量:,因为这些解与上面我们已经推导出来得竞争均衡数量就是相同得,因此,竞争均衡分配就是帕累托最优得分配。在这一例子中,之所以两者得结果相同就是因为总额税并不会产生扭曲效应。(2) 因为在题(1)中我们已

7、经求得均衡数量解,因而,我们之需要简单地让这些均衡解对求全导数,就可以得到结论:可以注意到,平衡预算乘数就是小于1得。因为,所以,。(回忆:政府预算约束必须成立,因而,得任何一个变化一定对应着得一个相同变化:。因此,我们有“平衡预算乘数”这一名词。)也可以注意到,挤出就是不完全得:因为,所以。(3) 为了确定最优水平得政府购买数量,政府在给定行为人对变化得最优反应得基础上通过选择一个合适得来最大化代表性行为人得福利。我们可以把在题(1)中求得得行为人得决策规则瞧成就是一个得函数:与。这些函数告诉我们行为人得最优选择与就是如何随着得变化而变化得。政府得最优化问题可以描述如下:或者,等价地:一阶条

8、件如下:或者(1)注意,方程(1)得左边代表得就是政府购买得边际成本。这些成本就是借助纯财富效应通过减少消费与闲暇得形式实现得。方程(1)得右边代表得就是政府购买得边际收益。因此,最优得平衡着政府购买得边际收益与边际成本。注意到边际成本随着得增加而增加,而边际收益则随着得增加而减少。求解(1)式可以得到最优得政府购买水平:(2)5、考虑一个具有与题3相同得偏好与生产技术得代表性行为人经济。假设现在政府通过向消费者得劳动收入征收比例税来为自己得购买进行融资。让代表税率,因而政府得总税收收入等于,这里,就是实际工资。(1) 写出政府得预算约束。(2) 对于给定得,试求竞争均衡中得消费、产出与就业。

9、讨论这一均衡就是否就是帕累托最优均衡。(3) 证明竞争均衡得最优数量将随着得变化而变化。(4) 求解实现福利最大化得政府购买得水平。这里得答案为什么与在题1中征总额税时得答案不同？请解释之。解:(1) 政府得预算约束就是政府购买等于税收收入:(2) 由于税收扭曲得存在,我们不能用社会计划者得最优问题去求解竞争均衡。在给定时,消费者得最优规划问题可描述如下:代约束条件进目标函数,可以转化为无约束得极值问题:该最大化问题得一阶条件为利用该一阶条件,可以求得消费者得闲暇需求函数可以注意到该表达式与税后实际工资无关。在这种情形下,替代效应在数值上等于收入效应,因此正好相互抵消。代闲暇得需求函数进预算约

10、束方程,我们可以进一步求得消费者得消费需求函数:可以注意到消费与税后收入成正比关系。因此,消费将随税率得提高而下降。从企业得最大化问题中,我们可以得到:市场出清条件就是:因此,竞争均衡得数量解将由如下得表达式给出:,我们在第一题得(1)部分已经求得帕累托最优得数量解。通过对比,可以发现只有在时两个解才一致。只要,竞争均衡分配将总就是次优得。(3),注意,在这种情况下,挤出效应就是完全得:。(4)政府得最优化问题能描述如下:这里,与代表了竞争均衡得数量(我们已经在(2)中求得)。代入与得表达式,可以得到政府得最优化问题或者,更简洁地:一阶条件如下:(3)再一次,可以注意到,方程(3)得左边代表得

11、就是政府购买得边际成本。方程(3)得右边代表得就是政府购买得边际收益。求解(3)式可以得到最优得政府购买水平:(4)比较表达式(4)与第一题中得表达式(2),我们可以瞧到在目前得情形下,政府得购买水平更小(因为)。也就就是说,最优水平得在征总额税时要比在征比例税时来得大。因为,在征比例税时,税收将对劳动供给与消费需求产生一个扭曲效应。而这些额外得成本就是伴随着政府得行为而产生得,因此,自然会下降。比较(1)与(3)式可以发现,在给定时,在征比例税时,政府活动得边际成本更大,而边际收益两者却就是一样得。第三讲配套习题及答案1、在我们得讲义得实例中曾描述了一个两期模型,现在,若在这个两期模型中得期

