第五章数字特征和特征函数(1,2)

1、 第五章第五章 数字特征数字特征和特征函数和特征函数 一、数学期望的定义一、数学期望的定义 先看先看一个例子，引出离散型随机变量数学期望值的定义。一个例子，引出离散型随机变量数学期望值的定义。 假设假设有三个射手，他们射击命中目标的环数分别为有三个射手，他们射击命中目标的环数分别为离散型离散型试比较谁的射击技术更好？试比较谁的射击技术更好？随机变量随机变量 X X，Y Y，Z Z，它它们们的概率分布的概率分布分别分别为为：由上述讨论的启发，我们引出离散型随机变量数学期望的定义。由上述讨论的启发，我们引出离散型随机变量数学期望的定义。 9 . 82 . 0*105 . 0*93 . 0*89 .

2、 72 . 0*95 . 0*83 . 0*7XP8973.02.05.0YP89103.02.05.0ZP89103.02.05.02 . 95 . 0*102 . 0*93 . 0*8即平均值的定义。不但要考虑其取的值，还要考虑其概率。即平均值的定义。不但要考虑其取的值，还要考虑其概率。 定义定义 5- 5-1 1 设设 X X 是离散型随机变量，其概率分布为是离散型随机变量，其概率分布为,.,.,2, 1 ,nkpxXPkk若级数若级数绝对收敛，则称该级数的和为随机变量绝对收敛，则称该级数的和为随机变量kkkpx1X X 的的数学期望数学期望（mathematical expectati

3、onmathematical expectation）（或均值（或均值（mean valuemean value），），记作记作，即即EXkkkpxEX1若级数若级数不是绝对收敛，即不是绝对收敛，即kkkpx1则称则称随机变量随机变量 X X 的数学期望不存在。的数学期望不存在。kkkpx |1 随机变量随机变量 X X 的数学期望反映了的数学期望反映了 X X 取值的平均值，它由取值的平均值，它由分布完全决定。当分布给定时，分布完全决定。当分布给定时，数学期望为一数值（常数）数学期望为一数值（常数）。 我们假定级数绝对收我们假定级数绝对收敛，因而保证了级数的和与求和的敛，因而保证了级数的和与

4、求和的次序无关。次序无关。 XP1x2x.nx.1p.2pnp. 例例 5- 5-1 1 若随机变量若随机变量 X X 服从服从 0- 0-1 1 分布，试求它的数学分布，试求它的数学pppEX1)1 (0 解解 0-0-1 1 分布分布的分布律为：的分布律为： 0 1 0 1p1pP期望期望 EXEX。故有：故有：服从服从 0- 0-1 1 分布分布的的随机变量随机变量 X X 的的数学数学期望为期望为 ： p p 。 例例 5- 5-2 2 若随机变量若随机变量 X X 服从服从参数为参数为的普阿松分布，即的普阿松分布，即ekkkXkpEXkkk11!)( 解解 因为因为参数为参数为的普阿

5、松分布为：的普阿松分布为：XP（），），试求试求它的数学期望它的数学期望 EXEX。)0,.(1 ,0 !)(ke kkXPk于是：于是：11)!1(kkke 0 1 2 0 1 2 k k P.e kk !e !00e ! 11e !22 例例 5- 5-3 3 若随机变量若随机变量 X X 服从参数为服从参数为 p p 的几何分布，即的几何分布，即11)1 (kkppkEX 解解 X X 服从参数为服从参数为 p p 的几何分布的几何分布：分布律为：分布律为：X XG G（p p），），求求 X X 的数的数学期望学期望 EXEX。 1p0 ,.1 , 0 )1 ()(1kppkXPpkk

6、 1 2 3 1 2 3 k k P.ppk 1)1 (ppp)1 ( pp2)1 ( 11)1 (kkpkp由于由于1| 110 xxxkk两边求导：两边求导： )11(201xkxkk上式令上式令 x=1-p x=1-p 即即2111)1 (ppkkk所以：所以：pppkEXkk1)1 (11故有：故有： 例例 5- 5-4 4 有一游戏，在一袋中有形状大小完全一样的有一游戏，在一袋中有形状大小完全一样的2020个个)10,20,10( HX球，其中红、白球各球，其中红、白球各1010个，记红球为个，记红球为1010分，白球为分，白球为5 5分。游戏分。游戏的规则为：某人从袋中随机地抽取的

