天然气储量问题34最优捕鱼策略

1、精选优质文档-倾情为你奉上课 题第三章 微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解3.3天然气储量问题 3.4 最优捕鱼策略教学内容微分方程的模型与实验： 1.天然气储量问题的模型与实验 2.最优捕鱼策略教学目标1、会利用变化率分析并建立微分方程模型。2、会用软件Mathematica和MATLAB求解微分方程模型。教学重点会利用变化率分析并建立微分方程模型。教学难点引入变量，并得出变量之间的关系双语教学内容、安排 教学手段、措施 多媒体教学，结合板书作业、后记P69 3、4教学过程及教学设计备注3.3天然气储量问题一、 天然气储量问题1 、 问题的提出:天然气资源是现代社会重要的基础能源之一

2、，应合理的开发和利用。对开发公司而言，准确地预测天然气的产量和可采储量，始终是一项重要而又艰难的工作，下面是某天然气公司在19571976年20年间对某气田产量的统计资料。 某气田1957年至1976年产量表年 度1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966产量（108m3） 19 43 59 82 92 113 138 148 151 157年 度1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976产量（108m3） 158 155 137 109 89 79 70 60 53 45试根据所给

3、的数据资料，建立起该气田产量的预测模型，并验证所建立模型的合理性。2、模型假设及符号说明（1）假设该气田的产量是连续的，没有阶段性停产现象。（2）假设所提供的数据是正常生产情况下，气田的产量。（3）假设没有因意外事故或自然灾害造成停产或减产的情况。（4）假设r（t）为天然气产量的增长率。（5）假设N（t）为天然气田的累积产量。（6）假设Q为气田的年产量。（7）假设气田的可采储量为NR，相对应的开发时间tR。3、问题分析及数学模型根据所给的实际问题，预测气田的产量和可采储量，在这方面，目前国内外的方法很多，但各种预测方法中有一种简单而实用的指数增长模型，它是借鉴英国人口学家Malthus（马尔萨

4、斯）于1798年提出的人口增长模型，而得到的。若假设天然气产量的增长率为r（t），它是时间t的连续函数。气田的累积产量设为N（t），则它们满足如下的关系：而气田的年产量，于是上述方程变为：有统计资料显示，气田的每年产量与累积产量之比与气田的开发时间t存在如下关系，即 （5）或写成：，其中：假设气田的可采储量为NR，相对应的开发时间为tR，由上面的分析可得到方程：解之可得 ： （6）对上式求导预测模型为 （7）4 、 模型的分析与计算（1）模型（3）中a , b的计算由于，所以关键问题在于求出A，B的值。由（1）式，设，其中为第i年的产量，为第i年之前的累积产量，时间t以年为单位，则由所给数据可

5、得根据线性回归的最小二乘估计，令为使L（A，B）最小，取L分别关于A，B的偏导数，并令它们为0。解此方程可得 其中： 从而。（6）模型（7）中NR的计算对（2）式两边取常用对数可得 ： （8）其中：。由（8）式和所给的数据，建立回归方程（同上），可求得、，从而计算出油田的可采储量（略）。（3）模型的求解将根据上述求得的a，b，NR的值代入模型（6）（7）式便可计算出相应年份累积产量N（t）和年产量Q的预测值。气田储量的mathematica计算程序：%气田储量ch42%文件名：ch42.mdata1=19.0,43.0,59.0,82.0,92.0,113.0,138.0,148.0,151.

6、0,157.0,158.0,155.0,137.0,109.0,89.0,79.0,70.0,60.0,53.0,45.0;data2=Table0,n,20;i=2;Fordata21=data11,i=20,i+,data2i=data2i-1+data1idata3=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,data3i=i,Log10,data1i/data2iFitdata3,1,t,taa=-0.;bb=0.;a=10aa;b=Log10.0*bb;c=a/b;data4=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,data4i=Exp-b*i

7、,Log10,data2iFitdata4,1,x,xalpha=3.36832;bet=2.35678;Nr=10alpha;Qpt_:=a*Nr*Exp-c*Exp-b*t-b*t;Npt_:=Nr*Exp-c*Exp-b*t;data5=TableQpt,t,1,20;data6=TableNpt,t,1,20;compdata1=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,compdata1i=data1i,data5i;compdata2=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,compdata2i=data2i,data6i;f1=ListP

8、lotdata1;f2=PlotQpt,t,0,20;f3=ListPlotdata2;f4=PlotNpt,t,0,20;Showf1,f2Showf3,f4MatrixFormcompdata1MatrixFormcompdata2执行后输出A=-0. B=0.NR=10alpha alpha=3.36832实际值与预测值对照表年份T（a）Q（108m3/a）NP（108m3）实际值预测值实际值预测值195719581959196019611962196319641965196619671968196919701971197219731974197519761234567891011121

9、31415161718192019.043.059.082.092.0113.0138.0148.0151.0157.0158.0155.0137.0109.089.079.070.060.053.045.026.67445.45768.60393.527117.186136.899150.897152.492159.935156.116148.242137.580125.282112.29899.35186.94775.40964.91455.53447.26519.062.0121.0203.0295.0408.0546.0694.0845.01002.01160.01315.01452.

