ppt第十章对策论与极大极小控制

1、10.1 10.1 概述概述第十章第十章 对策论与极大极小控制对策论与极大极小控制 10.2 10.2 离散对策（矩阵对策）离散对策（矩阵对策）10.3 10.3 连续对策连续对策10.4 10.4 微分对策微分对策10.5 10.5 线性二次微分对策线性二次微分对策10.6 10.6 最优线性原理和贝尔曼最优线性原理和贝尔曼依萨克斯方程依萨克斯方程10.7 10.7 小结小结10.1 概述概述 前面各章讨论的极值控制（时间最小，燃料最省等）都由一个控制方所决定，可称为单方控制问题。在实际情况中，往往存在着利害冲突的双方。如甲方（追逐导弹）要攻击乙方（飞机），甲方采取最优策略使脱靶量最小，而乙

2、方采取最优逃逸策略使脱靶量最大，这是双方控制问题。讨论矛盾冲突活动中，局中双方采取何种合理的策略而使自己处于“优越”地位的理论称为对策论。 对策论又称为博弈论（Game Theory），是由冯诺依曼（John Von Neumann）和奥摩根斯特思（Osker Morgenstern）于1944年首先创立的，它在经济竞争、军事冲突中获得了广泛的应用。微分对策研究的是动态情况下的对策理论。它是由依蕯克斯（R Isaacs）首先创立的。在二次世界大战期间，由美国空军赞助，美国兰德公司组织了以依蕯克斯博士为首的研究小组开展了对抗双方都能自由决策行动的追逃问题的研究。1965年，依蕯克斯将研究成果整理

3、出版了微分对策一书，此书的出版标志了微分对策的正式诞生。 本章将先讨论离散对策（又称矩阵对策，策略取离散值）和连续对策（策略取连续值），进而讨论本章的重点微分对策（用微分方程描述的动态情况下的对策）。10.2 离散对策（矩阵对策）离散对策（矩阵对策） 10.2.1 对策的极小极大值（纯策略解）对策的极小极大值（纯策略解） 在对策中双方必然会考虑到对方会使自己的支付最大，所以应从最坏的方案着手，去争取最好的结果，即对策的双方都是理智的，他们都考虑对方会用什么对策。这里我们讨论的情况是对方的支付就是自己的赢得，支付与赢得之和为零，故称零和对策零和对策。 设厉害冲突双方 和（局中人）各有一套策略，即

4、 和 ， ， 。与每一对策略( , )相对应，产生出一个支付： 。 方力图使 支付最大，而 方则试图使之最小。由 可构成一个支付矩阵。设 ,一个支付矩阵的例子如图10-1所示uuviujv1,2,.,im1,2,.jniujvijJLvuijL2nm图10-1 离散对策的简单例子 假设 （求极大值者）先开局，若选择策略 ，这时 的值为 ，因 ,故随后 方会选择 使 。另一方面，方若选择 ，这时 的值为 ， 。比较1121(,)(2,5)LLumin(2,5)21vLv1u2J v2vL1222(,)(7,9)LLmin(7,9)712,v v 的结果，有 ，所以 方应选择 ，这是有“较大极小值

5、” 的第二列。这时不管 方选 或 ， 的赢得不会小于 。max(2,7)7v2v7u1u2uv7 再假设 先开局，类似地，选 时 ,选 时 ,而 ，故 方应选择策略 这是有“较小极大值”7的第一行。这时不管 方取何策略， 方的赢得不会大于7。v1u1uu2uumax(2,7)7max(5,9)9min(7,9)7v 这样不管谁先开局，最优对策为 ，相应的支付为 。即我们有127L12( ,)u vuv（ 先开局） （ 先开局）7maxminminmaxijvuijuvLLjiij（10-1）以及2211,vuLvuLvuLij（10-2）这时，不管谁先开局都存在唯一的最优对策解，称为极小极大解

6、或最优纯策略解。这是由Nash首先提出的，故又称为Nash平衡解。图10-2 开局先后造成差异的离散对策 应该注意到，当支付矩阵取不同值时，可能不存在极小极大解，即不满足（10-1）式。例如，将图1中的 改为11，得到下面的支付矩阵11L即，不存在极小极大解。 若 先开局，因选 时 ,选择 时 ,故应选 ，即具有较大极小值“7”的第二列，随后 选择 ,得支付为7。若 先开局，同理他应选 ，即具有较小极大值“9”的第二行，随后 选择 ,得支付为9。这时v1vmin(11,5)5min(7,9)7,max(5,7)72v2vv2vu1uu2u7minmax9maxminijuvijvuLLijji