7、规则为：某人从袋中随机地抽取1010个球，并且将个球，并且将 10 10个球的个球的分值相加，根据相加的分值由以下的表进行奖罚：分值相加，根据相加的分值由以下的表进行奖罚：其中三项负的表示应罚的金额。其中三项负的表示应罚的金额。分值分值 100 95 90 85 80 75 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 70 65 60 55 50奖（元）奖（元） 50 30 20 10 -3 -5 50 30 20 10 -3 -5 -3 10 20 30 50 -3 10 20 30 50 请问：你认为这样的游戏方式对他有利吗？试分析说明。请问：你认为这样的游戏方式对

8、他有利吗？试分析说明。设设 X X 表示抽取表示抽取1010个球中红球的个数，显然个球中红球的个数，显然 X X 服从超几何分服从超几何分布，即布，即10,.,1 , 0 )(kCCCkXPnNknMNkM则有则有经计算得经计算得%00054. 0)10()0(10200101020010CCCXPXP%054. 0)9() 1(10201101020110CCCXPXP)10,20,10( HX分值分值 100 95 90 85 80 75 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 70 65 60 55 50奖（元）奖（元） 50 30 20 10 -3 -5 5

9、0 30 20 10 -3 -5 -3 10 20 30 50 -3 10 20 30 50设设 X X 表示抽取表示抽取1010个球中红球的个数，显然个球中红球的个数，显然 X X 服从超几何分服从超几何分布，即布，即10,.,1 , 0 )(kCCCkXPnNknMNkM则有则有%054. 0)9() 1(XPXP%096. 1)8()2(XPXP%794. 7)7()3(XPXP%87.23)6()4(XPXP%37.34)5(XP%00054. 0)10()0(XPXP X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10%37.34P%7

10、94.7%794.7%096. 1%096. 1%054.0%054.0%87.23%87.23%00054. 0%00054. 0)10,20,10( HX分值分值 100 95 90 85 80 75 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 70 65 60 55 50奖（元）奖（元） 50 30 20 10 -3 -5 50 30 20 10 -3 -5 -3 10 20 30 50 -3 10 20 30 50设设 X X 表示抽取表示抽取1010个球中红球的个数，显然个球中红球的个数，显然 X X 服从超几何分服从超几何分布，即布，即则有红球的个数则有红球

11、的个数 X X 的分布：的分布： X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10%37.34P%794.7%794.7%096. 1%096. 1%054.0%054.0%87.23%87.23%00054. 0%00054. 0相应的分值分布为：相应的分值分布为：50556065707580859095100分值分值奖金奖金5030201035310203050 再设再设 Y Y 表示每次游戏所奖的金额数（单位为元），表示每次游戏所奖的金额数（单位为元），所以所以 Y 的概率分布为：的概率分布为： Y -5 -3 10 20 30 50 Y

12、 -5 -3 10 20 30 50 P P 34.37% 47.74% 15.59% 2.191% 0.108% 0.001%34.37% 47.74% 15.59% 2.191% 0.108% 0.001%则由数学期望的定义可得则由数学期望的定义可得 元12. 1EX 假设假设 X X 是一个连续型随机变量，其密度函数是一个连续型随机变量，其密度函数ni,.,2, 1取分点取分点)(xp，记记110.nxxx则则 X X 落在区间落在区间,1iiixxx中的概率为中的概率为 ,(1iixx当当xixi充分小时充分小时, ,就有就有11)(),(iiiidxxpxxXPni,.,2, 1此时

13、，此时，XX的的概率分布为概率分布为iiiixxpxxXP)(),(1XP1x0 x.nx00)(xxp.11)(xxpnnxxp)(离散型随机变量离散型随机变量XX可以看做是可以看做是X X的一种近似，而这个离散型的一种近似，而这个离散型随随机量机量XX的数学期望为的数学期望为：niiiixxpxEX0)(当分点愈密时，即当分点愈密时，即00inixMax这种近似也就愈好，故这种近似也就愈好，故 dxxxpxxpxniiiiMaxni)()(lim000 xy)(xpyix1ix1x 定义定义 5- 5-2 2 设设 X 为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为)(xp若

