生物统计学第五章卡方检验

1、p 两两个比率个比率比较的比较的u (t) u (t) 检验，在观察例数检验，在观察例数不足够大或拟对多不足够大或拟对多个比率进行个比率进行比较时，该比较时，该检验不适宜，因为直接对多个样本率作检验不适宜，因为直接对多个样本率作两两两间的两间的u (t) u (t) 检验有可能加大第一类错误检验有可能加大第一类错误。p 2 2检验的基本思想是检验实际频数与理论检验的基本思想是检验实际频数与理论频数的差别是否由抽样误差所此起的，也频数的差别是否由抽样误差所此起的，也是就是样本率（或样本构成比）来推断总是就是样本率（或样本构成比）来推断总体率（或总体构成比）。体率（或总体构成比）。2 2检验检验第

2、五章第五章2 检验的相关知识检验的相关知识一、一、2检验的定义检验的定义p 对对样本的频数分布样本的频数分布所来自的总体所来自的总体分布是否服从某种理论分布或某分布是否服从某种理论分布或某种假设分布所作的假设检验，即种假设分布所作的假设检验，即根据样本的频数分布来推断总体根据样本的频数分布来推断总体的分布的分布。二、二、2检验与连续型资料假设检验的区别检验与连续型资料假设检验的区别检验2连续型资料假设检验数据资料数据资料所属总体所属总体检验对象检验对象连续型资料连续型资料离散型资料离散型资料总体正态分布总体正态分布总体分布未知总体分布未知总体参数或几个总体参总体参数或几个总体参数之差数之差不是

3、对总体参数而是对不是对总体参数而是对总体分布的假设检验总体分布的假设检验2 检验的相关知识检验的相关知识三、三、2检验的用途检验的用途适合性检验适合性检验独立性检验独立性检验同质性检验同质性检验指对样本的理论数先通过一定的理论分布推算指对样本的理论数先通过一定的理论分布推算出来，然后用出来，然后用实际观测值实际观测值与与理论数理论数相比较，从相比较，从而得出实际观测值与理论数之间是否吻合。因而得出实际观测值与理论数之间是否吻合。因此又叫吻合度检验。此又叫吻合度检验。在连续型资料的假设检验中，对在连续型资料的假设检验中，对一个一个样本样本方差方差的同质性检验，也需进行的同质性检验，也需进行2 检

4、验。检验。是指研究是指研究两个或两个以上两个或两个以上的的计数资料或属性资计数资料或属性资料料之间是相互独立的或者是相互联系的假设检之间是相互独立的或者是相互联系的假设检验，通过假设所观测的各属性之间没有关联，验，通过假设所观测的各属性之间没有关联，然后证明这种无关联的假设是否成立。然后证明这种无关联的假设是否成立。2 检验的相关知识检验的相关知识第五章第五章第一节第一节第二节第二节第三节第三节2 2检验的原理与方法检验的原理与方法适合性检验适合性检验独立性检验独立性检验2 2检验的原理与方法检验的原理与方法 2 2检验检验就是统计样本的就是统计样本的实际观测值实际观测值与与理论推算理论推算值

5、值之间的偏离程度。之间的偏离程度。 实际观测值与理论推算值之间的偏离程度就决实际观测值与理论推算值之间的偏离程度就决定其定其2 2值的大小。值的大小。 两值偏差越大，两值偏差越大， 2 2值就越大，越不符合；值就越大，越不符合； 偏差越小，偏差越小，2 2值就越小，越趋于符合；值就越小，越趋于符合； 两值完全相等，两值完全相等， 2 2值就为值就为0 0，表明理论值完全符，表明理论值完全符合。合。性别性别观察值（观察值（O）理论值理论值(E)O-E公羊公羊母羊母羊428448438438-10+10合计合计8768760876只羔羊性别调察只羔羊性别调察p 要回答这个问题，首先需要确定一个统计