7、（10-3）（ 先开局） （ 先开局）uv10.2.2 混合策略混合策略2u 当不存在最优纯策略解（极小极大解）时，可以采用混合策略。这时局中人分别以不同的概率来混合选取纯策略。设 以概率 使用策略 ，以概率 使用策略 ； 以概率 使用策略 ，以概率 使用策略 。仍用图10-2所示的例子期望支付为vvP(1)vP1v2v(1)uPu1uuPvuvuvuvuvuPPLPPLPPLPPLPPE1111,22211211vuvuvuvuPPPPPPPP1191517118)41)(21(8vuPP （10-4）8,minmax,maxminvuPPvuPPPPEPPEuvvu （10-5） 从上式可

8、见，当 先开局，取 时， 方的最小期望支付为8，他不能期望比这更小的支付，因为 方会取 使得 的支付 不小于8，因此8是 方所期望的最小支付。而 的支付就是 的赢得，因此 的最大期望赢得也是8，他不能期望有更大的赢得，因为会取 使得 的赢得不大于8，这样就有vuu12uP uv14vP (,)uvE P Puu12uP vv这种对策称为概率的混合对策，而 就是最优对策解。11(,)24uvPP 上述求解最优对策的过程可以化为求解一组不等式。设 的期望最小支付（即 的期望最大赢得）为 (上例中 )，于是有vu*8E *E（10-6-a） *115(1)79(1)uuuvPPEPPE1vu2vu（

9、固定用 ， 可选）（固定用 ， 可选） （10-6-b） *117(1)59(1)vvvvPPEPPE1uv2uv（固定用 ， 可选）（固定用 ， 可选）0,0uvPP（10-6-c）用图形表示上述两组不等式的求解，如图10-3所示图10-3 不等式求解示意图 求解的结果是 。不难发现，上述一组不等式的求解与线性规划理论有紧密联系。*11,824uvPPE10.2.3 矩阵对策存在极小极大解的条件矩阵对策存在极小极大解的条件 mnmmnnLLLLLLLLLL212222111211 （10-7） 设对策的支付矩阵为 ，此时 方力图使 支付最大，而方则试图使之最小。 LvuVLLijjiijij

10、maxminminmax （10-8） 对局中人 来讲，对 中的每一列取其中的最小值 (最坏情况)，再从这些列的最小值中取最大值，得 (最坏情况下的最好的结果)。对局中人 来讲，则对 中的每一行取其中的最大值 ,再从这些行的最大值中取最小值，得 。如果min(1,2,., )ijiLjnijijLminmaxijjiLmaxminmax(1,2,.,)ijjL imLvLu 是对策值，则称存在极小极大解，对应的第行，第 列的对策 或简写为 称为对策的最优解（或称最优纯策略）。注意，对策的解不一定唯一，即可能存在多于一个的 或 使（10-8）式成立。下面给出（10-8）式成立的条件。*iV*j*

11、(,)ijuu*( ,)ij*i*j 引理引理1 对任一对策（不一定最优）都有 上式可以表述为：最小中的最大值不大于最大中的最小值。ijjiijijLLmaxminminmax（10-9）证明证明 由极值的定义，都有ijjijijijiLLLLmaxminijjijijiLLLmaxmin（10-10）从而有由于（10-10）式左端已与 无关，故有iijjiijiijiiLLLmaxminmin)min(min, i j又由于上式的右端与任何 都无关，故有ijjiijjijijijLLLmaxmin)maxmin(maxminmax引理1得证。*( ,)ij定理定理1 零和矩阵对策有极小极大解

12、的充要条件是：存在一个最优对策解 使 对一切 都成立。* *i ji jijLLL（10-11）1,2,.,;1,2,.,im jn* *i ji jijLLL 证明证明 先证充分性。因为对一切 均有, i j故有jijjiijiLLL*maxmin（10-12）而由（10-12）式左边，可得*minminmaxijiijijLL （10-13）*ijLv*ijL 上式右端 表示 方先开局已选了 策略，使 尽可能大（可能不是保守的）， 方再选择策略使 尽可能小。*jLu由（10-12）式右边，可得从而可得ijjijiijijLLLmaxminminmax*（10-15）ijjijijLLmax

