第4章《相似三角形》常考题集(12)：43两个三角形相似的判定

1、菁优网 第23章相似三角形常考题集解答题241（2008无锡）如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F，试说明：ABFEAD242（2008旅顺口区）如图，在4×3的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：ABC=_°，BC=_；（2）判断ABC与DEC是否相似，并证明你的结论243（2006肇庆）如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于

2、矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由244（2004潍坊）附加题：如图ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，BAC=45°，BDC=60°，CEBD于E，连接AE（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求BEC与BEA的面积之比245（2004青岛）如图，在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角

3、形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论246（2001河北）已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：ADMMCP247（2004江西）如图，已知ABC、DCE、FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R（1）求证：BFGFEG，并求出BF的长；（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）248如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形AB

4、CD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向点A运动，过点Q作QEBC于点E若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒问：当点P在BA上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角

5、形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由249如图，在ABC中，BAC=2C，在图中作出ABC的内角平分线AD那么：（1）C=_=_（2）写出一对相似三角形，并说明理由250如图，ACB=ADC=90°，AC=，AD=2问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似251已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似？252如图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从

6、点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，PBQ与ABC相似253（2010黑河）已知在RtABC中，ABC=90°，A=30°，点P在AC上，且MPN=90°当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PEAB于点E，PFBC于点F，可证RtPMERtPNF，得出PN=PM（不需证明）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明254（20

7、09枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点C（3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足+|OA1|=0（1）求点A、点B的坐标；（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由256（2009武汉）如图1，在RtABC中，BAC=90°，ADBC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEOB交BC边于点E（1）求证：ABFCOE；（2）当O为A

8、C的中点，时，如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值257（2009天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB=90°，OA=2，OB=4如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OB=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BDOB，求此时点C的坐标258（2009庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点ACB和DCE的顶点都在格点上，

9、ED的延长线交AB于点F（1）求证：ACBDCE；（2）求证：EFAB260（2009辽宁）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，ADB=30度（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；（2）小红同学用剪刀将BCD与MEF剪去，与小亮同学继续探究他们将ABD绕点A顺时针旋转得AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为（0°90°），当AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；（3）若将AFM沿AB方向平移得到A2F2M2（如图3），F2M2

10、与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NPAB时，求平移的距离是多少？262（2008临沂）如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD（1）求证：ABFCEB；（2）若DEF的面积为2，求ABCD的面积263（2008河北）如图，在RtABC中，C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点点P从点D出发沿折线DEEFFCCD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QKAB，交折线BCCA于点G点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止设点

11、P，Q运动的时间是t秒（t0）（1）D，F两点间的距离是_；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EFFC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连接PG，当PGAB时，请直接写出t的值264（2008大连）（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，EOH=C，求证：EF=GH；（2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；（3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“

12、矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由265（2008安徽）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR266（2007岳阳）已知：等腰RtABC中，A=90°，（1）如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰RtCDE，连接AD，则有ADBC；（2）若将等腰RtABC改为正ABC，如图2

13、所示，E为AB边上任一点，CDE为正三角形，连接AD，上述结论还成立吗？答_；（3）若ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，DECABC，连接AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答：_请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明268（2007南京）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角（1）填空：

14、如图1，将ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到ADE，这个旋转相似变换记为A（_，_）；如图2，ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，90°），得到ADE，则线段BD的长为_cm；（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用AO1O3与ABI，CIB与CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系269（2006武汉）（北师大版）已知：将一副三角板（RtABC和RtDEF）

15、如图1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点将RtDEF绕点D顺时针方向旋转角（0°90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H（1）当=30°时（如图2），求证：AG=DH；（2）当=60°时（如图3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当0°90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图说明理由270（2006宿迁）如图，在ABCD中，AE、BF分别平分DAB和ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M

16、（1）试说明：AEBF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明第4章相似三角形常考题集（12）：4.3 两个三角形相似的判定参考答案与试题解析解答题241（2008无锡）如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F，试说明：ABFEAD解答：证明：矩形ABCD中，ABCD，D=90°，（2分）BAF=AED（4分）BFAE，AFB=90°AFB=D（5分）ABFEAD（6分）242（2008旅顺口区）如图，在4×3的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：ABC=135°°，BC=；（2）判