14、积分若积分绝对收敛，绝对收敛，即即dxxpx)(为随机变量为随机变量 X X 的的数学期望数学期望即即EX若若积分积分不是绝对收敛，即不是绝对收敛，即则称则称随机变量随机变量 X X 的数学期望不存在。的数学期望不存在。 与与离散型随机变量离散型随机变量一样，连续型一样，连续型随机变量随机变量 X X 的数学期的数学期则称则称dxxpx| )(|dxxpx)(dxxpxEX)(dxxpx| )(|dxxpx)(望反映了望反映了 X X 取值的平均值，它由分布完全决定。当分布给取值的平均值，它由分布完全决定。当分布给定时，定时，数学期望为一数值（常数）数学期望为一数值（常数）。 （mathema

15、tical expectationmathematical expectation）。记作记作: : 例例5-5-5 5 设设 X 服从均匀分布，即服从均匀分布，即XUa，b，试求试求 XdxxxpEX)( 解解 均匀分布均匀分布 XUa，b的密度函数为：的密度函数为：的数学期望。的数学期望。 均匀分布的数学期望，正好是区间均匀分布的数学期望，正好是区间a a， b b的中点。的中点。 01)(abxpbxa其它x0ab)(xpy ab 1 故有：故有：dxabxba1abxab2122ba 例例 5- 5-6 6 设设 X 服从参数为服从参数为的指数分布，即的指数分布，即XExp（），），

16、解解 X X 的密度函数为：的密度函数为：试求试求 X 的数学的数学期望期望 EXEX。dxxxpEX)(xdex000dxexexx0)(xexp0 x0 xx0y)(xpy 故有：故有：dxexx00dxex01xe1 例例 5-7 设设 X 服从正态分布，即服从正态分布，即),(2NX 解解 试求试求 X 的数学的数学期望期望 EXEX。dxexdxxxpEXx222)(21)(令令则,xydyeyEXy2221）（dyedyeyyy22222121 0二、二、 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 对于随机变量对于随机变量 X X 的函数的函数)( XfY 也是随机变量，则也是

17、随机变量，则也可利用定义来求数学期望也可利用定义来求数学期望。 但是，这样做往往比较烦琐。我们可以应用下列的定理，但是，这样做往往比较烦琐。我们可以应用下列的定理，直接利用直接利用 X X 的概率分布或密度函数去求出的概率分布或密度函数去求出从而避免了求从而避免了求解解 Y Yf f（X X）的分布的过程。的分布的过程。 )( XEfEY 定理定理 5- 5-1 1 设设 Y Yf f（X X）为随机变量为随机变量 X X 的函数，且的函数，且f f（X X）的数学期望存在的数学期望存在： （1 1）若）若 X X 为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为则则 （2 2）设

18、）设 X X 为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为 p p（x x），）， 若若 Y = fY = f（X X）也是连续型随机变量，则也是连续型随机变量，则,.,.,2, 1 ,nkpxXPkkkkkpxfXfEEY1)()(dxxpxfXfEEY)()()( 定理定理 5- 5-1 1 设设 Y Yf f（X X）为随机变量为随机变量 X X 的函数，且的函数，且f f（X X）的数学期望存在的数学期望存在： （1 1）若）若 X X 为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为则则 （2 2）设）设 X X 为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机

19、变量，其密度函数为p p（x x），）， 若若 Y = fY = f（X X）也是连续型随机变量，则也是连续型随机变量，则,.,.,2, 1 ,nkpxXPkkkkkpxfXfEEY1)()(dxxpxfXfEEY)()()( 证明（证明（1） 因为因为 X X 和和 Y Y 的分布律为：的分布律为：XP1x2x.nx.1p2pnp.)(XfY P)(1xf)(2xf.)(nxf.1p2pnp. 显然有：显然有：证明（证明（2） 略。略。kkkpxfXfEEY1)()( 对于随机向量（对于随机向量（X X， Y Y）的函数的函数 Z Zf f（X X，Y Y）, ,我们有以我们有以下类似的结论

20、。下类似的结论。 定理定理 5- 5-2 2 设设 Z Zf f（X X，Y Y）为随机向量（为随机向量（X X，Y Y）的函数，的函数，且且存在存在： （1 1）若（）若（X X，Y Y）为离散型随机向量，其联合概率分布为为离散型随机向量，其联合概率分布为则则（2 2）若（）若（X X，Y Y）为连续型随机向量，其联合密度函数为为连续型随机向量，其联合密度函数为则则 定理定理 5- 5-1 1和和 定理定理 5- 5-2 2 在理论上和实用上都有重大意义，在理论上和实用上都有重大意义，),(YXfEijjipyYxXP),(,.,.,2,1mi ,.,.,2,1nj ijijjipyxfYX