6、量，要回答这个问题，首先需要确定一个统计量，将其用来表示将其用来表示实际观测值实际观测值与与理论值理论值偏离的程偏离的程度；然后判断这一偏离程度是否属于抽样误度；然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行显著性检验。差，即进行显著性检验。p 判断实际观测值与理论值偏离的程度，最简判断实际观测值与理论值偏离的程度，最简单的办法是求出实际观测值与理论值的单的办法是求出实际观测值与理论值的差数差数。性别性别观察值（观察值（O）理论值理论值(E)O-E公羊公羊母羊母羊428448438438-10+10合计合计8768760876只羔羊性别调察只羔羊性别调察 由于差数之和由于差数之和正负相消正负相消

7、，并不能反映实际观测，并不能反映实际观测值与理论值相差的大小。值与理论值相差的大小。p 为了避免正、负相抵消的问题，可将实际观测值为了避免正、负相抵消的问题，可将实际观测值与理论值的差数平方后再相加，也就是计算：与理论值的差数平方后再相加，也就是计算： （O OE E）2 2 值越大，观测值与理论值相差也就值越大，观测值与理论值相差也就越大，反之越小。越大，反之越小。2)(iiEO 值越大，观测值与理论值相差也就值越大，观测值与理论值相差也就越大，反之越小。越大，反之越小。2)(iiEOp 将实际观测值与理论值的差数将实际观测值与理论值的差数平方平方，即（，即（O OE E）2 2，再用差数的

8、平方除以相应的理论值，将之化，再用差数的平方除以相应的理论值，将之化为相对数，从而来反映（为相对数，从而来反映（O OE E）2 2 的比重，最后的比重，最后将各组求和，这个总和就是将各组求和，这个总和就是2 2 。69iiEO4649iiEOiiiEEO22)(2值就等于各组观测值和值就等于各组观测值和理论值差的平方与理论值理论值差的平方与理论值之比，再求其和。之比，再求其和。876只羔羊性别调察只羔羊性别调察)(O观测值)(E理论值EEO2)(性别性别公羊公羊 428 438 -10 0.2283428 438 -10 0.2283母羊母羊 448 438 +10 0.2283448 43

9、8 +10 0.2283合计合计 876 876 0 0.4566876 876 0 0.4566EOiiiEEO22)(可加性可加性非负值非负值随随O和和E而变化而变化iiiEEO22)(2 2值与概率值与概率P P成反比，成反比， 2 2值越小，值越小，P P值越大，值越大，说明实际值与理论值之差越小，样本分布与假设的说明实际值与理论值之差越小，样本分布与假设的理论分布越相一致理论分布越相一致; ; 2 2越大，越大，P P值越小，说明两者之差越大，样本值越小，说明两者之差越大，样本分布与假设理论分布越不一致。分布与假设理论分布越不一致。观测值与理论值的差异由抽样误差引起，即观观测值与理论

10、值的差异由抽样误差引起，即观测值理论值。备择假设测值理论值。备择假设H HA A ：观测值与理论值：观测值与理论值的差值不等于的差值不等于0 0，即观测值，即观测值理论值理论值一般确定为一般确定为0.050.05或或0.010.011.1.提出无效假设提出无效假设H H0 02.2.确定显著水平确定显著水平3.3.计算样本的计算样本的2 2值值4.4.进行统计推断进行统计推断2222iiiEEO22)(1 ndf1 1、任何一组的理论次数、任何一组的理论次数E Ei i 都必须大于都必须大于5 5，如果，如果E Ei i55，则需要合并理论组或增大样本容量以满，则需要合并理论组或增大样本容量以

11、满足足E Ei i5 52 2、在自由度、在自由度1 1时，需进行连续性矫正。时，需进行连续性矫正。2检验的注意事项iiicEEO22)5 . 0(p 由于检验的对象由于检验的对象次数资料次数资料是间断性的，而是间断性的，而2 2分分布是连续型的，检验计算所得的布是连续型的，检验计算所得的2 2值只是近似地值只是近似地服从服从2 2分布，所以应用连续型的分布，所以应用连续型的2 2分布的概率检分布的概率检验验间断性资料间断性资料所得的所得的2 2值就有一定的偏差。值就有一定的偏差。p 由次数资料算得的由次数资料算得的2 2均有偏大的趋势，即概率偏均有偏大的趋势，即概率偏低。当低。当df=1df