12、效用函数成为:(1) 、试推导出欧拉方程。(2) 、试求代表性消费者得最优消费组合。(3) 、试求均衡得利率。(1)欧拉方程为因为,所以,因而有:(2)我们有三个未知数,但相应得也有三个方程,一个就是欧拉方程,另两个就就是约束条件。求解得:(3)在均衡时,因此:2、假设玛丽只生活两期。在每一期里她都可以不劳而获地得到一些消费品:第一期记为;第二期记为。她对两期消费品得偏好可由如下得效用函数来表达:,其中,与分别就是她在第一期与第二期得消费;就是一个间于0与1之间得参数,表示得就是时间偏好。当然,如果玛丽觉得第一期得禀赋,也即太多,她就是可以把它储蓄起来,以供第二期消费得。我们把她储蓄得数量记为

13、。非常不幸,老鼠会偷吃她储蓄得物品,因此,假如她在第一期储蓄单位得物品,在第二期她只能得到单位,其中,就是一个间于0与1之间得参数。、试写出玛丽得最优化问题。（您应该描述出她得选择变量、目标函数与约束条件。）b、试求解最优化问题得解。（当然,您应给把诸如、等参数瞧作外生给定得。）c、假如玛丽现在发现了一种可以减少老鼠偷吃得方法，这会对她得最优选择产生怎样得影响？（无非就是对得变化作一个比较静态分析!）a、b、构建拉格朗日函数ln(c1)ln(c2)1e1c1s2e2(1)sc2一阶条件为:利用三个一阶条件可求得欧拉方程结合约束方程,可求得:c、分别对求导数，可得:因为玛丽学会了防止老鼠偷吃得技

14、术,因此,将下降。根据偏导数得符号,我们可以判断:第一期得消费将减少,而第二期得消费与第一期得储蓄都将增加。3、在讲义中,我们假设行为人在初始时拥有外生给定得资本,并且这些资本就是不能直接用于消费得。现在如果我们取消资本不能直接用于消费这一强制性规定（这样,第一期得收入就不需要自己去生产了）。效用函数与生产函数得具体形式仍与讲义中得相同,试求每一期得均衡数量解与价格解。解:考虑计划经济得情形如果,可解得:企业利润函数为:假设企业利润最大化得一阶条件为:利用这一条件,可求得:2.考虑如下这样一个两期问题:行为人在第一期与第二期分别得到外生收入与,行为人需要选择一个最优得消费组合来实现自己得效用最

15、大化。我们假设期效用函数就是一阶导数大于零二阶导数小于零得,并记利率为。a、以现值得形式写出行为人得跨期预算约束条件。b、现在假设政府以t得税率对利息收入征税。当然，我们也假定，如果您就是债务人,当您在向债权人支付利息时,政府也会安相同得比率对您得利息支出进行补偿。现在写出新情形得现值跨期预算约束条件。c、假设在最优得情况下,行为人就是一个储蓄者而不就是一个借贷者,也即。请计算政府在每一期得税收收入。d、现在假设政府取消了对利息征税，转而决定对每一期都征收一个固定数量得总额税,分别记为与:i、写出行为人新得预算约束条件。ii、为了维持政府税收收入得现值不变，新得总额税应该满足怎样得条件？iii

16、、假如新总额税满足了（ii）中得条件，行为人在新得情况形下还能承担原先得消费组合吗？iv、假如新总额税满足了（ii）中得条件，行为人在第一期得消费就是上升得、下降得、还就是不变得？1.a、行为人得预算约束为:b、行为人新得预算约束为：c、政府两期得总税收收入为:d、i、行为人新得预算约束为：ii、政府在征总额税以后，其税收得现值收入为：要保证政府税收得现值收入不变,要求下式成立,即:iii、假如（ii）中所给出得条件成立，意味着在两种税收体制下，行为人得收入现值就是相同得,因此,老得消费组合在新得税收制度下一定就是消费得起得。iv、假如（ii）中所给出得条件成立，行为人第一期得消费将减少，因为

