第10讲流体动力学基础：质点导数和系统导数、质量守恒与牛顿第二定律

1、yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础1 / 108第三章 流体动力学基础yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础2 / 108本章主要内容本章主要内容 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 流场的若干概念流场的若干概念 质点导数与系统导数质点导数与系统导数 流体运动的基本物理定律及基本方程流体运动的基本物理定律及基本方程 平行直线流断面上的压强关系式平行直线流断面上的压强关系式 定常流动中的机械能关系定常流动中的机械能关系 运动流体与固体壁面间的作用力运动流体与固体壁面间的作用力 层流与湍流层流与湍流yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础3 / 108物质体方法和场方法物质体

2、方法和场方法是从不同是从不同观点出发描述同一流体运动规观点出发描述同一流体运动规律的两种方法，律的两种方法，它们之间必然它们之间必然存在着相互的联系和某种对应存在着相互的联系和某种对应关系。关系。第三节第三节 质点导数与系统导数质点导数与系统导数yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础4 / 108yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础5 / 108yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础6 / 108yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础7 / 108对于在某一时刻（如对于在某一时刻（如t 时刻），时刻）， 占据着流场中某位置（如占据着流场中某位置（如 r 位位置）的流体

3、质点的运动表现，置）的流体质点的运动表现，两种方法两种方法所描述的是同一个客所描述的是同一个客观存在观存在。第三节第三节 质点导数与系统导数质点导数与系统导数yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础8 / 108在经历在经历dt 时间后，原来占据时间后，原来占据r 位置的那个流体质点运动到达位置的那个流体质点运动到达r+dr 的新位置。的新位置。Euler法需要质点的坐标。法需要质点的坐标。Lagrange法不需要质点的坐标法不需要质点的坐标第三节第三节 质点导数与系统导数质点导数与系统导数yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础9 / 108牛顿第二定律的数学表达中，需要牛顿第二定律

4、的数学表达中，需要用到用到同一个流体质点同一个流体质点（或同一个流（或同一个流体系统）的运动物理量对时间的变体系统）的运动物理量对时间的变化率，如何化率，如何追踪到我们研究的质点追踪到我们研究的质点的坐标的坐标是场方法能够应用牛顿第二是场方法能够应用牛顿第二定律的前提。定律的前提。yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础10 / 108一、质点导数一、质点导数yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础11 / 108质点导数质点导数流体质点具有的物理量对时间流体质点具有的物理量对时间的变化率，也称为质点的的变化率，也称为质点的随体导数。随体导数。任一物理量任一物理量 的导数的导数0dd(

5、,)( , , , )limtttt xx yy zzt x y zt yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础12 / 1080d(,)( , , , )limdttt xx yy zzt x y ztt xu t yv t zw t 注意到注意到 2(,)( , , , )()()tt xx yy zzt x y zuvwtOttxyz yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础13 / 10820()()dlimdtuvwtOttxyztt uvwtxyzyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础14 / 108dduvwttxyz物理量物理量 的质点导数表达式的质点导数表达式

6、局部导数局部导数当地导数当地导数位变导数位变导数迁移导数迁移导数由物理量的非定常性产生的由物理量的非定常性产生的由场的不均匀性引起的由场的不均匀性引起的物理量物理量 的质点导数表达式的质点导数表达式 注意：注意：物理量物理量 可以可以是标量、矢量或张量。是标量、矢量或张量。 yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础15 / 108yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础16 / 108yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础17 / 108二、系统导数二、系统导数yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础18 / 108系统导数系统导数流体系统流体系统所具有的物理量所具有的物理量

7、随时随时间的变化率。间的变化率。系统系统是一团流体质点的集合；在运动过是一团流体质点的集合；在运动过程中，系统始终包含着确定的流体质点，程中，系统始终包含着确定的流体质点，有确定的质量，而这一团流体的表面常常有确定的质量，而这一团流体的表面常常会不断地变形。会不断地变形。 yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础19 / 108控制体控制体流场中某一确定的空间区域，这个区流场中某一确定的空间区域，这个区域的域的周界称为控制面。周界称为控制面。OXZYOZXYIIIIIIInIvnv(a)(b)OXZYOZXYIIIIInIvnv(a)(b)虚线为系统虚线为系统 实线为控制体实线为控制体yy

8、yy-M-d流体动力学基础流体动力学基础20 / 108OXZYOZXYIIIIIIInIvnv(a)(b)OXZYOZXYIIIIInIvnv(a)(b)设设 是定义在体积内单位体积所具是定义在体积内单位体积所具有的物理量，有的物理量，,tryyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础21 / 108OXZYOZXYIIIIIIInIvnv(a)(b)OXZYOZXYIIIIInIvnv(a)(b)则体积则体积V内该物理量的总量为内该物理量的总量为 。dV Vyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础22 / 108OXZYOZXYIIIIIIInIvnv(a)(b)OXZYOZXYIII