12、=1，尤其是小样本时，必须作连续性矫正。，尤其是小样本时，必须作连续性矫正。p Yates(1934)Yates(1934)提出了一个矫正公式提出了一个矫正公式2检验的注意事项第五章第五章第一节第一节第二节第二节第三节第三节2 2检验的原理与方法检验的原理与方法适合性检验适合性检验独立性检验独立性检验适合性检验适合性检验p 比较观测数与理论数是否符合的假设检验。比较观测数与理论数是否符合的假设检验。第二节：适合性检验p 是对样本的理论值先通过一定的理论分布推是对样本的理论值先通过一定的理论分布推算出来，然后用算出来，然后用实际观测值与理论值比较实际观测值与理论值比较，从而得出实际观测值与理论值

13、之间是否吻合，从而得出实际观测值与理论值之间是否吻合，因此也称为因此也称为吻合性检验吻合性检验或或拟合度检验拟合度检验。p 遗传学中用以检验实际结果是否符合遗传规律遗传学中用以检验实际结果是否符合遗传规律p 样本的分布与理论分布是否相等样本的分布与理论分布是否相等自由组合定律自由组合定律 适合性检验的适合性检验的dfdf由于受理论值的总和等于观由于受理论值的总和等于观测值总和这一条件的约束，故测值总和这一条件的约束，故dfdf=n-1=n-1孟德尔分离规律孟德尔分离规律适合性检验适合性检验体色体色青灰色青灰色红色红色总数总数F F2 2观测尾数观测尾数15031503999916021602鲤

14、鱼遗传试验F2观测结果H0：鲤鱼体色鲤鱼体色F F2 2分离符合分离符合3：1比率比率; ;HA：鲤鱼体色鲤鱼体色F F2 2分离不符合分离不符合3 3：1 1比率比率; ; 例例 有一鲤鱼遗传试验，以荷包红鲤（红色）与湘江野鲤（青灰有一鲤鱼遗传试验，以荷包红鲤（红色）与湘江野鲤（青灰色）杂交，其色）杂交，其F2F2代获得如下表所示的体色分离尾数，问这一资代获得如下表所示的体色分离尾数，问这一资料的实际观测值是否符合孟德尔一对等位基因的遗传规律，即料的实际观测值是否符合孟德尔一对等位基因的遗传规律，即鲤鱼体色青：红鲤鱼体色青：红3 3：1 1（）假设（）假设0.050.05df= k-1 =

15、2-1 =1df= k-1 = 2-1 =1在无效假设在无效假设H H0 0正确的前提下正确的前提下 E Ei i 160216023/4=1201.53/4=1201.5红色理论数为：红色理论数为： E Ei i 160216021/4=400.51/4=400.5需要连续性校正需要连续性校正（2）水平）水平（3）检验）检验（4）推断）推断青灰色的理论数为：青灰色的理论数为：63.3015 .400) 5 . 05 .40099(5 .1201) 5 . 05 .12011503() 5 . 0(222122iiiiEEO查查2 2值表，当值表，当df=1df=1时，时，2 20.050.0

16、5 3.843.84。实得实得2 2c c 301.63301.632 20.050.05否定否定H H0 0 ，接受，接受H HA A ，即鲤鱼体色，即鲤鱼体色F2F2分离不符合分离不符合3 3：1 1比率。比率。p 在遗传学中，有许多显、隐性比率可以划分在遗传学中，有许多显、隐性比率可以划分为两组的资料，如欲测其与某种理论比率的为两组的资料，如欲测其与某种理论比率的适合性，则适合性，则2 2值可用下表中的简式进行计算：值可用下表中的简式进行计算：naA21naA25.122naA3232naA638972rnrraA221rmnmrramA221:11:21:37:91:rmr :理理论论

17、比比率率2 2值值显显:隐隐Aa大豆花色遗传试验大豆花色遗传试验F F2 2观测结果观测结果2892898181208208F F2 2观测株数观测株数总数总数花色花色例例(1) H(1) H0 0 ：大豆花色：大豆花色F F2 2分离符合分离符合3 3：1 1比率；比率； H HA A ：大豆花色：大豆花色F F2 2分离不符合分离不符合3 3：1 1比率；比率；(2)(2)取显著水平取显著水平 0.050.05(3)(3)计算统计数计算统计数2值：值：256. 128932813208323222naA256. 128932813208323222naA(4)查值表，进行推断查值表，进行推