21、fEEZ11),(),(),(yxpdxdyyxpyxfYXfEEZ),(),(),( 这里我们举一些例子说明其应用。这里我们举一些例子说明其应用。 证明证明 略。略。 例例5-5-8 8 设随机变量设随机变量 X X 服从参数为服从参数为 的普阿松分布，即的普阿松分布，即)(PX 解解 由定理由定理 5- 5-1 1（1 1）可知，可知， 试求试求2X的数学期望的数学期望 : : .2EX)(022kXPkEXkekkkk!02ekkkk!12ekkkk1)!1( 1) 1()!1()!1() 1(1111ekekkkkkk) 1( 例例 5- 5-9 9 设随机变量设随机变量 X X 服从

22、参数为服从参数为 p p 的几何分布，即的几何分布，即)(GX 解解 X X 的概率分布为的概率分布为: : 试求试求2X的数学期望的数学期望 : : .2EX,.2 , 1 )1 ()(1kppkXPk由定理由定理 5- 5-1 1（1 1）可知，可知， 1121122)1()1()(kkkkpkpppkXE2111)1 (ppkkk再由例再由例 5- 5-3 3 可知，可知， 即即 211)1 (pppkkk两边对两边对 p p 求导，得求导，得 2311212) 1()1 (pppkkk即即 31122)1 (pppkkk从而从而 222ppEX 例例 5- 5-10 设设 X 服从均匀

23、分布，即服从均匀分布，即 ,baUX 解解 由定理由定理 5- 5-1 1（2 2）可知，可知， 试求试求2X的数学期望的数学期望 : : .2EXdxxpxXE)()(22dxabxba12abxab313322baba 例例 5- 5-11 设设 X 服从参数为服从参数为的指数分布，即的指数分布，即 )(ExpX 解解 由定理由定理 5- 5-1 1（2 2）可知，可知， 试求试求2X的数学期望的数学期望 : : .2EXdxxpxXE)()(22dxexx02)(02xedx2002dxexexxxdxexx0222 例例 5- 5-12 设（设（X， Y）的联合概率分布为的联合概率分布

24、为 解解试求试求).(XYE123XY126/19/118/19/13/19/22131)(ijijjipyxXYE181)31 (91)21 (61)11 (91)32(92)22(31)12(925 例例 5- 5-13 设随机变量设随机变量 X X，Y Y 相互独立，且均服从相互独立，且均服从 解解 因为因为且且 X X， Y Y 独立，独立，) 1 , 0(N).(22YXE)()(),(ypxpyxpYX分布，试求分布，试求),1 , 0(),1 , 0(NYNX则（则（X X， Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为: :)(21222222212121yxyxeee则则dxdy

25、yxpYXEyx),()(2222 dxdyeyxYX)(21222221 rdrddxdyryrxsincosrdrerdr220022122 例例 5- 5-14 14 设某种商品每周的需求量设某种商品每周的需求量X X是服从区间是服从区间1010，3030上均匀分布的随机变量，上均匀分布的随机变量， 而经销商店的进货数量为而经销商店的进货数量为1010，3030中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500500元；若供大于元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损求则削价处理，每处理一单位商品亏损100100元；若供不应求，则元；若供不应求，

26、则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300300元。为使商店元。为使商店所获利润期望值不少于所获利润期望值不少于92809280元，试确定最少进货量。元，试确定最少进货量。 解解 设进货量为设进货量为 a a，10 a 3010 a 30，且用且用 Y Y 表示利润，表示利润，则则显然显然 Y 为为 X 的函数，记的函数，记Yf（X），）， 从而期望利润为从而期望利润为 dxxpxfXfEEYX)()()(100)(500300)(500XaXaXaY30 XaaX 10aXaXY10060020030030 XaaX 10dxxf201)(301