9、IInIvnv(a)(b)系统占有的空间在不断改变它的大小和形状系统占有的空间在不断改变它的大小和形状 也随时间而变。也随时间而变。,dVtVryyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础23 / 108OXZYOZXYIIIIIIInIvnv(a)(b)OXZYOZXYIIIIInIvnv(a)(b)此积分对时间的导数此积分对时间的导数 即为即为系统导数。系统导数。dddV Vtyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础24 / 108根据导数的定义，有根据导数的定义，有 ddd1,d,dlimVV ttV tt0 Vt=ttVtVt rr（a）V tt V t+OXZYOZXYIIIII

10、nIvnv(a)(b)yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础25 / 108 + + + +ddd1dd1dd1ddlimlimlimVtttt0tttt0ttttt0 Vt= V Vt V Vt V Vt （b）yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础26 / 108 + +ddd1dd1ddlimlimVtttt0ttttt0 Vt V Vt V Vt + +1dddlimtttt0V V Vt Vt （c）式（式（b b）右端第一项可表示为）右端第一项可表示为（b）yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础27 / 108 + +ddd1dd1ddlimlimVtttt0tt

11、ttt0 Vt V Vt V Vt 式（式（b b）中第二项积分中的前一项可写为）中第二项积分中的前一项可写为21ddlimttt0nS VtvS （d）2S表示控制面中流出部分的面积表示控制面中流出部分的面积 （b）yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础28 / 108式（式（b）中第二项积分中的后一项可表示为）中第二项积分中的后一项可表示为11ddlimnSttt0 VvSt （e）2S表示控制面中流出部分的面积表示控制面中流出部分的面积 + +ddd1dd1ddlimlimVtttt0ttttt0 Vt V Vt V Vt （b）yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础29 /

12、 108211dddddlimttttt0nnnSSS V VtvSvS =vS 将式（将式（d）和式（）和式（e）合并，并注意）合并，并注意到到 ， 是整个控制体的面积，于是式是整个控制体的面积，于是式（b）右端第二项成为）右端第二项成为 12SSSS（f）yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础30 / 108将式（将式（c）和式（）和式（f）代入（）代入（b）中，得）中，得dddddVnVS Vt VvSt这就是流体系统内物理量对时间的随体导数公这就是流体系统内物理量对时间的随体导数公式式, ,也称为输运定理（或输运公式）也称为输运定理（或输运公式） yyyy-M-d流体动力学基础流

13、体动力学基础31 / 108上式即是上式即是按拉格朗日法求系统内物理量的时间变化按拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率率转换为按欧拉法计算的公式。转换为按欧拉法计算的公式。系统内部物理量的时间变化率由两部分组成：系统内部物理量的时间变化率由两部分组成：控制体内控制体内 对对时间的变化率；时间的变化率；单位时间内经过控制面单位时间内经过控制面 的净通量。的净通量。dddddnVVS V VvSttyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础32 / 108第四节第四节 流体运动的基本流体运动的基本物理定律及基本方程物理定律及基本方程yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础33 / 108一、

14、连续性方程（质量守恒）一、连续性方程（质量守恒）yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础34 / 108分析分析该微元六面体内该微元六面体内 质量质量的变化。的变化。速度分量为速度分量为u、v、wyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础35 / 108在在 x 轴方向轴方向，dtdd()()d d d22xuxuy z txx由表面由表面ABCD流出的质量是流出的质量是 dd()()d d d22xuxuy z txxx 轴方向轴方向，dt时间内通过表面时间内通过表面 EFGH 流入的质量是流入的质量是 yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础36 / 108在在dt 时间内在时间

15、内在x方向方向流入的质量为流入的质量为 d d d dux y z tx同理，同理，在在 y 方向方向和和 z 方向方向上上 dt 时间通过相时间通过相应表面净流入的质量分别为应表面净流入的质量分别为d d d dvx y z tyd d d dwx y z tzyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础37 / 108dt 时间通过该微元六面体时间通过该微元六面体所有方向所有方向净流入的质量净流入的质量为为 +d d d duvwx y z txyzyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础38 / 108在在dt 时间内，因控制体内密度变化引起时间内，因控制体内密度变化引起的的总质量的