13、minmax* （10-14）再结合引理1，可得这就证明了，满足条件（10-11）后，即可得到矩阵对策的最优解。 （10-16）*maxminminmaxjiijjiijijLLL*minmaxmaxiji jijjLL*maxminminijijiijLL而* *maxminminmaxi jijijiijjLLL 再来证明必要性。既然假设存在最优对策解，则 可找到在 时达到最小，而 在ijjLmax*iiijiLmin*jj 时达到最大，即从而有* *minmaxmaxi jiji ji jijjLLLL* *maxminmini jijijijiijLLLL这就得出了* *i ji ji

14、jLLL对一切 成立。定理完全得证。 1,2,. ;1,2,.im jn例10-1：给定矩阵对策的支付矩阵为6180545262765152L 由于各列中的极小为（5,-1,5,0），其中的最大值为5，故又由于各行中的极大为（8,5,7,5），其中的最小值为5，故* *maxmin5*2,4; *1,3iji jijLLij，* *minmax5*2,4; *1,3iji jijLLij，显然有minmaxmaxmin5ijijiijjLL即存在极小极大解，而且都是对策解，即21234143(,) (,) (,) (,)u vu vu vu v、*21234143(,)(,)(,)(,)(,)

15、ijuvu vu vu vu v由上例可见，对策的值为5这是唯一的，而对策的解却可以是不唯一的。10.3 连续对策连续对策 若 与 的选择为连续值时（即可有无限个对策），则有一个连续的支付函数 ，而非离散的支付矩阵 现在要找一对最优的 使得*),(*)*,()*,(vuLvuLvuLvuijL( , )L u v*(,)u v 上式表明 是 的一个鞍点，鞍点可用图10-4表示。 有鞍点的必要条件为*(,)u vL( , )L u v0, 00, 02222vLuLvLuL(10-17)0, 00, 02222vLuLvLuL充分条件为（10-18）图10-4 连续对策的鞍点例10-2 设对策的

16、支付函数为 要选取策略使 最小，而 则要使 最大，求最优对策解，即鞍点的值。)(21),(22vuvuL11, 11vuLuLv*00Luuu*00Lvvv 且222210,10LLuv 解：故 确实是 的鞍点。并且有*(,)u v( , )L u v0),(),(maxmin),(minmax*vuLvuLvuLvuuv下面的支付函数11, 1123),(22vuvuvuvuL就不存在鞍点，因为 。（存在这种情形的原因是 中存在交叉积项 ，这使得 不能分成二项，一项仅与 有关，另一项仅与 有关。） 对于不存在鞍点的情况，可以采用类似于矩阵对策中的概率混合对策。2240Lv ( , )L u

17、v3uvLuv10.4 微分对策微分对策 用微分方程描述的动态过程受到双方对策控制的理论和方法称为微分对策。20世纪50年代以来，由于导弹拦截飞行器等军事上的需要，美国兰德（Rand）公司在空军赞助下，以依萨克斯博士为领导开始了这方面的研究，他们将现代控制理论中的一些概念和原理引入到对策论中，取得了重大的进展。 现在，微分对策已引起世界各国的广泛关注，特别是一些军事强国。在导弹拦截，电子战，火力配置等军事领域和商业竞争，招标与投标，资源开发与环境污染等经济和社会领域中，微分对策都可以发挥其作用。10.4.1 微分对策的提法微分对策的提法0),(ffttxG及指标函数（类似于前面的支付函数）终端

18、约束给定动态系统00)(, ),(xtxtvuxfx（10-19）fttffdttvuxFttxJ0),(),(（10-20）),(),(),(vuJvuJvuJ（10-21） 对于甲方，选 ，使 取最小可能的值；对于乙方，选 ，以使 取最大可能的值，亦即寻求对策的最优解 使 vVJuUJ*(,)u v 是 的鞍点， 和 分别称为甲、乙的最优策略， 称为（双方零和）最优微分对策值。*(,)J u v*(,)u vJ*u*v 从微分对策问题的描述和最优策略的定义可以看出，微分对策问题和最优控制问题紧密相关，可以想象两者的处理方法也应该十分相似的。 下面我们将给出微分对策问题最优策略 所应满足的必

19、要条件，即双方极值原理；并将证明当哈密顿函数和性能指标函数可分解为两部分，一部分只与 有关，另一部分只与 有关时，则这个必要条件也就是充分条件。uv*( ),( )u t v t0 (), (), ( , , , ) ( , , , )fTafffftTtJx ttG x ttF x u v tf x u v tx dt （10-23）定理定理2 双方极值原理最优策略的必要条件引入哈密顿函数和增广性能指标函数),(),(),(tvuxftvuxFtvuxHT（10-22）如果 是双方零和微分对策问题（10-19）（10-20）的最优解，即 为鞍点，则 一起满足*( ),( ),( )x t u