27、0dxaxdxaxaa3010)200300(201)100600(20152503505.72aa 例例 5- 5-14 14 设某种商品每周的需求量设某种商品每周的需求量X X是服从区间是服从区间1010，3030上均匀分布的随机变量，上均匀分布的随机变量， 而经销商店的进货数量为而经销商店的进货数量为1010，3030中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500500元；若供大于元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损求则削价处理，每处理一单位商品亏损100100元；若供不应求，则元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利可

28、从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300300元。为使商店元。为使商店所获利润期望值不少于所获利润期望值不少于92809280元，试确定最少进货量。元，试确定最少进货量。 解解 设进货量为设进货量为 a a，10 a 3010 a 30，且用且用 Y Y 表示利润，表示利润，则则为使商店所获利润期望值不少于为使商店所获利润期望值不少于92809280元元，有：，有：52503505 . 72aa)(XfEEY 928052503505 . 72aa即：即：040303505 . 72aa解不等式得：解不等式得：263220 a最少进货量最少进货量为为 21 21 单位。单位。三、三、 数学

29、期望的性质数学期望的性质 , cEc 随机变量的数学期望具有下述基本性质，其中假设性质随机变量的数学期望具有下述基本性质，其中假设性质中的数学期望均存在。中的数学期望均存在。 性质性质 5- 5-1 1 设设 c c 为常数，则为常数，则 证明证明 第一式中的常数第一式中的常数 c c 可看做特殊的随机变量，即可看做特殊的随机变量，即X cX c， 则其概率分布为则其概率分布为P P（X Xc c）1 1，从而从而 ccXcPEc)(第二式仅证离散型情形第二式仅证离散型情形 第三式仅证连续型情形第三式仅证连续型情形 性质性质5-5-1 1可概括为：可概括为：cEXpcpxpcxcXEiiiii

30、iii)()(cEXdxxxpcdxxcxpcXE)()()(, ,其中其中a a，b b，c c为常数。为常数。 caEXcaXE )(,)(cEXcXEcEXcXE)(EYEXYXE)( 性质性质 5- 5-2 2 证明证明 （仅证离散型情形（仅证离散型情形 ）ijijjipyxYXE)()(ijijjijijipypx)()(ijijjijijipypxjijiiipypxEYEX 性质性质 5- 5-2 2 可推广为：可推广为： niiniiEXXE11)(由归纳法易证。更一般地，由归纳法易证。更一般地， niiiniiiEXcXcE11)(其中，其中， cici， i i1 1， ，

31、 n n 为常数。为常数。 成立吗？思考EYEXYXE)(EYEXXYE)( 性质性质 5- 5-3 3 若若 X X 与与 Y Y 相互独立，则相互独立，则 证明证明 （仅证连续型情形（仅证连续型情形 ） dxdyyxxyfXYE),()(性质性质 5- 5-3 3 可推广为：若可推广为：若 X X1 1，X X2 2，X Xn n 相互独立，则相互独立，则 nnEXEXEXXXXE.).(2121由归纳法易证。略由归纳法易证。略性质性质 5-1 5-1，2 2，3 3 及其推广提供了求数学期望的方法。及其推广提供了求数学期望的方法。 dxdyyfxxyfYX)()(dyyyfdxxxfYX

32、)()(EYEX)()(| )(|222YEXEXYE定理定理 5- 5-3 3 （柯西（柯西施互茨（施互茨（CauchyCauchySchwarzSchwarz）不等式）不等式） 证明证明 对任意的实数对任意的实数 t t， 考虑考虑 )2()(2222YtXYXtEYtXE)()(2)(222YEXYtEXEt由于对于任意的实数由于对于任意的实数 t t 恒有恒有 0)(2 YtXE即即0)()(2)(222YEXYtEXEt故判别式故判别式 0 0， 即即0)()(4| )(|4222YEXEXYE从而从而 )()(| )(|222YEXEXYE 例例 5- 5-15 15 一民航机场的

33、送客汽车载有一民航机场的送客汽车载有2020位旅客，自机场开位旅客，自机场开出，沿途有出，沿途有1010个车站。如到达一个车站没有旅客下车，就不停个车站。如到达一个车站没有旅客下车，就不停车。以车。以 X X 表示停车次数，求表示停车次数，求 EXEX（假设每个旅客在各个车站下假设每个旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）。车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）。 解解 设设01iX10,.,2, 1i第第i i个车站有旅客下车个车站有旅客下车 第第i i个车站没有旅客下车个车站没有旅客下车 则则1021.XXXX因此，为求因此，为求 EXEX，只需求只需求即可。即可。)1

