数值分析列主元高斯消去顺序高斯平方根法追赶法

1、课题名称：课题一 解线性方程组的直接方法解决的问题：给定三个不同类型的线性方程组，用适当的直接法求解。采用的数值方法：对第一个普通的线性方程组，采用了高斯顺序消去法和高斯列主元消去法。对第二个正定线性方程组，采用了平方根法。对第三个三对角线性方程组，采用了追赶法。算法程序：(1) 普通的线性方程组顺序消去法#include<stdio.h>#include<math.h>int main(void) float A1010= 4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0, 8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0, 4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1, 0,-

2、2,1,5,-1,3,-1,1,9,4, -4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3, 8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5, 0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1, 16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2, 4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4, 0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1 ; float b10= 5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21; float x10= 0; float Aik,S,temp; int i,j,k; int size=10; for(k=0; k<size-1; k+) if(!Ak

3、k) return -1; for(i=k+1; i<size; i+) Aik=Aik/Akk; for(j=k; j<size; j+) Aij=Aij-Aik*Akj; bi=bi-Aik*bk; printf("An"); for(i=0; i<size; i+) for(j=0; j<size; j+) printf("%f ",Aij); printf("n"); printf("bn"); for(i=0; i<size; i+) printf("%f &quo

4、t;,bi); printf("nn"); xsize-1=bsize-1/Asize-1size-1; for(k=size-2; k>=0; k-) S=bk; for(j=k+1; j<size; j+) S=S-Akj*xj; xk=S/Akk; printf("x=n"); for(i=0; i<size; i+) printf("%f ",xi); return 0;列主元消去法#include<stdio.h>#include<math.h>int main(void) floa

5、t A1010= 4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0, 8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0, 4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1, 0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4, -4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3, 8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5, 0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1, 16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2, 4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4, 0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1 ; float b10= 5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21; float

6、x10= 0; float Aik,S,temp; int i,j,k; float max; int col; int size=10; for(k=0; k<size-1; k+) max=fabs(Akk); col=k; for(i=k; i<size; i+) if(max<fabs(Aik) max=fabs(Aik); col=i; for(j=k; j<size; j+) temp=Acolj; Acolj=Akj; Akj=temp; temp=bcol; bcol=bk; bk=temp; if(!Akk) return -1; for(i=k+1;

7、 i<size; i+) Aik=Aik/Akk; for(j=k; j<size; j+) Aij=Aij-Aik*Akj; bi=bi-Aik*bk; printf("An"); for(i=0; i<size; i+) for(j=0; j<size; j+) printf("%f ",Aij); printf("n"); printf("bn"); for(i=0; i<size; i+) printf("%f ",bi); printf("nn&

8、quot;); xsize-1=bsize-1/Asize-1size-1; for(k=size-2; k>=0; k-) S=bk; for(j=k+1; j<size; j+) S=S-Akj*xj; xk=S/Akk; printf("x=n"); for(i=0; i<size; i+) printf("%f ",xi); return 0;(2) 对称正定线性方程组平方根法：#include <stdio.h>#include <math.h>#define n 8int main(void) flo

9、at A88= 4,2,-4,0,2,4,0,0, 2,2,-1,-2,1,3,2,0, -4,-1,14,1,-8,-3,5,6, 0,-2,1,6,-1,-4,-3,3, 2,1,-8,-1,22,4,-10,-3, 4,3,-3,-4,4,11,1,-4, 0,2,5,-3,-10,1,14,2, 0,0,6,3,-3,-4,2,19 ; float g88= 0; float b8= 0,-6,6,23,11,-22,-15,45; float x8= 0; float y8= 0; int k,m,i,sq; for(k=0; k<n; k+) float p=0,q=0,s=

10、0; for(m=0; m<=k-1; m+) p=p+Akm*Akm; gkk=sqrt(Akk-p); Akk=gkk; for(i=k+1; i<n; i+) q=0; for(m=0; m<=k-1; m+) q=q+Aim*Akm; gik=(Aik-q)/Akk; Aik=gik; s=0; for(m=0; m<=k-1; m+) s=s+Akm*ym; yk=(bk-s)/Akk; xn-1=yn-1/An-1n-1; for(k=n-2; k>=0; k-) float sum=0; for(m=k+1; m<n; m+) sum=sum+

11、Amk*xm; xk=(yk-sum)/Akk; for(sq=0; sq<n; sq+) printf("%f ",xsq); return 0;(3)三对角线性方程组追赶法#include <stdio.h>#include <math.h>#define n 10int main(void) float a10=4,4,4,4,4,4,4,4,4,4; float c9=-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1; float d9=-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1; float b10=7,5,-13,2,

12、6,-12,14,-4,5,-5; float x10=0; float y10=0; float arf10=0; float bt9=0; arf0=a0; int i; for(i=0;i<n-1;i+) bti=ci/arfi; arfi+1=ai+1-di+1*bti; /printf("%f %f n",bti,arfi+1); y0=b0/arf0; /printf("%fn",y0); for(i=1;i<n;i+) yi=(bi-di*yi-1)/arfi; /printf("%fn",y1); xn-1

13、=yn-1; for(i=n-2;i>=0;i-) xi=yi-bti*xi+1; for(i=0;i<n;i+) printf("%lf ",xi); return 0;数值结果：(1) 普通的线性方程组顺序消去法列主元消去法(2) 对称正定线性方程组平方根法：(3)三对角线性方程组追赶法：对实验计算结果的讨论和分析：(1) 普通的线性方程组顺序消去法x1x10的绝对误差：0.000001，-0.000001,0.000001,0,0.000001,0,0.000002,0,0,0x1x10的相对误差：0.000001，0.000001,-1,0,0.0000005,0,0.00000067,0,0,0误差很小，基本可以忽略。高斯消去法由消元和回代两个过程组成。消元过程就是将原增广矩阵A,b中矩阵A的部分约化为上三角矩阵，然后就可以进行回代过程，从最后一个方程开始，依次求出xn，xn-1一直到x1.到这里，顺序高斯消去法完成。列主元消去法经过计算，列主元高斯消去法的误差也很小，它是高斯消去法的改进，因为顺序消去法的主元素如果等于0，消元过程就无法进行，如果它很小，也会导致它做除数的误差会增加，导致精度下降，因此在消元过程中选择绝对值较大的元素作为主元素是必要的。这就是列主元消去法。(2)