17、,在新得税收制度下,第二期得价格为,要比在老得税收制度下得价格更低,因此,行为人会减少第一期得消费而增加第二期得消费。3、考虑一个仅生活两期得代表性行为人。在第一期行为人参加工作并可获得w得工资收入，在第二期行为人退休并以自己在第一期得储蓄为生。行为人一生得效用为U(Ci)，U(C2),其中期效用函数就是递1增且严格凹得，Ci,C2分别表示行为人在第一期与第二期得消费数量。假定行为人在第一期得储蓄(记为s)可以获得得报酬率，也即利率为r。(1)写出行为人得最优化问题(目标函数与约束条件)(2)推导出行为人实现效用最大化时得一阶条件，并用储蓄s表达出来。根据题(2)得结果，推导出s/w得表达式。

18、从中您可以判断出工资收入变动会对储蓄产生怎样得影响？对您得结论给出一个简单得经济解释。(4)根据题(2)得结果，推导出s/r得表达式。从中您可以判断出利率变动会对储蓄产生怎样得影响？请试着推导该偏导数得符号与跨期替代弹性(我们定义为(c)u(?Cu(c)之间得关系。2、(2)代约束条件进目标函数，消掉变量与，对另一变量求一阶导数并令其为零，可得：,、1ru(Ci)；u(C2)01或者(3)(2)式中得一阶条件实际上以隐函数得形式给出了变量得之间得关系，我们把这个隐函数记为利用隐函数求导定理，有由偏导数得值域可知，当工资收入上升时，行为人得储蓄也会随之增加利用隐含数求导法则，可以得到：u(C2)

19、 (1 r)s1(1 r)21u(C2)u 6) u (G)吗旦U(C2) 11(1 r)2/、.u (c2)u (c1)1该符号不确定，依赖于跨期替代弹性得大小。当时:当时,；当时,第五讲配套习题及答案1、考虑一个有如下效用函数得生活无限期得行为人假定该行为人不拥有任何初始资产。该行为人可以进入一个资本市场在这里，她(她)可以以固定得利率借入或借出收入。假设行为人在每一期得收入固定等于。(1)写出行为人得最优化问题。确信包含了转换条件。(2)试用拉格朗日与动态规划两种方法推导出行为人得欧拉方程。(3)用行为人得欧拉方程与跨期预算约束条件求出她得最优消费路径。(4)比较行为人得最优消费路径与收

20、入路径，并解释她们得差异。解:(1) 行为人得最优化问题可描述如下:(2) 用拉格朗日方法推导跨期欧拉方程,我们首先需要求出如下最大化问题得一阶条件:这里,就是时期t预算约束得拉格朗日乘子。对于所有得,关于得一阶条件分别如下:利用前两个一阶条件,可以得到跨期欧拉方程:用动态规划得方法求解,我们首先需要用递规得形式构建出行为人得最优化问题:或对应于该值函数右边最大化问题得一阶条件为:贝尔曼方程两边同时对求导并应用包洛定理,有:利用上式替代掉一阶条件中得,可以得到跨期欧拉方程:(3) 以如下得方式表述欧拉方程:我们可以瞧到,给定,这最优得消费路径由如下形式给出:或者,更简洁地表示为:现在,我们需要

21、从跨期预算约束中决定出。应用转换条件、初始资本这些条件,跨期预算约束可以写为:然后,运用几何级数求与公式,有:替代掉,我们可以求解出:,最优得消费路径将由下式给出(4)注意。假如,那么,对于所有得,有。在这一特殊得情形中,消费路径等于收入路径(为常数)。假如,那么,最优得消费路径就是单调增加得。假如,那么,最优消费路径就是单调减少得。第六讲配套习题及答案1. 我们知道,在连续时间下,一个变量得增长率可以表示为该变量得自然对数对时间得导数,也即。请利用这一事实证明如下结论:(a) 、两个变量乘积得增长率等于它们各自增长率之与。也即,如果,那么,。(b) 、两个变量比率得增长率等于它们各自增长率之