20、 t v t*( ),( ),( ), ( ),x t u t v tt v*( ),( )u t v t（10-25）( )()()()TfffHtxGtx tx t （10-24）0),(,)(),(),(),(00ffttxGxtxttvtutxfx ( ),( ),( ), ( ), )minmax(, , , , )maxmin(, , , , )uvuvH x t u t v tt tH x u vtH x u vt（10-26）（10-27）(),(),(), (),) (), (),fffffTffffffH x tu tv tttx ttGx tttt 证明证明 上述双方极值

21、原理的证明分三步。先给出关于 的极大值原理，再给出关于 的极小值原理，最后将前两步组合起来，给出双方极值（极大极小）原理。vu1）关于 的极小值原理最优控制问题（一）u状态方程为0),(ffttxG终端约束),(tvuxfx（10-28）指标函数dttvuxFttxvuJfttff0),(),(,（10-29）,vuJvuJ（10-30）对 取极小。即寻求 ，使满足*uu1H 对于上面的最优控制问题（一），引入哈密顿函数),(),(),(111tvuxftvuxFtvuxHT（10-31） 根据第四章中的极小值原理，知 取极小值的必要条件是 和 满足*1xu、 、Jft1111HxxH（10-

22、32） 正则方程 边界条件00( ), (),0ffx txG x tt（10-33）)()()(1fTfftxGtxt 横截条件（10-34）fTfftGttH)(1 最优终端时刻条件（10-35） 在最优轨线 和最优控制 上，哈密顿函数 取极小值*( )x t*( )u t),(),(min1111tvuxHtvuxHUu（10-36）2）关于 的极大值原理最优控制问题（二）*v0),(ffttxG终端约束状态方程为),(tvuxfx（10-37）指标函数0, (),( , , )ftfftJ u vx ttF x u v t dt （10-38）*vv对 取极大。即寻求 ，使满足,vuJ

23、vuJ（10-39）),(),(),(222tvuxftvuxFtvuxHT对于上面的最优控制问题（二），引入哈密顿函数 2H（10-40）于是 取极大值的必要条件是： 和 满足J*2,x vft2222HxxH 正则方程（10-41）0),(,)(00ffttxGxtx 边界条件（10-42）)()()(2fTfftxGtxt 横截条件（10-43）fTfftGttH)(2 最优终端时刻条件（10-44）*( )v t 在最优轨线 和最优控制 上，哈密顿函数取极大值*( )x t),(),(max2222tvuxHtvuxHVv（10-45）3）双方极值（极大极小）原理),(),(),(tv

24、uxftvuxFtvuxHT 由（10-19）、（10-20）描述的微分对策问题的哈密顿函数为（10-46）考察前面极大和极小控制的拉格朗日变量 和 所满足的方程（10-32）和（10-41），有12)()()(),(),(1111fTffTtxGtxtxtvuxfxtvuxFxH （10-47） )()()(),(),(2222fTffTtxGtxtxtvuxfxtvuxFxH （10-48）和由（10-47）、（10-48）可见， 和 满足相同的线性非齐次方程，且其终端条件相同。根据线性非齐次方程的终值问题的唯一性定理知1( ) t2( ) t)()(21tt,0fttt )()()(21

25、ttt,0fttt 令（10-49）再由哈密顿函数 和 取极值的表达式（10-36）和（10-45）可得2H1H1122(, , )(, )(, )H x u vtH x u vtHx u vt上式可写成min(, , , )(, , )max(, , , )uvH x u vtH x u vtH x u vt（10-50）),(max),(maxmintvuxHtvuxHvvu),(min),(minmaxtvuxHtvuxHuuv类似于（10-13）、（10-14），有（10-51）（10-52）联合（10-50）、（10-51）和（10-52），可得minmax( , , , , )(,

26、 , )maxmin(, , , , )uvuvH x u vtH x u vtH x u vt（10-53）),(minmax),(maxmintvuxHtvuxHuvvu另一方面，将矩阵对策中的引理1关于“最小中的最大不大于最大中的最小”的结论用于 ，得*(, , , , )H x u vt（10-54）联合（10-53）和（10-54），即得),(minmax),(maxmin),(tvuxHtvuxHtvuxHuvvu（10-55）上式即双方极值原理最优策略的必要条件中的（10-26）式。根据（10-47）（10-49）式，可以得到必要条件中的其它几个式子。注：当 为开集， 关于变元都