34、0,.,2, 1( iEXi由于任一旅客在第由于任一旅客在第i i个车站不下车的概率为个车站不下车的概率为 9/10 9/10，又旅客是，又旅客是否下车是否下车是彼此独立的，因此，彼此独立的，因此，2020个旅客在第个旅客在第i i个车站都不下车个车站都不下车的概率为的概率为20)109(，在第在第i i个车站有人下车的概率为个车站有人下车的概率为20)109(1即即XiXi的概率分布为：的概率分布为： iXP1020)109(20)109(110,.,2 , 1i 例例 5- 5-15 15 一民航机场的送客汽车载有一民航机场的送客汽车载有2020位旅客，自机场开位旅客，自机场开出，沿途有出

35、，沿途有1010个车站。如到达一个车站没有旅客下车，就不停个车站。如到达一个车站没有旅客下车，就不停车。以车。以 X X 表示停车次数，求表示停车次数，求 EXEX（假设每个旅客在各个车站下假设每个旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）。车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）。 解解 设设01iX10,.,2, 1i第第i i个车站有旅客下车个车站有旅客下车 第第i i个车站没有旅客下车个车站没有旅客下车 则则1021.XXXX因此，为求因此，为求 EXEX，只需求只需求即可。即可。)10,.,2, 1( iEXi即即XiXi的概率分布为：的概率分布为： iXP1020)1

36、09(20)109(1 10,.,2 , 1i从而从而iEX20)109(1，故由性质的推广知，故由性质的推广知，101.EXEXEX784.8)109(1 (1020即送客汽车平均停车即送客汽车平均停车 8 8784784。 例例 5- 5-16 16 设设 X 服从二项分布，即服从二项分布，即 解解 由第三章二项分布可知，由第三章二项分布可知，X X 可看做可看做 n n 次独立重复试次独立重复试01iXni,.,2, 1第第i i次试验次试验A A发生发生 第第i i次试验次试验A A不发生不发生 ),(pnBX试求试求 EX。 验中事件验中事件 A A 发生的次数，且发生的次数，且P

37、P（A A）p p，令令 则则相互独立且都服从参数为相互独立且都服从参数为 p p的的 0- 0-1 1 分布。分布。易知有易知有nXXX,.,21nXXXX.21故由性质故由性质 5-2 的推广知，的推广知， npEXEXEXEXn.21四、四、 矩矩 （略）（略） kXEk,| 如果需要进一步研究数字特征，则需讨论随机变量的矩，如果需要进一步研究数字特征，则需讨论随机变量的矩，它在概率论与数理统计中占有重它在概率论与数理统计中占有重要地位。最常用的矩有两种：要地位。最常用的矩有两种：一种是原点矩，一种是中心矩。一种是原点矩，一种是中心矩。 定义定义5-5-3 3 如果如果为任意正整数，则称

38、为任意正整数，则称为随机变量为随机变量 X X 的的 k k阶原点矩（阶原点矩（origin momentorigin moment），），)(kkXEm而称而称为随机变量为随机变量 X X 的的 k k 阶中心矩阶中心矩kkEXXEc)(（central momentcentral moment）。）。 显然，数学期望是一阶原点矩显然，数学期望是一阶原点矩 m1m1。运用初等不等式运用初等不等式可知，可知，若随机变量若随机变量 X X 的高阶矩有限，则其低阶矩也有限。的高阶矩有限，则其低阶矩也有限。 1|1|kkXX 第五章第五章 习题习题 （P133）1*，4* (离散离散)2*，3， (

39、连续连续)5，6*，7，8*，9，10， 11*(函数函数)12*，13*，14，15，16一、一、 方差的定义方差的定义 数学期望描述了随机变量取值的平均值，即其是分布的数学期望描述了随机变量取值的平均值，即其是分布的位置特征数，它位于分布的中心，随机变量的取值在其周围位置特征数，它位于分布的中心，随机变量的取值在其周围波动。波动。 方差是度量此种波动大小的最重要的特征数，下面方差是度量此种波动大小的最重要的特征数，下面分析分析一个简单的例子，一个简单的例子，引出它的定义。引出它的定义。有下列两个有下列两个随机变量随机变量的分布：的分布： -1 0 1 -1 0 1 Y -20 0 20Y