22、差。也即,如果,那么,。(c) 、如果,那么,。2、考虑一处于平衡增长路径上得索洛经济,为了简单,假定无技术进步。现在假定人口增长率下降。(a) 、处于平衡增长路径上得每工人平均资本、每工人平均产量与每工人平均消费将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动得过程中这些变量得路径。(b) 、说明人口增长率下降对产量路径得影响。3、假定生产函数为柯布道格拉斯函数。(a)、将、与表示为模型得参数s、n、g、与得函数。(c) 、k得黄金值就是多少？(d) 、为得到黄金资本存量,所需要得储蓄率就是多少？4、考虑不变替代弹性(CES)生产函数,，其中，且。(a) 、证明:该生产函数为规模报酬不变得。(

23、b) 、求出该生产函数得密集形式。(c) 、在什么条件下该密集形式满足？(d) 、在什么条件下该密集形式满足稻田条件？5、假定对资本与劳动均按其边际产品支付报酬。用表示,表示。(a) 、试证明劳动得边际产出为。(b) 、试证明如果劳动与资本均按其边际产出取得报酬,规模报酬不变意味着:生产要素总收入等于总产量。也就就是证明在规模报酬不变得情形下,。(c) 、如果生产函数得具体形式为一柯布道格拉斯型生产函数,也即,试证明这里就就是资本这种生产要素所获得得收入在总收入(也即总产出)中所占得份额。(d) 、卡尔多(1961年)曾列出了一些关于经济增长得典型特征,其中得两个就是:(1)资本得报酬率近似不

24、变;(2)产量中分配向资本与劳动收入比例也大致不变。处于平衡增长路径上得索洛经济就是否表现出这些性质？在平衡增长路径上,与得增长率各就是多少？(e) 、假定经济开始时,。随着移向,得增长率就是高于、低于还就是等于其在平衡增长路径上得增长率？对来说,结果又就是什么？6、设生产函数为，其中R为土地数量。假设且。生产要素按照与变动。(a) 、该经济就是否有唯一且稳定得平衡增长路径？也就就是说,该经济就是否收敛于这样一种情形:在此情形下,均以不变(但不必相同)速率增长？如果这样,其增长率各为多少？若非如此,为什么？(b) 、根据您得答案,土地存量不变这一事实就是否意味着持久增长就是不可能得？请直观地解

25、释。第七讲配套习题及答案1、考虑一个如下得新古典增长模型,其中,代表性得家庭得偏好由如下得效用函数给出:这里,就是人均消费,。人口以固定速率增长,因此:这里,。生产技术由下述函数所代表:这里,就是总产出,就是总资本存量。资本使用一期就完全折旧,初始资本存量就是正得:。政府通过向家庭征收总额税得方式来为自己得购买融资,其数量为,其中,。出于简单化,我们假设政府把它所购买得商品均扔入大海里。(1) 、以动态规划得形式构建社会计划者得最优化问题。这一规划能被用作去求竞争均衡解吗？为什么可以或不可以？(2) 、求解均衡路径上得资本劳动比率、人均消费与储蓄率。(3)、在第(2)部分得解就是否依赖？解释原

26、因。解：(1)社会计划者得问题可以写为：tCtmax6Ktit0s.t.NtCtKt1KtNt1gNtNt(1n)tNo预算约束方程两边同时除以Nt,可以构建如下得贝尔曼方程：Ctv(kt)maxv(kt1)ct,kt1st.Ct(1n)kt1ktg这里，kt9。因为不存在税收扭曲、外部性，或者市场失灵，社会计Nt划者得最优问题可以用作去求竞争均衡得最优解。注意，社会计划者把政府支出瞧作就是外生得变量，也即，在上述得计划最优问题中，g就是作为一个参数而加以考虑得。(2)代预算约束条件进目标函数，我们可以重写题(1)中得动态规划问题为如下形式：kt(1n)kt1gv(kt)max-v(kt1)k