27、是二次连续可微的，则双方极值原理中的（10-26）或（10-55）式与下列一组关系式等价：vu,( , , , ),( , , , ),( , ),( , )f x u v tF x u v tx t G x t0),(0),(0),(0),(2222vvtvuxHuutvuxHvvtvuxHuutvuxH（10-56）上面所证明的双方极值原理是先假设存在最优策略所满足的鞍点条件（10-21），然后将鞍点条件拆成两个不等式（10-30）和（10-39），利用极小值原理和极大值原理得到两个最优解所满足的必要条件，再将它们结合起来得到极大极小解（最优策略）的必要条件。下面来讨论，在什么情况下这些必

28、要条件也是充分条件。10.4.2 最优策略的充分条件最优策略的充分条件当状态方程和性能指标可分解为一部分仅与策略 有关，另一部分仅与策略 有关，则可证明（10-24）（10-27）所示的最优策略的必要条件也是充分条件，也就是可满足指标鞍点条件（10-21）。uv),(),()(21tvftufxtAx定理定理3 设状态方程为（10-57）dtttvLttuLtxtptxcvuJfttTfT0),(),()()()(,21性能指标为（10-58）其中 对 连续。 是常向量， 固定。 关于变元 都是连续的，而关于 都是连续可微的。( ),( )n nTnA tRptRtncRft, u v1112

29、12( , ),( , ),( , ),( , )nnf u tRf v tRL u tR L v tRt1200( )( )( )(, )(, ),( )x tA t x tf u tf v tx tx相应于 的轨迹为 ，它们满足（10-59）*x*(,)u v哈密顿函数为1212( , , , , )( ) ( )( , )( , )( ) ( )( , )( , )TTH x u vtpt x tL u tL v ttA t xf u tf v t（10-60）若 一起满足条件（10-24）（10-27），将条件（10-26）写成*,x u v),(),(),(tvuxHtvuxHtvu

30、xH则 必是对策的最优策略。*(,)u v（10-61）1200( )( ) ( )( , )(, ), ( )x tA t x tf u tf v tx tx 证明证明 任取 ，记状态方程（10-57）相对于uU( )x t*( ,)u v 的解为 ，它满足（10-62）( )()( )( ) ( )TTTTtHxptt A t 注意到由（10-60）式可得 （10-63）利用（10-59）、（10-62）和（10-63），可得121211( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( , )(, )( )( )(, )(,

31、)( ) ( )( )( )( , )( )(, )TTTTTTTTTTdtx tx tdtx tx ttx tx tptt A tx tx ttA t x tf u tf v tA t x tf u tf v tpt x tp x tt f u tt f u t dttufttxtptxcdttufttxtptxcffttTTfTttTTfT00),()()()()(),()()()()(11将上式从 积分到 ，且注意到 和 ，可得0tft000)()(xtxtxTffTfTctxtxct)(/ )()(将上式左右积分号下同减)(),()()()(2txptvftxtAtTT00121212

32、121212()( ) ( )( , )(, )( , )(, )( )( )( ) ( )( )( , )(, )()( )( )(, )(, )(, )(, )( ) ( )( )(, )(fftTTftTTtTTftTc x tpt x tL u tL v tL u tL v tpt x ttA t x tf u tf v tdtc x tpt x tL u tL v tL u tL v ttA t x tf u tf, )v tdt得将（10-58）与（10-60）代入上式，得00,(, , , ),(, , )ffttttJ u vH x u vt dtJ u vH x u vt d

33、t（10-63）*,*,vuJvuJ注意到（10-61）式，可得（10-64）vuJvuJ*,*,vV( )x t*(, )u v 同理，若任取 ，记状态方程相对于 的解为 ，则可以推得（10-65）式（10-64）和（10-65）说明鞍点条件（10-21）成立， 确实是最优策略，充分性得证。*(,)u v 设追逐者的控制量是它的加速度 ，它垂直于指向逃逸者的初始视线。逃逸者的控制量为 它也垂直于初始视线。设 是垂直于初始视线的追逃者之间的相对位置， 为其相对速度（见图10-5）。则相对运动的微分方程为例例10-3 加速度有限时的追逃问题( )ea t( )patyv( )y t000( )0

34、( )yypeyyvy tyvaav tv（10-66） apy初始视线ae 图10-5 追逃问题示意图 追逐者希望使用（其控制量决策） 使终端脱靶量 最小；而逃逸者则希望使用控制量 使得 最大。故性能指标可选为pa()fy tea()fy t)(212ftyJ （10-67） 下面来寻求最优对策解。首先构成哈密顿函数，令,( ),TTTyvyyxy yf xv v empmemepmpaaaaaa且追逐者和逃逸者的加速度都有限：（10-68）则（10-69）)()(epvyyTaavxfH共轭方程为yvyxH0注意到这里哈密顿函数是控制量 和 的线性函数。paea于是，)()(,00)(,f