40、-20 0 204/12/1P4/1P3/13/13/1显然有：显然有：0EYEX但其取值的分散程度大不同。但其取值的分散程度大不同。可见，可见，数学期望数学期望还不能反映还不能反映随机变量随机变量取值的分散程度。取值的分散程度。有下列两个有下列两个随机变量随机变量的分布：的分布： -1 0 1 -1 0 1 Y -20 0 20Y -20 0 204/12/1P4/1P3/13/13/1显然有：显然有：0 EYEX可见，可见，数学期望数学期望还不能反映还不能反映随机变量随机变量取值的分散程度。取值的分散程度。 设有一随机变量设有一随机变量 X X，称称 X-EX X-EX 为偏差，为偏差，

41、此种偏差可大可小，可正可负，此种偏差可大可小，可正可负， 为了使此种偏差能积累起来，不至于正负抵消，可取绝为了使此种偏差能积累起来，不至于正负抵消，可取绝对偏差的均值对偏差的均值 |X|XEX| EX| 来表示随机变量取值的波动大小。来表示随机变量取值的波动大小。由于绝对值在数学上处理不甚方便，由于绝对值在数学上处理不甚方便，故故用用衡量偏差更合适。衡量偏差更合适。它它也是随机变量，取其平均值也是随机变量，取其平均值2)(EXX 2)(EXXE就可以作为刻画随机变量就可以作为刻画随机变量 X X 取值取值的波动大小（或取值分散的波动大小（或取值分散程度）的一个数字特征。即方差程度）的一个数字特

42、征。即方差 。但其取值的分散程度大不同。但其取值的分散程度大不同。 定义定义 5- 5-4 4 设设 X X 是一个随机变量，若是一个随机变量，若2)(EXXE存在，存在，则称则称为为X X的的方差方差（variancevariance），），记为记为 DX DX 或或 VarXVarX，2)(EXXE即即方差的平方根方差的平方根, ,称为称为标准差或根方差标准差或根方差（standard deviationstandard deviation）。）。2)(EXXEDX 若若 X X 为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为即即2)(EXXEDX则按方差的定义有则按方差的定

43、义有: :,.,.,2, 1 ,nkpxXPkkiiipEXxEXXEDX122)()( 若若 X X 为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为p p（x x），），则按方差则按方差dxxpEXxEXXEDX)()()(22的定义有的定义有: : 若若 X X 为离散型随机变量，按方差的定义有为离散型随机变量，按方差的定义有: :iiipEXxEXXEDX122)()( 若若 X X 为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为p p（x x），），则按方差则按方差dxxpEXxEXXEDX)()()(22的定义有的定义有: : 数学期望和方差是随机变量的最

44、基本、最常用的两个数字特数学期望和方差是随机变量的最基本、最常用的两个数字特)(2()(222EXXEXXEEXXEDX 数学期望刻画了随机变量取值的平均位置，因而也有人称它数学期望刻画了随机变量取值的平均位置，因而也有人称它征。征。 方差刻画了随机变量偏离其数学期望的（分散）程度，方差方差刻画了随机变量偏离其数学期望的（分散）程度，方差是位置特征；是位置特征；越小，随机变量取值越集中于数学期望的周围。越小，随机变量取值越集中于数学期望的周围。称离散称离散特征特征。为计算方便，方差的公式也可简化为：为计算方便，方差的公式也可简化为：22)(2)(EXEXEXXE22)()(EXXE 例例5-5

45、-17 17 若随机变量若随机变量 X X 服从服从 0- 0-1 1 分布，试求分布，试求 X X 的方差。的方差。 解解 由例由例 51 知知: : pEX , ,又又则则pppEX2221)1 (0pqppXEEXDX222)(其中其中 .1pq22)()(EXXEDXiiipEXxEXXEDX122)()( 0 1 0 1p1pP 又解：又解： p0p1EXX 2)0 (p2)1 (p2)(EXX 则：则： 2)(EXXEDXpppp*)1 ()1 (*)0(2232322ppppp2pp pq 例例5-5-18 18 若随机变量若随机变量 X X 服从服从参数为参数为的普阿松分布的普