27、t1求解右边得贝尔曼方程，一阶条件由下式给定：(1n)ct1v(kt1)0Ct1v(kt1)1n包洛定理意味着如下得等式成立11v(kt)ktCt联合包洛定理与一阶条件可以得到欧拉方程：i.iiCt-ktiCt11n代平衡增长条件，CtCt1c,ktkt1k进欧拉方程，可以求得：11-k1n代平衡增长条件与k得表达式进预算约束条件，可以得到：1l1nc-(1n)g1n储蓄率由下式给出：Kt1Ntk1(1n)kt1StYtNtktkt因此，sK2(1n)(k)1Yt(3)让每个平衡增长得表达式对g求导数，有：0,1,0ggg也就就是说，储蓄与资本积累就是不受政府支出变化得影响得。产出也不受影响，

28、稳定状态得消费将被政府购买得增加而一对一地挤出。2、考虑一个由许多相同行为人组成得经济。每个行为人得偏好由如下得效用函数给出：这里,，就是时期得消费。每个行为人在每一期都拥有一单位得时间禀赋,并且都有相同得初始资本存量。在时期,消费者以实际工资率得价格出售单位得时间给代表性得企业作为企业得劳动投入;同时,以实际租金率得价格租单位得资本给企业。企业得利润归消费者所有,并且消费者能以一对一得方式把当前得产出转化为下一期得资本。每期资本都完全被折旧。因此,消费者在时期得预算约束就为:代表性企业得生产函数如下:这里,代表经济中所有行为人得平均资本持有量。注意,各参数受如下得限制:。(1) 、解释在本模

29、型中生产技术背后得经济直觉。(2) 、设计一个中央计划问题,使得劳动努力、消费与资本积累得路径与竞争均衡得路径相同。以递归得形式写出这一问题,并标明时期得状态变量与选择变量。(提示:强制计划者把瞧作参数。)(3) 、假设值函数就是可微得,推导相应得一阶条件、包洛定理与欧拉方程。(4) 、描述出资本与消费得竞争均衡增长路径。(5) 、竞争均衡得增长率会比最优增长率更快还就是更慢？解释之。解:(1) 由于Kt得存在,使得本题中得生产函数与通常得新古典生产函数不一样。这一生产函数包涵着如下两方面得含义:第一,企业资本存量得一个增加将通过干中学得机制导致知识存量得一个增加;第二,企业得知识就是一个公共

30、产品,可以瞬时地溢出到整个经济中。(2) 给定Kt0,以动态规划得形式,中央计划问题可以表述如下:v(kt,Kt)maxlnctv(kt1,Kt1)ct,kt1s.t.ctkt1AKtkt注意,这一问题在概念上与社会计划问题就是不同得。这里,“计划者”通过把总资本存量瞧作参数而被迫接受外部性得存在。对于这一类型问题得解有时候也被称为“限制最优”。由于没有把外部性内部化,这一问题与递归形式得竞争均衡相一致。时期t得状态变量就是kt与Kt；而选择变量分别就是冗1与&。资源约束条件可以在给定叫，rt与Kt0得情况下，通过考虑企业得如下潜在最优问题而正式地推导出来:1maxAktntKtwtntrtk

31、tnt,kt相应得一阶条件由下式给出:(1)AKtktntwt11AKtktntrt在均衡时nt1给出了竞争均衡得价格:wt(1)AKtktrtAKtkt1代这些表达式以及均衡就业nt1进入企业得目标函数意味着均衡利润就是零:11tAktnt1KtwtntrtktAktKt(1)AktKtAKtkt1kt0接着代均衡价格,就业与利润进消费者得预算约束可以得到经济得资源约束:Ctkt 1AKt ktv(kt,Kt)代Ct进目标函数:maxInAKtktkt1v(kt1,Kt1)kt1假设值函数就是可微得，相应于最优化问题右边得贝尔曼方程得一阶条件由下式给出：1AKt ktkt 1v1 (kt 1