10、01561.01650.01729.01799.01859.01912.01957.069.365126.117207.160312.745440.207584.626739.855899.5521057.9701210.4301353.5201485.0501603.8601709.6601802.7501883.8401953.9102014.0402065.350从结果看计算比较精确。3.3 最优捕鱼策略1 问题的提出：这是1996年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：为保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业等资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收

11、获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为（1龄鱼条数与产卵总量n之比）1.221011/(1.221011+n)。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期的前8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力

12、（如鱼船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不防称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才

13、能使总收获量最高。2、 模型假设及符号说明（1）假设只考虑一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。（2）假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生。（3）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差异。（4）假设产卵期鱼的自然死亡率发生于产卵之后。（5）假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组，但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼。（6）假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行。（7）假设t时刻i龄鱼的数量为。（8）假设第k年初i龄的数量为；第k年底i龄鱼的数

14、量为（i=1，2，3，4）。（9）假设鱼的自然死亡率为r；4龄鱼的平均产卵量为c。（10）假设第i龄鱼的平均重量为Mi（i=1，2，3，4）。（11）假设第k年度鱼的产卵总量为。（12）假设对第i龄鱼的捕捞强度系数为bi；对i龄鱼的年捕捞量为ai（i=1，2，3，4）。（13）假设年总收获量为M，即M=M3a3+M4a4。（14）假设5年的总收获量为MM，即。3 问题分析及数学模型由已知条件，可得，（E为捕捞努力量），r为自然死亡率，在t，t+t内，根据死亡率的定义，由于不捕捞1、2龄鱼，所以变形可得 （1）解得。对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此，前8个月，捕捞与死亡均影响鱼的变化，

15、因而微分方程变形为 （2）其中由（2）式解得 （3）令为i龄鱼在k年底时的数量，为i龄鱼在k年初时的数量，得到1、2龄鱼k年末的数量为 （4）对于3，4龄鱼，在第8个月末数量由（3）式可得 （）在后4个月，对于3、4龄鱼，只有死亡率起作用，因而微分方程为 解得：因而，3、4龄在k年末的数 （）将（4）式与（）合在一起，得到在k年底各龄鱼的数量为 （5）由假设，到年底第i龄鱼全部转化为i+1龄鱼（i=1，2，3），同时由卵孵化产生1龄鱼，于是得到 （6）其中，为年度总产卵量，且 （7）此外，我们还求得每年对3、4龄鱼的总捕捞重量为 其中 4 模型的分析与计算（1）年度产量最优模型及其计算为了实现

16、可持续捕捞，即要求，在此前提下获得最高年收获量。结合基本模型，即可得到年度产量最优模型。利用，也就是，等与时间k无关，化简得下面给出MATLAB计算程序：%最优捕鱼策略ch331%文件名：ch331.mx=sym(x); b3=0.42*x;d=1.22*1011;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*b3)*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x);N10=d*q/(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*b3)/(1-exp(-(r+2/3*x);a3=b3/(r+b3)*(1-exp(

17、-2/3*(r+b3)*d*q/(d+q)*exp(-2*r);a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*b3)/(1-exp(-(r+2/3*x);M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M;M10=char(M);M11=char(M1);fplot(M10,0,100)b4=fmin(M11,0,100);b3=0.42*b4;d=1.22*1011;r=0.8;q=d*exp(-(3*r+2/3*b3)*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*b4)/(1-exp

18、(-(r+2/3*b4);N10=d*q/(d+q);N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*b3)/(1-exp(-(r+2/3*b4);a3=b3/(r+b3)*(1-exp(-2/3*(r+b3)*d*q/(d+q)*exp(-2*r);a4=b4/(r+b4)*(1-exp(-2/3*(r+b4)*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*b3)/(1-exp(-(r+2/3*b4);M3=17.86;M4=22.99;b3b4M=M3*a3+M4*a4;Max=MN1=N10 %各年龄组鱼的数量N2=N1*exp(-r)N3=N2*exp(-r)N4=N40执行后输出b3 = 7.3359b4 = 17.4664Max =3.8886e+011各年龄组数为N1 = 1.1958e+011N2 = 5.3730e+010N3 = 2.4142e+010N4 = 8.1544e+007（2）承包期总产量模型及其计算由于承包时鱼群的年龄组成尚未处于可持续捕捞的状态，因此不能简单地采用前面所得到的最优可持续捕捞的结果。问题中寻求收获最高的捕捞策略的条件是鱼群的生产力不能受到太大的破坏，我们可以把这个条件理解为捕捞五年后鱼群的年龄组成尽量接近于可持续捕捞