35、fyyfvyvtytt（10-70）H而最优策略可由（10-69）式所示的哈密顿函数 取极值得到，为vemevpmpataatasgn)(sgn)(（10-71）)()()()()()()()(ffyfvffyytytttttttytt常值将（10-70）积分，得（10-72）)(sgn)(sgnfvtyt 由上式，有（10-73）将（10-73）代入（10-72）和（10-71），并将所得的 和 代入运动方程（10-66），再积分之，可得其解为：paea)(sgn)(21)()(2000ffempmfftyttaattvty（10-74）2000)(21)(ttaattvfempmf由上式右

36、端可见，若这表明由初始相对速度引起的位移大于由于机动加速度引起的位移。则从（10-74）可得出解 反之，若()0fy t2000)(21)(ttaattvfempmf则可得出解 。()0fy t1)(2, 0)(2)(211)(2, 0)(2)(21)(000020000020empmfempmffempmfempmfffaattvaattvttaattvaattvttty若若于是有（10-75）式中，可将最优策略 看成 ， 为 ；令非最优策略为 因为 ，由（10-75）可得出*upma*vema,ppmeemuaavaa21()2fJy t(,)(,)(,)pmepmempemJ aaJ a

37、aJ aa( *, )( *, *)( , *)J uvJ uvJ u v所以鞍点条件满足。即（10-74）无解。事实上，对于（10-76）这样的初始条件范围，追逐者总有可能使脱靶量为零。1)(2100empmfaattv注意，对于（10-76）( )pat00)(2)()(tttvtatafep（10-77）便可做到这一点。这种问题已不是双方对策问题了。例如，只要选择 使 设A为拦截卫星，B为目标卫星。A欲控制自己，使在给定时间内尽可能接近B；B则控制自己，使在此时间内尽可能远离A。例例10-4 近地圆形轨道上的卫星拦截问题A、B两卫星的相对运动可用下面的状态方程表示113262111422

38、5212154635241sinsinsincossincos23coscoscoscos2vTuTxxvvTuuTxxxvvTuuTxxxxxxxxBABABA（10-78）式中， 是两卫星之间的相对距离在直角坐标系上的投影分量； 是卫星运行的角速率； 分别为作用在A、B卫星上的单位质量所受的推力幅值； 是 在直角坐标系中的两个方向角； 是123,x x x,ABT T12,u uAT12,v v 直角坐标系中的两个方向角。BT 性能指标是终端时间的相对距离的平方，即TTfffvvvuuutxtxtxvuJ2121232221,)()()(),(（10-79）对于卫星A，将选 使 尽可能小；

39、对B，则将选 使得 尽可能大。uJvJ1425364512122524121226311(2coscoscoscos)(32cossincossin)(sinsin)ABABABHxxxxTuuTvvxxTuuTvvxTuTv求解过程如下：哈密顿函数 ，共轭方程及其他边界条件可求得为H（10-80）3642551462352212230 （10-81）（10-82）0)(0)(0)()(2)()(2)()(2)(654332211fffffffffttttxttxttxt（10-83）)coscossincos()cossinsincossin()coscossincos()cossinsin

40、cossin(21521421621521412152142162152141vvvvTvHvuvvvTvHuuuuTuHuuuuuTuHBBAA由于 对 连续，双方极值原理可由（10-56）式给出。因为H1212,u u v v02uH02vH452452tan,tanvu由 和 分别可得22uv由此可得（10-84）22uv或由 和 可分别求得01uH01vH252461252461sincostansincostanvvvuuu考虑到（10-84）式，又可得或（10-85）11uv11uv )sincoscoscos()sinsincoscoscos()sincoscoscos()sin

41、sincoscoscos(2152142221621521421221521422216215214212vvvvTvHvvvvvTvHuuuuTuHuuuuuTuHBBAA下面来验证哈密顿函数 对 的二阶导数的符号（10-86）H, u v0sinsincoscoscos0sincoscoscos16215214215214uuuuuuuuu1122,uv uv当 时，只要（10-87）就给出0, 0, 0, 0222212222212vHvHuHuH即满足鞍点条件，所以在满足条件（10-84）时2211*,*vuvu即为双方极值原理的最优策略。)sinsincoscoscos()sinsi