46、阿松分布 ， 解解 由例由例 52 知知: : EX, ,又又则则) 1(2EX22)(XEEXDX试求试求 X X 的方差。的方差。2)1(22)()(EXXEDXiiipEXxEXXEDX122)()( 例例5-5-19 19 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的几何分布，即的几何分布，即 解解 X 的概率分布为的概率分布为 ,.2 , 1 )1 ()(1kppkXPk由例由例 53,5-9 知知pEX1, ,及及 则则222ppEX2222212)(pqpppXEEXDX ，试求，试求 X X 的方差。的方差。)(pGX其中其中 .1pq 例例5-5-20 20 设随机

47、变量设随机变量 X 服从均匀分布，即服从均匀分布，即 解解 X 的概率分布为的概率分布为 由例由例 55,5-10 知知2baEX, ,及及 则则3222babaEX12)()2(3)(222222abbababaXEEXDX试求试求 X X 的方差。的方差。,baUX01)(abxpbxa其它 例例5-5-21 21 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为的指数分布，即的指数分布，即 解解 X 的概率分布为的概率分布为 由例由例 56,5-11 知知1EX, ,及及 则则222EX222221)1(2)(XEEXDX ，试求，试求 X X 的方差。的方差。)(ExpX0)(xexp0

48、 x0 x 例例5-5-22 22 设随机变量设随机变量 X 服从正态分布，即服从正态分布，即 解解 X 的概率分布为的概率分布为 由方差的定义知，由方差的定义知， 22)()(XEEXXEDXdxxpx)()(2试求试求 X X 的方差。的方差。),(2NX),( 21)(222)(xexpxdxexx222)(221)(dtett22222)(xt令222222dtetett222221dtet正态分布的参数正态分布的参数 是它的数学期望是它的数学期望，参数，参数 是它的方差。是它的方差。 2二、二、 方差的性质及切比雪夫不等式方差的性质及切比雪夫不等式 随机变量的方差具有下述基本性质，其

49、中假设性质中的方随机变量的方差具有下述基本性质，其中假设性质中的方,0)(cD差均存在。差均存在。 性质性质 5- 5-4 4 设设 c c 为常数，则为常数，则证明证明0)(2ccE2)()(:)2(cXEcXEcXD2)()(:)3(cXEcXEcXD2)(cEXcXEDXEXXE2)(22)(EXXEc,)(DXcXDDXccXD2)(2)(cEXcXEDXc22)()(:)1 (EccEcDDYDXYXD)( 性质性质 55 若若 X，Y 是两个相互独立的随机变量，则是两个相互独立的随机变量，则 证明证明2)()()(YXEYXEYXD2)()(EYYEXXE)( 2)()(22EYY

50、EXXEYYEXXE)(2EYYEXXEDYDX2EXEYXEYYEXXYEDYDX 2EYEXEXYDYDXDYDXYXD)(其中当其中当 X 与与 Y 独立时，有：独立时，有： 还可以将此性质推广到多个随机变量的情况，即设还可以将此性质推广到多个随机变量的情况，即设nXX ,.,1相互独立的随机变量，则：相互独立的随机变量，则：nnDXDXXXD.).(11成立吗？思考DYDXYXD)( 例例5-5-23 23 设随机变量设随机变量 X 服从二项分布，即服从二项分布，即 解解 X 的概率分布为的概率分布为 由例由例5-5-1616可知，可知， 试求方差试求方差 DX DX 。),(pnBX

51、其中nkqpCkXPpknkknk,.,1 ,0 )(nXXXX.21).(1nXXDDX相互独立，且相互独立，且 都都 服服 从从 参数为参数为 p p 的的nXXX,.,210-0-1 1 分布，故由性质分布，故由性质 5-5 5-5 的推广可知，的推广可知，npqDXDXn.1其中其中 .1pq1)( aXP 性质性质 56 随机变量随机变量 X X 的方差的方差 DXDX0 0 的充分必要条件是的充分必要条件是： 定义定义 5- 5-5 5 对任一随机变量对任一随机变量 X X，若若 DXDX0 0，则称则称X X 取某个常数的概率为取某个常数的概率为 1 1，即对某个常数，即对某个常数 a a，有有 充分性为性质充分性为性质 54 的（的（1 1），必要性超出本书范围，证明），必要性超出本书范围，证明从略。从略。 为为 X 的的 标准化（标准化（standardized）随机变量随机变量。 DXEXXY 性质性质 5- 5-7 7 若若 Y