17、断ABC与DEC是否相似，并证明你的结论解：（1）ABC=135°，BC=；（2）相似；BC=，EC=；，；又ABC=CED=135°，ABCDEC243（2006肇庆）如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用

18、；正方形的性质。1368457专题：动点型。分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在解答：解：（1）设经过x秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（62x）x=×3×6，即x23x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的（4分）（2）

19、假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90°，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似（8分）244（2004潍坊）附加题：如图ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，BAC=45°，BDC=60°，CEBD于E，连接AE（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求BEC与BEA的面积之比解答：解：（1）AD=DE，

20、AE=CECEBD，BDC=60°，在RtCED中，ECD=30°CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30°=ECDAE=CE（2）图中有三角形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作AFBD的延长线于F，设AD=DE=x，在RtCED中，可得CE=，故AE=ECD=30°在RtAEF中，AE=，AED=DAE=30°，sinAEF=，AF=AEsinAEF=245（2004青岛）如图，在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q（

21、1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论解答：解：（1）ABMP，QMAC，四边形APMQ是平行四边形，B=PMC，C=QMBAB=AC，B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PMAB，PCMACB，QMAC，BMQBCA；（3）当点M在BC的中点时，四边形APMQ是菱形，点M是BC的中点，ABMP，QMAC，QM，PM是三角形ABC的中位线AB=AC，QM=PM=AB=AC又由（1）知四边形APMQ是

22、平行四边形，平行四边形APMQ是菱形点评：此题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等知识点的综合运用246（2001河北）已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：ADMMCP考点：相似三角形的判定；正方形的性质。1368457专题：证明题。分析：欲证ADMMCP，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即D=C，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可解答：证明：正方形ABCD，M为CD中点，CM=MD=ADBP=3PC，PC=BC=AD=CMPCM=ADM=90°，MCPADM点评：本题考查相似三角形的判定识别两三

23、角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法247（2004江西）如图，已知ABC、DCE、FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R（1）求证：BFGFEG，并求出BF的长；（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质。1368457专题：综合题；开放型。分析：（

24、1）在BFG中，BG=3BC=3，FG=AB=，在FEG中，FG=AB=，EG=1，所以有，且二者有一个公共角G，所以可得出两三角形相似（2）如果问题较为浅显，可以提问求证：PCB=REC，这个问题只需要运用两直线平行，同位角相等进行解答此题为发散性题型，不唯一解答：（1）证明：ABCDCEFEGBC=CE=EG=BG=1，即BG=3FG=AB=又BGF=FGE，BFGFEG，FEG是等腰三角形，BFG是等腰三角形，BF=BG=3；（2）解：A层问题（较浅显的，仅用到了1个知识点）例如：求证：PCB=REC（或问PCB与REC是否相等）等；求证：PCRE，（或问线段PC与RE是否平行）等B层问

25、题（有一定思考的，用到了23个知识点）例如：求证：BPC=BFG等，求证：BP=PR等；求证：ABPCQP等，求证：BPCBRE等；求证：ABPDQR等；求BP：PF的值等C层问题（有深刻思考的，用到了4个或4以上知识点，或用到了（1）中结论）例如：求证：ABPERF；求证：PQ=RQ等；求证：BPC是等腰三角形；求证：PCQRDQ等；求AP：PC的值等；求BP的长；求证：PC=（或求PC的长）等A层解答举例：求证：PCRE证明：ABCDCEPCB=REBPCREB层解答举例：求证：BP=PR证明：ACB=REC，ACDE又BC=CE，BP=PRC层解答举例：求AP：PC的值解：ACFG，=P

26、C=，而AC=，AP=，AP：PC=2点评：此题主要考查了相似三角形的判定，难易程度适中248如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向点A运动，过点Q作QEBC于点E若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒问：当点P在BA上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、

27、A、D为顶点的三角形与CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定；三角形三边关系；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形。1368457专题：动点型；开放型。分析：（1）求面积要先求梯形的高，可根据两底的差和CD的长，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出高后即可求出梯形的面积（2）PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，Q