18、断接受接受H H0 0 ，即大豆花色，即大豆花色F F2 2分离符合分离符合3：1比率比率df df =1=184.3205.0P P0.050.05p 对于资料组数多于两组的值，可通过下面对于资料组数多于两组的值，可通过下面简式简式 进行进行计算：计算：npOnii221O Oi i 第第 i i 组的实际观测数组的实际观测数 p pi i 第第 i i 组的理论比率组的理论比率 n n总次数总次数 F F2 2代，共代，共556556粒粒315315 101 1011081083232豌豆豌豆此结果是否符合自由组合规律此结果是否符合自由组合规律根据自由组合规律，理论分离比为：根据自由组合规

19、律，理论分离比为：161163163169：皱黄圆：黄皱：绿圆：绿豌豆杂交实验豌豆杂交实验F F2 2分离结果分离结果黄圆黄圆黄皱黄皱绿圆绿圆绿皱绿皱实际观测数实际观测数O O理论频数理论频数P P理论数理论数E EO OE E(O-E)(O-E)2 2/E/E 3153159/169/16312.75312.752.252.250.0160.0161011013/163/16104.25104.25-3.25-3.250.1010.1011081083/163/16104.25104.253.753.750.1350.13532321/161/1634.7534.75-2.75-2.750.

20、2180.218方法一方法一(1) H(1) H0 0 ：豌豆：豌豆F F2 2分离符合分离符合9 9：3 3：3 3：1 1的自由组合规律；的自由组合规律； H HA A ：豌豆：豌豆F F2 2分离不符合分离不符合9 9：3 3：3 3：1 1的自由组合规律；的自由组合规律；(2)(2)取显著水平取显著水平 0.050.05(3)(3)计算统计数计算统计数2 2值：值：2 2 0.016+0.101+0.135+0.2180.016+0.101+0.135+0.2180.4700.470(4)(4)查临界值表，进行推断：查临界值表，进行推断：df df =4-1=4-13 3815.720

21、5.02 20.05P P0.050.05接受接受H H0 0 ，即豌豆，即豌豆F F2 2分离符合分离符合9：3：3：1的自由组合规律。的自由组合规律。方法二方法二315315 1011011081083232161163163169：皱黄圆：黄皱：绿圆：绿470. 05561613216310816310116931555611222222npOnii2 2 0.016+0.101+0.135+0.2180.016+0.101+0.135+0.2180.4700.470第五章第五章第一节第一节第二节第二节第三节第三节2 2检验的原理与方法检验的原理与方法适合性检验适合性检验独立性检验独立性

22、检验独立性检验独立性检验独立性检验独立性检验（independence test） 又叫列联表（又叫列联表（contingency tablecontingency table）2 2检检验，它是研究两个或两个以上因子彼此之验，它是研究两个或两个以上因子彼此之间是独立还是相互影响的一类统计方法。间是独立还是相互影响的一类统计方法。（一）（一）2 22 2列联表的独立性检验列联表的独立性检验p 设设A A，B B是一个随机试验中的两个事件，其中是一个随机试验中的两个事件，其中A A可能出现可能出现r r1 1 、r r2 2个结果，个结果，B B可能出现可能出现c c1 1、c c2 2个结果，

23、两因子相互作用形个结果，两因子相互作用形成成4 4格数，分别以格数，分别以O O1111 、O O12 12 、O O2121 、O O2222表示，下表是表示，下表是2 22 2列联表的一般形式列联表的一般形式 行行列列c c1 1c c2 2总和总和r r1 1r r2 2O O11 11 O O2121O O1212O O2222R R1 1= O= O1111 + O + O1212R R2 2= O= O2121 + O + O2222总和总和C C1 1= O= O1111 + O + O2121C C1 1= O= O1212 + O + O2222T无效假设无效假设H H0 0

24、 ：事件：事件A A和事件和事件B B无关无关; ;H HA A ：事件：事件A A和事件和事件B B有关联关系。有关联关系。确定显著水平确定显著水平依据依据H H0 0 ，推算出理论数，计算，推算出理论数，计算2 2值值确定自由度，确定自由度，df=(r-1)(c-1)df=(r-1)(c-1)，查，查临界值临界值表表，进行推断。，进行推断。（）假设（）假设（2）水平）水平（3）检验）检验（4）推断）推断给药方式给药方式有效有效无效无效总数总数有效率有效率口服口服注射注射585864644040313198(R98(R1 1) )95(R95(R2 2) )59.259.267.467.4总