42、ncoscoscos(1621521421216215214212vvvvvTvHvvvvvTuHBA二者具有相同符号，故不满足双方极值原理。当 时，可得到2211,uvuv 10.5 线性二次微分对策线性二次微分对策00( )( ) ,( )eeeeeexA t xB t v x tx00( )( ) ,( )ppppppxA t xB t u xtx考虑追逐、逃逸双方各自的线性状态方程为（10-88）（10-89）式中，下标 代表追逐者（pursuer）和逃逸者（evader）。追逐者利用控制 力图捕获逃逸者，而逃逸者利用控制 力图避免被捕获。这就是说，追逐者要使终端脱靶量最小，而逃逸者则

43、要使它最大。pe、( )u t( )v t)()()()(fefpTTfefptxtxFFtxtx脱靶量用加权二次型给出为（10-90）另一方面，设控制变量服从下面的积分二次约束0ftTpptu R udtE0ftTeetv R vdtE（10-91）（10-92）01( , )()()()()21( )( ) ( )( )( ) ( )2fTTpfefpfeftTTpetJ u vxtx tF F xtx tut Rt u tvt R t v t dt在追逐逃逸过程中，双方都要使用他们能用的一切控制量，因此约束（10-91）、（10-92）应取等式。将（10-90）、（10-91）、（10-

44、92）组合起来可得下面的性能指标（10-93）其中 阵非奇异， 。( )0,( )0peR tR tF)(),()(),()(txtttxttFtxefepfp 方选择 使 达到极小，而 方选择 使 达到极大。上述问题称为线性二次微分对策问题。为了求解此问题，首先从 双方的状态方程获得它们之间的相对运动方程。定义相对运动 为（10-94）p( )u t( , )J u ve( )v t( , )J u vpe、( )x t其中， 是性能指标中的加权阵的因子， 和 分别为 和 的基本解阵，故满足),(ttfp),(ttfe)(tAp)(tAe)(),(),()(),(),(tAttdtttdtA

45、ttdtttdefefepfpfp （10-95）F00( )( ) ( )( ) ( ),( )pex tG t u tG t v tx tx)(),()()(),()(tBttFtGtBttFtGefeepfpp式（10-94）对 求导，并注意到状态方程（10-88）和（10-89）以及（10-94），可得t（10-96）（10-97）式中于是，性能指标可变为011( , )() ()( )( ) ( )( )( ) ( )22ftTTTffpetJ u vxtx tut R t u tvt R t v tdt（10-98）（10-99）1( , , , , )( )( ) ( )( )(

46、 ) ( )2( ) ( )( ) ( )TTpeTpeH x u vtut R t u tvt R t v tG t u tG t v t 下面来求解此线性二次微分对策问题。为此引入哈密顿函数H（10-100）)()()(0)(ffftxtxtxHt由双方极值原理，知共轭方程和横截条件为因为 对 是二次连续可微的，最优解应满足：Huv、0)()()()(0)()()()(tGttRtvvHtGttRtuuHeTeTpTpT)(),(tvtu)()()()()()()()(11ttGtRtvttGtRtuTeeTpp)(tu)(tv由上二式可解出（10-101）故 使H达到极大， 使 达到极小

47、。 确实为极小极大解。H)(tx)(t)()()(txtKt 由于相对运动方程（10-96）、共轭方程（10-100）都是线性的，求解 和 的两点边值问题为线性的，可以采用第五章中的扫描法。令 （10-102）)()()()()(txtKtxtKt)()()()()()()(tvtGtutGtKtxtKep11( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )TTpppeeeK t x tK t G t Rt GtG t Rt Gt K t x t11( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )TTpppeeeK tK t Gt Rt GtG t Rt

48、Gt K tx t将上式两边对 求导t因上式左端为零，且对任意的 均成立，故有11( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )0TTpppeeeK tK t Gt Rt GtG t Rt Gt K t( )x t（10-103）ItKf)(（10-104）由（10-102）， 和横截条件()()fftx t( )( ) ( )tK t x t，故得出（10-100），)()(fTftKtK（10-103）是一个关于 的黎卡提型微分方程。 由 对 连续和 为正定的假设，带终端条件（10-104）的黎卡提微分方程（10-103）有唯一解；且由（10-104）知 故有 。ppeeABAB

49、、 、peRR、( )K tt( )( )TK tKt1111111)(KKGRGGRGKKKdtdKKdtdKTeeeTppp)(11TeeeTpppGRGGRG下面给出 解的解析式。因为( )K t将上式从 到 积分，并注意 ，可得ItKf)(ftdttGtRtGtGtRtGtKtKfttTeeeTpppf)()()()()()()()(1111tItKf)(1上式即为的解析解。111)()()()()()()(dttGtRtGtGtRtGItKfttTeeeTppp注意到 ，于是有（10-105）)()()()()()(11txtKGRtvtxtKGRtuTeeTpp（10-106）将（