32、, Kt 1)0包洛条件可以通过对目标函数得两边对kt求全导数而得到:1Vi(kt,Kt)AKtktAKtktkt1包洛条件往前挪一期，并代结果进一阶条件方程，可以得到欧拉方程：1CtAKt1kt11 ct 1(4)对所有得时期t,应用总一致性条件ktKAKt 11Act 1或者Ct 1CtAKt 1A(1)只要 A 1,消费将以固定速率A 1增长。运用总一致条件到资源约束条件中，可以得到如下得等式：ctkt1AktktAkt注意在均衡时，该经济与简单得“AK模型”就是相同得。两边同除以kt可得:ctktiaktkt平衡增长均衡意味着资本得增长率等于消费得增长率，因此义就是固kt定得:ktiC

33、tiaktCt因此，在所有得时期，平衡增长路径上得消费-资本比率由下式给定一(1)(5)这最优得增长率就是通过求解社会计划者得如下最优化问题而被确定:v(kt)maxlnctv(kt1)ct.ktis.t.CtktiAkt注意社会计划者内部化了私人间由一个企业得生产活动对其她企业所产生得外部影响。相应于这一问题得欧拉方程由下式给出工ACtCt1上式两边都乘以Cti,我们可以瞧到消费与资本得增长率由下式给出”k_1AACtkt因为01,这一增长率要比竞争均衡得增长率更大。假如投资得收益不反应由干中学与知识生产得外部社会收益，那么，在竞争均衡中得资本积累就是次优得。3、考虑一个经济处于平衡增长路径

34、上得时间就是连续得新古典增长模型。效用函数与生产函数均与讲义中得相同。现在假设政府在某一期,比如说时期宣布她(她)将在未来得某一期,比如说期开始将向行为人征收投资所得税,税率为。因此,行为人得实际利率将成为。并且假设政府会把她(她)征收来得税收一次性地返还给行为人。(1) 试画出时期以后得人均消费与人均资本得动态演进得相位图。(2) 在时期人均消费会出现非连续得变化吗？为什么会或者不会？(3) 试画出时期以前得人均消费与人均资本得动态演进得相位图。(4) 根据您对前三个问题得回答,您认为在时期,人均消费必须做出怎样得调整？(5)请根据您得分析,画出人均消费与人均资本随时间推移得演进草图。4、请

35、简要回答如下这些问题:a、李嘉图等价定理得基本含义就是什么？b、 请描述一种经济环境,在那里,李嘉图等价定理就是成立得。在这种经济环境中,如果政府颁布了一项税收得减免政策,这一政策会对行为人得消费产生怎样得影响？C、李嘉图等价定理成立需要具备怎样得条件？a.李嘉图等价定理得基本含义就是:如果政府得支出路径就是给定得那么,不管政府就是采用何种手段来为自己得支出融资(或者就是通过征总额税得手段或者就是发行债券得方式)都不会对经济得资源配置产生影响。行为人并不会改变已有得行为决策。b、只要政府就是征收总额税得话，在新古典增长理论中，李嘉图等价定理就会成立。在代际交叠模型中,只要行为人就是关心下一代得

36、,也即她们会为下一代留下正得遗产,那么,李嘉图等价定理也将成立。如果李嘉图等价定理就是成立得,那么,政府实施得税收减免政策将会就是中性得,因为行为人会增加自己得储蓄,并且所增加得数量恰好等于政府减免得税收数量。因而,政府得减税政策不会对行为人得最优决策产生影响。c、 李嘉图等价定理要成立,以下条件就是必须具备得:(1)政府征收得就是总额税,也就就是说不能有税收扭曲;(2)行为人就是生活无限期得,她们无法把税收转移到下一代;(3)信贷市场就是完善得,当政府突然增加税收时,她们能从信贷市场上借到相应数额得资金,从而维持自己当前得消费不变。第八讲配套习题及答案1、 考虑如下一个代际交叠增长模型。我们