25、数总数122(C122(C1 1) )71(C71(C2 2) )193(T)193(T)给药方式与给药效果的给药方式与给药效果的2 22 2列联表列联表1.H1.H0 0 ：给药方式与给药效果相互独立。：给药方式与给药效果相互独立。H HA A ：给药方式与给药效果有关联。：给药方式与给药效果有关联。2.2.给出显著水平给出显著水平0.050.053.3.根据根据H H0 0，运用概率乘法法则：事件，运用概率乘法法则：事件A A与事件与事件B B同时出同时出现的概率为：现的概率为：P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)口服与有效同时出现的理论频率口服频率口服与有效同时出现的

26、理论频率口服频率有效有效频率，即频率，即P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)98/193 98/193 122/193122/193理论频数理论频数EiEi理论频率理论频率总数总数给药方式给药方式有效有效无效无效总数总数有效率有效率口服口服注射注射585864644040313198(R98(R1 1) )95(R95(R2 2) )59.259.267.467.4总数总数122(C122(C1 1) )71(C71(C2 2) )193(T)193(T)理论频数理论频数EiEi理论频率理论频率总数总数 98/193 98/193 122/193 122/193 19319

27、3（98 98 122 122）/193=61.95/193=61.95即即E EijijR Ri iC Cj j/T=/T=行总数行总数列总数列总数/ /总数总数给药方式给药方式有效有效无效无效总数总数有效率有效率口服口服注射注射585864644040313198(R98(R1 1) )95(R95(R2 2) )59.259.267.467.4总数总数122(C122(C1 1) )71(C71(C2 2) )193(T)193(T)E E1111= R= R1 1 C C1 1/T=61.95 E/T=61.95 E1212= R= R1 1 C C2 2/T=36.05/T=36.0

28、5E E2121= R= R2 2 C C1 1/T=60.05 E/T=60.05 E2222= R= R2 2 C C2 2/T=34.95/T=34.95给药方式给药方式有效有效无效无效总数总数口服口服注射注射58(61.95)58(61.95)64(60.05)64(60.05)40(36.05)40(36.05)31(34.95)31(34.95)98(R98(R1 1) )95(R95(R2 2) )总数总数122(C122(C1 1) )71(C71(C2 2) )193(T)193(T)给药方式与给药效果的给药方式与给药效果的2 22 2列联表列联表057. 195.345 .

29、 095.34315 .365 . 05 .364005.605 . 005.606495.615 . 095.61585 . 0222222EEOc计算计算2 2值：值： 由于由于df=(r-1)(c-1)=(2-1)(2-1)=1df=(r-1)(c-1)=(2-1)(2-1)=1， 故所计算的故所计算的2 2值需进行连续性矫正：值需进行连续性矫正：给药方式给药方式有效有效无效无效总数总数口服口服注射注射58(61.95)58(61.95)64(60.05)64(60.05)40(36.05)40(36.05)31(34.95)31(34.95)98(R98(R1 1) )95(R95(R

30、2 2) )总数总数122(C122(C1 1) )71(C71(C2 2) )193(T)193(T)4.4.查查2 2表，当表，当df=1df=1时，时， 2 20.050.05 3.8413.841，而，而2 2c c =0.863 =0.863 2 20.050.05 ， P P0.050.05，应接受，应接受H H0 0 ，拒绝，拒绝H HA A ，说明给药方式与给药效果相，说明给药方式与给药效果相互独立互独立. .2 2 2 2列联列联表的表的2 2检验可利用以下简式而不必计算检验可利用以下简式而不必计算理论次数：理论次数：212122112221122/CCRRTTOOOOcT/

31、2T/2为矫正数为矫正数212122112221122/CCRRTTOOOOc057. 17112295981932/193644031582给药方式给药方式有效有效无效无效总数总数口服口服注射注射58(61.95)58(61.95)64(60.05)64(60.05)40(36.05)40(36.05)31(34.95)31(34.95)98(R98(R1 1) )95(R95(R2 2) )总数总数122(C122(C1 1) )71(C71(C2 2) )193(T)193(T)（二）（二）2 2c c列联表的独立性检验列联表的独立性检验 行行 列列 1 12 2C C合计合计1 12