50、10-102）代入（10-101），得这样， 成为 的函数，即构成了一种反馈反馈控制控制。*( ),( )u t v t( )x t 下面来验证 确实满足鞍点条件：),(),(),(vuJvuJvuJ*( ),( )u t v t为此先求出 的表达式。注意到（10-96）、（10-103）式( , )J u vxKxxKxKxxKxxdtdTTTT2121212111111()222TTTTTTTTpepepppeeeu Gv GKxx K G uG vxK G R GG R GK x1111112212TTTTTTpppppeeeeeTTpeuR G KxR uR G KxvR G KxR

51、vR G Kxu R uv R v将上式左右两端从 到 积分，并注意到 得0tftItKf)(dttvtRtvtutRtutxtxvuJftteTpTffT0)()()()()()(21)()(21),(00100011111( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )221( ) ( )( )( ) ( ) ( )2( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )fftTTTppttTppptTTTeeeeextK tx tu tRt G K t x tR t u tRt G K t x t dtv tRt G K t x tR t v tRt G K t x t dt（10-10

52、7）显然，当 使上式达到极小，故有)()()()()()(1txtKtGtRtutuTpp),(),(vuJvuJ)()()(21),(000txtKtxvuJT0111 ( )( )( ) ( )( ) ( )2( )( ) ( )ftTTppptTppu tRt G K t x tR t u tRt G K t x t dt)()()()()()(1txtKtGtRtvtvTee当 时，有另一方面，当 时， )()()()()()(1txtKtGtRtutuTpp00001111(, )( )( ) ( ) ( )22( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )ftTtTTTee

53、eeeJ u vxtK tx tv tRt G K t x tR t v tRt G K t x t dt显然，当 时，上式达到极大，故有)()()()()()(1txtKtGtRtvtvTee),(),(vuJvuJ综合上面二种情况，可知 满足鞍点条件，而且最优策略 对应的性能指标为*(,)u v*(,)u v)()()(21000txtKtxJT（10-108） 用导弹（追逐者）拦截空中目标（逃逸者）时，末制导段常用的经典导引律是比例导引。这里将用微分对策理论来推出比例导引律。例10-5 拦截目标的导引律图10-6 拦截问题运动示意图（10-109）pppppafvvreeeeervvfa

54、（10-110）设导弹（ 方）与目标（ 方）的运动方程分别为ep式中， 分别为导弹与目标的位置向量； 分别为导弹与目标的速度向量； 分别为到导弹与目标的控制加速度向量； 分别为导弹与目标的固有加速度，它们是由重力和气动力引起的，通常可认为 。两维情况下导弹与目标的几何关系可用图10-6表示。图中 连线称为视线， 称为视线角。eprr ,epvv ,epaa ,epff ,epffqpe这是一个线性二次微分对策问题。 )()()()(2),(fefpTfefpeptrtrtrtrkaaJdttatactatacftteTeepTpp0)()()()(21考虑性能指标（10-111）333333)

55、()()()(IOtBtBOOIOtAtAepep （10-112） 因为我们仅对相对运动 感兴趣，故可忽略 。定义 ，由（10-109）、（10-110）可得出系统矩阵和控制矩阵为)()(trtreppeff、,pepeperrxxvv利用本节的结果可求解为下：于是3333()()()fpfefItt IttttOI （10-113）因为性能指标（10-108）中 )()()()(21)()()()(23333fefpTfefpfefpTfefptrtrOIkOIktrtrtrtrtrtrk故（10-93）式中的 。根据（10-94）式，相对运动 可表示为33OIkFT( )x t33333

56、3( )()( )( )()( )( )ppeepefpex tFxxr tr tItt IkIOvtv tOIxv记相对位置向量 和相对速度向量 为)()()(, )()()(tvtvtvtrtrtxepep于是333333()( )( )( ) ( )( )()ffItt Ix tx tkIOOIv tk x tv t tt（10-114）由（10-97）可得33333333()( )( )()fpefItt IOG tG tkIOk tt IOII（10-115）（10-116）3313131( )()()1()()()111()3ftfftpffefpeK tIIk tk tck tk tdck ttIcc另外，由式（10-105），可得由（10-106）并利用（10-114）（10-116），得33()() ( )( )()1() 3()() ( )( )()1() 3ffpeppfpeffeepe