16、增加量总质量的增加量为为 d d d dx y z ttyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础39 / 108根据质量守恒定律得根据质量守恒定律得+d d d dd d d duvwx y z tx y z txyzt两边同除以两边同除以d d d dx y z t后即可后即可得得 0uvwtxyz或或d0duvwtxyz微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程意义：表达了任何存在的流体流动必须满足的质量守恒条件意义：表达了任何存在的流体流动必须满足的质量守恒条件yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础40 / 108几种特殊情形下的简化形式几种特殊情形下的简化形式 （1 1）定常流

17、动，非稳态项为零，只剩：）定常流动，非稳态项为零，只剩： 0uvwxyz0uvwtxyzd0duvwtxyz（2）不可压缩流体，密度随着时间和空间均不变化）不可压缩流体，密度随着时间和空间均不变化d0dt0uvwxyzyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础41 / 108在有限通道中作定常流动的情况，质量守恒可用简单的形在有限通道中作定常流动的情况，质量守恒可用简单的形式表达，而不必采用微分方程的形式。式表达，而不必采用微分方程的形式。流体做定常流动时，流体做定常流动时，流场内的各物理量均不随时间改变流场内的各物理量均不随时间改变，则则1 断面断面上单位时间内流入的流体质量应等于上单位时

18、间内流入的流体质量应等于2 断面断面流出流出的流体质量，的流体质量， 即即 沿流道的上下游两个过流断面沿流道的上下游两个过流断面12()()uAuAC若是不可压缩的均质流体，则连续性方程为：若是不可压缩的均质流体，则连续性方程为：1122u Au ACyyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础42 / 108二、运动微分方程二、运动微分方程（牛顿第二定律）（牛顿第二定律）yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础43 / 108流体的运动与其所受外力之间的关系，流体的运动与其所受外力之间的关系，应遵循动量守恒定应遵循动量守恒定律律牛顿第二定律。牛顿第二定律的数学表达式即为运动牛顿第二定律。

19、牛顿第二定律的数学表达式即为运动方程。方程。1、理想流体的运动微分方程、理想流体的运动微分方程理想流体理想流体：流体的粘性被忽略不计流体。：流体的粘性被忽略不计流体。在运动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，在运动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为它的各边长度分别为dx、dy和和dz，如图所示；，如图所示；理想流体运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上理想流体运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。的外力只有质量力和压强。微分方程的导出微分方程的导出yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础44 / 108微元六面体内理想流体

20、微团微元六面体内理想流体微团的受力（的受力（y方向）方向） 假设假设六面体形心的坐标六面体形心的坐标为为x、y、z，速度、压强分别为速度、压强分别为u、v、w、p，单位质量力为单位质量力为 f . 先分析先分析 y 方向的运动方向的运动 左右两个平面中心点处的压左右两个平面中心点处的压强分别为强分别为d2p ypyd2pypy及及作用在流体微团上的质量力在作用在流体微团上的质量力在 y 方向的分量方向的分量 d d dyfx y z沿沿y方向牛顿第二定律的表达式为方向牛顿第二定律的表达式为 dddd d dd dd dd d d22dyp yp yvfx y zpz xpz xx y zyyt

21、yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础45 / 108dddd d dd dd dd d d22dyp yp yvfx y zpz xpz xx y zyyt将上式各项除以流体微团的质量将上式各项除以流体微团的质量 d d dx y z1ddpvfyty得到得到 y 方向的运动微分方程方向的运动微分方程类似地，在类似地，在 x 和和 z 两个方向上，分别有两个方向上，分别有1ddpufxtx1ddpwfztz理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础46 / 108在一般情况下，作用在流体上的质量力在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、 f

22、y 和和 fz 是已知是已知的，对理想不可压缩流体其密度的，对理想不可压缩流体其密度为一常数。在这种情况为一常数。在这种情况下，方程组中有四个未知数下，方程组中有四个未知数u、v、w和和p，而方程仅有三个，而方程仅有三个，为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭，为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭，从理论上提供了求解的可能性。从理论上提供了求解的可能性。 方程组的封闭性问题方程组的封闭性问题yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础47 / 1082、实际流体的运动微分方程、实际流体的运动微分方程实际流体运动时，作用于微元六面体各个面上的应力不仅实际流体运动时，作用于微元六面体各个面上的应力不仅有法向应力，有法向应力，还有由于粘性产生的切向应力还有由于粘性产生的切向应力。yyyy-M-d流体动力学基础流体动力学基础48 / 108根据牛顿第二定律，写出沿根据牛顿第二定律，写出沿y y方向的运动微分方程方向的运动微分方程 dd d dddd d dd d2ddd dd d22ddd dd d22dd d2yyyyyxyzyxyzyyyxyyyxyzy