28、D的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值本题要分三种情况进行讨论：一，当P在AB上时，即0t8，如果两三角形相似，那么C=ADP，或C=APD，那么在ADP中根据C的正切值，求出t的值二，当P在AD上时，即8t10，由于P，A，D在一条直线上，因此构不成三角形三，当P在CD上时，即10t12，由于ADC是个钝角，因此ADP是个钝角三角形因此不可能和直角CQE相似综合三种情况即可得出符合条件的t的值（3）和（2）相同也要分三种情况进行讨论：一，当P在AB上时，即0t8，等腰PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的

29、值二，当P在AD上时，即8t10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10t，因此DP，DQ恒相等三，当P在CD上时，即10t12，情况同二综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值解答：解：（1）过D作DHAB交BC于H点，ADBH，DHAB，四边形ABHD是平行四边形DH=AB=8；BH=AD=2CH=82=6CD=10，DH2+CH2=CD2DHC=90°B=DHC=90°梯形ABCD是直角梯形SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40（2）BP=CQ=t，AP=8t，DQ=10t，AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8

30、t+2+10t=t+8+tt=38当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分第一种情况：0t8若PADQEC则ADP=CtanADP=tanC=，t=若PADCEQ则APD=CtanAPD=tanC=，=t=第二种情况：8t10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10t12ADP为钝角三角形与RtCQE不相似；t=或t=时，PAD与CQE相似第一种情况：当0t8时过Q点作QEBC，QHAB，垂足为E、HAP=8t，AD=2，PD=CE=t，QE=t，QH=BE=8t，BH=QE=tPH=tt=tPQ=，DQ=10t：DQ=DP，10t=，解得t=8秒：DQ=PQ，10t=，化简得：3t2

31、52t+180=0解得：t=，t=8（不合题意舍去）t=第二种情况：8t10时DP=DQ=10t当8t10时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立第三种情况：10t12时DP=DQ=t10当10t12时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立综上所述，t=或8t10或10t12时，以DQ为腰的等腰DPQ成立点评：本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（2）中要根据P，Q的不同位置，进行分类讨论，不要漏解249如图，在ABC中，BAC=2C，在图中作出ABC的内角平分线AD那么：（1）C=CAD=DAB（2）写出一对相似三角形，并说明理由考点：相似三角形的判定。1368457分析：（1

32、）BAC=2C，AD平分BAC，易得C=CAD=DAB（2）由BAD=C，B为公共角，可得ABDCBA解答：解：（1）C=CAD=DAB（2）ABDCBA，理由如下：AD平分BAC，BAC=2C，BAD=BCA又B=B，ABDCBA点评：此题主要考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单250如图，ACB=ADC=90°，AC=，AD=2问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似考点：相似三角形的判定。1368457专题：分类讨论。分析：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似在RtABC和RtACD，直角边的对应需

33、分情况讨论解答：解：AC=，AD=2，CD=要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当RtABCRtACD时，有=，AB=3；（2）当RtACBRtCDA时，有=，AB=3故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似点评：本题考查相似三角形的判定识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比251已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以

34、P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似？考点：相似三角形的判定；矩形的性质。1368457专题：几何动点问题；分类讨论。分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似，则要分两两种情况进行分析分别是PBQBDC或QBPBDC，从而解得所需的时间解答：解：设经x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD=90°，（1）当1=2时，有：，即；（2）当1=3时，有：，即，经过秒或2秒，PBQBCD点评：此题考查了相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用252如图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以

35、4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，PBQ与ABC相似考点：相似三角形的判定；一元一次方程的应用。1368457专题：动点型。分析：设经过t秒后，PBQ与ABC相似，根据路程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=102t，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可解答：解：设经过秒后t秒后，PBQ与ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=102t，当PBQABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当QBPABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（102t）：20，解得t=1所以，

36、经过2.5s或1s时，PBQ与ABC相似（10分）解法二：设ts后，PBQ与ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分两种情况：（1）当BP与AB对应时，有=，即=，解得t=2.5s（2）当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与ABC相似点评：本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来253（2010黑河）已知在RtABC中，ABC=90°，A=30°，点P在AC上，且MPN=90°当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE

37、AB于点E，PFBC于点F，可证RtPMERtPNF，得出PN=PM（不需证明）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明考点：相似三角形的判定与性质。1368457专题：综合题；数形结合。分析：图2和图3的结论一致，求解的方法也相同，以图2为例：过P作PEAB于E，作PFBC于F，仿照题干的做法，先证PEMPFN，得PN：PM=PF：PE；在RtABC中，PF=PC，PE=PA，联立PC、PA的比例关系，即可得到PF：PE的值，从而求得PN、PM的比例关系解答：解：如图2，如图3中都有结论：PN=P

38、M（2分）选如图2：在RtABC中，过点P作PEAB于E，PFBC于点F；四边形BFPE是矩形，EPF=90°，EPM+MPF=FPN+MPF=90°，可知EPM=FPN，PFNPEM，（2分）=；（1分）又RtAEP和RtPFC中：A=30°，C=60°，PF=PC，PE=PA，（1分）=；（1分）PC=PA，=，即：PN=PM（1分）若选如图3，其证明过程同上（其他方法如果正确，可参照给分）点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，由于题干部分已经给出了解题的思路，使得此题的难度有所降低254（2009枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点C（3，0

39、），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足+|OA1|=0（1）求点A、点B的坐标；（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；坐标与图形性质；勾股定理。1368457专题：压轴题。分析：（1）根据足+|OA1|=0可求得OB=，OA=1，根据图象可知A（1，0），B（0，）（2）在直角

40、三角形中的勾股定理和动点运动的时间和速度分别把相关的线段表示出来，设CP=t，过P作PQCA于Q，由CPQCBO，易得PQ=S=SABCSAPC=2t（3）直接先根据相似存在分别计算对应的p点坐标，可知满足条件的有两个P1（3，0），P2（1，）解答：解：（1）+|OA1|=0，OB23=0，OA1=0OB=，OA=1（1分）点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，A（1，0），B（0，）（2分）（2）由（1），得AC=4，AB2+BC2=22+（2）2=16=AC2ABC为直角三角形，ABC=90°（4分）设CP=t，过P作PQCA于Q，由CPQCBO，易得PQ=，S=SABCSAP

41、C=t（0t）（7分）（说明：不写t的范围不扣分）（3）存在，满足条件的有两个P1（3，0），（8分）P2（1，）（10分）点评：本题考查了非负数的性质，相似三角形的判定，勾股定理和直角三角形的判定等知识点利用非负数的性质求算出线段的长度是解题的关键之一要会熟练地运用这些性质解题255（2009襄阳）如图，已知：在O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CDAB，点F是上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD（1）求证：ACHAFC；（2）猜想：AHAF与AEAB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E位于何处时，SAEC：SBOD=1：4，并加以说明考点：相似三

42、角形的判定与性质；三角形的面积；垂径定理；圆周角定理。1368457专题：几何综合题。分析：（1）根据垂径定理得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理的推论得到F=ACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（2）连接BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为AE：OB，进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长解答：（1）证明：直径ABCD，F=ACH，又CAF=FAC，ACHAFC（2）解：AHAF=AEAB证明：连接FB，AB是直径，AFB=AEH=90°，又EAH=

43、FAB，RtAEHRtAFB，AHAF=AEAB（3）解：当（或）时，SAEC：SBOD=1：4理由：直径ABCD，CE=ED，SAEC=AEEC，SBOD=OBED，O的半径为2，点评：能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等掌握相似三角形的判定和性质256（2009武汉）如图1，在RtABC中，BAC=90°，ADBC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEOB交BC边于点E（1）求证：ABFCOE；（2）当O为AC的中点，时，如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。1368457专

44、题：几何综合题。分析：（1）要求证：ABFCOE，只要证明BAF=C，ABF=COE即可（2）作OHAC，交AD的延长线于H，易证ABFCOE，进而证明ABFHOF，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值同理可得（3）=n解答：（1）证明：ADBC，DAC+C=90°BAC=90°，BAF=COEOB，BOA+COE=90°，BOA+ABF=90°，ABF=COEABFCOE（2）解：过O作AC垂线交BC于H，由（1）得ABF=COE，BAF=CAFB=OEC，AFO=HEO，而BAF=C，FAO=EHO，OEHOFA，OF：OE=OA：OH又