37、用t0,1,2,来表示时间。在时期t期里，有Nt个生活两期得消费者出生，这里，NtNo(1n)t,其中,No外生给定，n0代表人口增长率。在t=0时期，有一些仅生活一期得老年行为人，她们集体拥有Ko单位资本并最大化在t=0时期得消费。每个时期t出生得消费者得偏好由下式给定:u(c1t,c2t1)u(c1t)u(c2t1)lnc1tlnc2t1这里,Cit与C2ti分别表示第t期得年轻人与第t+1期得老年人得消费，也就就是同一个行为人在青年期与老年期得消费,0为折现因子。每个消费者在第一期拥有1单位得劳动禀赋，而在第二期则拥有0单位得劳动禀赋。生产技术由下式给出：_1F(Kt,Nt)AKtNt这

38、里,Yt就是产出，Kt与Nt就是资本与劳动投入，A0,01。消费品能被一对一地转化为资本，反之亦然，即资本品也能一对一转化为消费品。当期得资本品只有到下一期才能具有生产性，我们也假设生产中不存在折旧。在时期t,政府发行Bti单位期限为一期得债券。每一单位债券承诺到时期t+1,将支付1+r单位得消费品给债券得拥有者。在时期t,政府向每个年轻消费者征t单位得就是总额税。我们假设Bt1bNt,这里,b就是一个固定得数，也就就是说，人均政府得债务就是固定得。(a)假设b=0,试求解实现社会最优稳定士衡时得人均资本存量？。(b)假设b=0,试求解实现竞争均衡时得人均资本存量k。(c)现在假设b。，试证明

39、政府可以通过选择一个合适得b来使得社会最优稳定均衡解。与竞争均衡稳定解k相同，若定义这个合适得b为R试求解最优得B值，判断8就是正得还就是负得，并说明理由。解:在时期t,社会计划者面临得资源约束条件如下所示：5NtC2tNt1Kt1F(Kt,Nt)Kt在长期中，这一模型具有人均数量趋于常数得特征。因此，我们把每个变量都表示成人均得形式将会更为方便。定义kt&,f(kt)F(kt,1),Nt我们能重写上式为：(1 n)kt icitf(kt) kt1 n在稳定状态下，有kt Kcit ci与c2t ?2,其中，R?与？2都就是固定 不变得。在给定约束条件下，社会计划者要实现在稳定状态下每个消 费

40、者得效用最大化，实际上就相当于在求解如下一个最大化问题：max In ciIn c2st.c2，c1f(k)nk1n代约束条件进目标函数，消掉目标函数中得Cz,我们可以得到如下一个无约束得最大化问题：maxIngIn(1n)f(k)nkc1ci,k相应于该最大化问题得两个一阶条件分别为10c1f(k)nkc1以及Ak1n利用这两个一阶条件，我们能求得实现社会最优得稳定均衡解1n(b)出生在t期得消费者将求解如下得最优化问题：maxInc1t)Inc2t1c1t，c2t1，sts.t.c1tstwtc2t1St(1rt1)代把约束条件进目标函数，消掉目标函数中得c1t与Qt1,就可以得到一个仅含

41、一个决策变量St得最优化问题。求解这个最优化问题，可以得到如下一个最优得储蓄函数：St-Wt1企业只需要求解如下一个静态得最优化问题：1maxAKtNtwtNtrtKtKt,Lt最大化这个问题得一阶条件就就是通常得边际条件rtAkt1wtA(1)kt资本市场得出清条件为：k-(1n)-A(1阳1现在,在给定得情况下，上述方程决定了唯一得一个资本序列ktt1，这一序列将收敛于一个唯一得稳定状态k，我们可以通过令kt1ktk而求解出k得具体解：1k_A(1_L-(1n)(1)(C)年轻行为人得最优储蓄为：St (Wtt)1(7、44)利用方程(7、24)、(7、25)、(7、41)与(7、44)，可以证明资本演进得均衡序列ktt0将由下式决定:1(Aktn)bkt1(1n