32、2O O1111O O2121O O1212O O2222O O1c1cO O2c2cR R1 1R R2 2合计合计C C1 1C C2 2C Cc cT T2 2c c列联表的一般形式列联表的一般形式 由于由于df=(2-1)(c-1) 2df=(2-1)(c-1) 2，故，故计算值时不需作计算值时不需作连续性矫正连续性矫正例例 检测甲、乙、丙三种农药对烟蚜的毒杀效果，结果如检测甲、乙、丙三种农药对烟蚜的毒杀效果，结果如下，使分析这三种农药对烟蚜的毒杀效果是否一致？下，使分析这三种农药对烟蚜的毒杀效果是否一致？甲乙丙合计死亡数未死亡数37150491002357109307合计187149

33、80416三种农药毒杀烟蚜的死亡情况三种农药毒杀烟蚜的死亡情况1.H1.H0 0 ：对烟蚜毒杀效果与农药无关；：对烟蚜毒杀效果与农药无关； H HA A ：二者有关：二者有关2.2.取显著水平取显著水平0.050.053.3.统计数的计算统计数的计算甲乙丙合计死亡数未死亡数37(49.00)150(138.00)49(39.04)100(109.96)23(20.96)57(59.04)109307合计18714980416694. 704.59)04.5957(96.109)96.109100(00.138)00.138150(96.20)96.2023(04.39)04.3949(00.4

34、9)00.4937(2222222（4 4）查）查2 2值表，进行推断值表，进行推断查查2 2表，当表，当df=(2-1)(3-1)=2df=(2-1)(3-1)=2时，时， 2 20.05 0.05 5.995.99，现实得，现实得2 27.6947.6942 20.05 0.05 ，则拒绝，则拒绝H H0 0 ，接受，接受H HA A ，说明三种农药对烟蚜的毒杀效果，说明三种农药对烟蚜的毒杀效果不一致。不一致。简便计算公式简便计算公式甲乙丙合计死亡数未死亡数37(49.00)150(138.00)49(39.04)100(109.96)23(20.96)57(59.04)109307合计1

35、8714980416TRCORRTii21212122)(692.7416109802314949187373071094162222221212122TRCORRTii（三）（三）r rc c列联表的独立性检验列联表的独立性检验 行 列 12C合计12rO11O21Or1O12O22Or2O1cO2cOrcR1R2Rc合计C1C2CcT rc列联表是指列联表是指r3、c 3的计数资料，上表是的计数资料，上表是rc列联表的一般形式。列联表的一般形式。df=(r-1)(c-1)1，故不，故不需进行连续性矫正。需进行连续性矫正。r rc c列联表的计算公式：列联表的计算公式：122jiijCROT

36、i = 1, 2, r j = 1, 2, , c年龄（岁）治愈显效好转无效合计1130315050以上67321092311102023545917949合计109435314219不同年龄用碘剂治疗甲状腺肿效果比较不同年龄用碘剂治疗甲状腺肿效果比较例例某医院用碘及治疗地方性甲状腺肿，不某医院用碘及治疗地方性甲状腺肿，不同年龄的治疗效果列于下表，试检验不同年同年龄的治疗效果列于下表，试检验不同年龄的治疗效果有无差异？龄的治疗效果有无差异？1. H0:治疗效果与年龄无关；治疗效果与年龄无关； HA :治疗效果与年龄有关，即不同年龄治疗效果不同。治疗效果与年龄有关，即不同年龄治疗效果不同。2.给出显著水平给出显著水平0.010.013.3.计算统计数计算统计数2 ：年龄（岁）治愈显效好转无效合计1130315050以上67321092311102023545917949合计109435314219988.46114495439191099167219122222jiijCROT年龄（岁）治愈显效好转无效合计1130315050以上67321092311102023545917949合计1094353142194.查查2表，当表，当df=(3-1)(4-1)6时，时，20.0116.81，所以，所以246.98820.01， P0.01，应拒绝，应拒绝H