45、O为AC的中点，OH为ABC的中位线，OH=AB，OA=OC=AC，而，OA：OH=2：1，OF：OE=2；（3）解：=n点评：本题难度中等，主要考查相似三角形的判定和性质257（2009天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB=90°，OA=2，OB=4如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OB=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BDOB，求此时点C的坐标考点：相似三角形的判

46、定与性质；二次函数综合题；平行线的性质；直角三角形全等的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）。1368457专题：综合题；数形结合。分析：（）因为折叠后点B与点A重合，那么BC=AC，可先设出C点的坐标，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标；（）方法同（）用OC表示出BC，BC然后在直角三角形OBC中根据勾股定理得出x，y的关系式由于B在OA上，因此有0x2，由此可求出y的取值范围；（）根据（）（）的思路，应该先得出OB，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证RtCOBRtBOA来实现BCO和CBD是平行线BD，OB的内错角

47、，又因为OBA=CBD，因此BCO=OBA，即CBBA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OBC中求出OC的值，也就求出C点的坐标了解答：解：（）如图，折叠后点B与点A重合，则ACDBCD设点C的坐标为（0，m）（m0），则BC=OBOC=4mAC=BC=4m在RtAOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，即（4m）2=m2+22，解得m=点C的坐标为（0，）；（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，BCDBCDOB=x，OC=y，B'C=BC=OBOC=4y，在RtBOC中，由勾股定理，得BC2=OC2+OB2（4y）2=

48、y2+x2，即y=x2+2由点B在边OA上，有0x2，解析式y=x2+2（0x2）为所求当0x2时，y随x的增大而减小，y的取值范围为y2；（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，且BDOBOCB=CBD又CBD=CBD，OCB=CBD，CBBARtCOBRtBOA，OC=2OB在RtBOC中，设OB=x0（x00），则OC=2x0由（）的结论，得2x0=x02+2，解得x0=8±4x00，x0=8+4点C的坐标为（0，816）点评：本题综合考查了运用轴对称、相似三角形的性质和勾股定理的知识进行计算的能力折叠型动态问题是近年来中考试题中的热点问题，它可以考查学生的综合能力，如想象能

49、力、动手操作及创新意识能力等等，对于这类问题，通常从原图中选取满足条件的基本图形进行分析、解决问题258（2009庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点ACB和DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F（1）求证：ACBDCE；（2）求证：EFAB考点：相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理。1368457专题：证明题。分析：（1）从图中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，ACB=DCE=90°，故有，所以ACBDCE；（2）由1知，B=E，可得B+A=E+A=180°AFE=90°，即EFA=90°，故

50、EFAB解答：证明：（1），又ACB=DCE=90°，ACBDCE（2）ACBDCE，ABC=DEC又ABC+A=90°，DEC+A=90°EFA=90度EFAB点评：本题利用了对应边的夹角相等，且对应边成比例的两个三角形相似的判定三角形相似的方法，及三角形内角和定理求解259（2009庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E（1）E=45度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理。1368457专题：几何综合题。分析：由“同弧所对

51、的圆周角相等”可知E=ACD=45°，CAE=EDC，所以ACPDEP；求弦DE的长有两种方法：一，利用ACPDEP的相似比求DE的长；二、过点D作DFAE于点F，利用RtDFE中的勾股定理求得DE的长解答：解：（1）ACD=45°，ACD=E，E=45°（2分）（2）ACPDEP，（4分）理由：AED=ACD，APC=DPE，ACPDEP（6分）（3）方法一：ACPDEP，（7分）AP=，AC=，（9分）DE=（10分）方法二：如图2，过点D作DFAE于点F，在RtADP中，AP=（7分）又SADP=ADDP=APDF，（8分）DF=（9分）DE=DF=（10分）点评：此题主要考查相似三角形的判定及圆周角定理的运用260（2009