数学建模第四次作业

1、华南师范大学数学科学学院数学建模第四次作业（周一班）李世伟20122201046一、某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行请研究这个问题，并向学院领导写一份报告。解答设第年取出奖学金，继续存在银行的钱为，银行整存整取的利率为，奖学金为万元，则可得：解得，其中万元当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；当时，数列不增不减，所以平衡点为。一般而言，可令，所以20万元整存整取一年定期后的利息为万元。故可以0.6万元为分界点分3种情况考虑，m

2、atlab程序如下：n=20;r=0.03,0.03,0.03;x=20,20,20;d=0.5,0.6,0.7;for k=1:n x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r)-d;enddisp( 不同奖学存款余额变化)disp( 年 0.5万元 0.6万元 0.7万元)disp(0:n),x)plot(0:n,x(:,1),k,0:n,x(:,2),ko,0:n,x(:,3),kv)axis(-1,n+1,15,25)legend(d=0.5,d=0.6,d=0.7)title(不同奖学存款余额变化)xlabel(年份),ylabel(余额/万元)程序运行结果如下： 不同奖学存款余额变化

3、 年 0.5万元 0.6万元 0.7万元 0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.1000 20.0000 19.9000 2.0000 20.2030 20.0000 19.7970 3.0000 20.3091 20.0000 19.6909 4.0000 20.4184 20.0000 19.5816 5.0000 20.5309 20.0000 19.4691 6.0000 20.6468 20.0000 19.3532 7.0000 20.7662 20.0000 19.2338 8.0000 20.8892 20.0000 19.1108 9.000

4、0 21.0159 20.0000 18.9841 10.0000 21.1464 20.0000 18.8536 11.0000 21.2808 20.0000 18.7192 12.0000 21.4192 20.0000 18.5808 13.0000 21.5618 20.0000 18.4382 14.0000 21.7086 20.0000 18.2914 15.0000 21.8599 20.0000 18.1401 16.0000 22.0157 20.0000 17.9843 17.0000 22.1762 20.0000 17.8238 18.0000 22.3414 20

5、.0000 17.6586 19.0000 22.5117 20.0000 17.4883 20.0000 22.6870 20.0000 17.3130于是得到如下结论：在时（1）奖学金金额低于0.6万元时，存款余额将持续增加；（2）奖学金金额等于0.6万元时，存款余额保持不变。（3）奖学金金额高于0.6万元时，存款余额将逐渐减少。因此，学校领导应该控制奖学金不高于0.6万元。二、有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取的方式存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金。请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到80岁，问60

6、岁时应存入多少钱？解答令第个月末，老人的养老金余额为万元，月利率为，则解得，其中万元当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；当时，数列不增不减，所以平衡点为。编程计算老人养老金何时用完，matlab程序如下：x=;x0=10;r=0.003;x(1)=(1+r).*x0;k=1;while x(k)0 x(k+1)=(1+r)*x(k)-0.1; k=k+1;endk运行结果为k = 121故养老金可以用121个月。如果想用到80岁，即，matlab程序如下：x=;x(241)=0;for i=241:-1:2 x(i-1)=x(i)+0.1/(1+0.003)(242-i);endx0=

7、x(1)运行结果为x0 = 17.0908即老人需要存入17.0908万元。三、继续考虑3.4.2小节的“酵母培养物的增长”案例，建立微分方程模型，模拟酵母培养物的增长。解答建立阻滞增长模型，对函数进行数据拟合，拟合程序如下：t=0:18;x=9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8;f=(b,t)b(2).*b(3)./(b(3)+(b(2)-b(3).*exp(-b(1).*(t-0); b1,r1=nlinfit(t

8、(1:19),x(1:19),f,0.5,660,9.6) sse1=sum(r1.2)subplot(2,1,1),plot(t,x,k*,0:.01:18,f(b1,0:.01:18),k) axis(-1,19,0,670),legend(观测值,模拟值,4)xlabel(时间k(小时), ylabel(生物量x_k(克) title(阻滞增长方程模拟酵母培养物的增长的模拟效果图) subplot(2,1,2), plot(t,r1,k.,-1,19,0,0,k) axis(-1,19,-40,40)xlabel(时间k(小时), ylabel(模拟误差)title(阻滞增长方程模拟酵母

9、培养物的增长的模拟误差)结果如下：b1 = 0.5470 663.0220 9.1355r1 = Columns 1 through 8 0.4645 2.6701 2.4465 2.6143 -2.3504 1.6469 -5.1784 -2.1484 Columns 9 through 16 1.7686 5.0607 3.8475 -4.8434 -7.4295 2.9714 -0.5418 0.7993 Columns 17 through 19 0.2996 0.8932 1.2820sse1 = 194.3254拟合得到固有增长率，酵母菌培养物最大容量，初始值，误差平方和为。由拟合

10、效果图和模拟误差图可知，该阻滞增长模型能够较好地模拟酵母培养物生物量的变化趋势。四、在桥梁的一端每隔一段时间记录在一分钟内有多少辆汽车过桥。得到表5.5的数据，请估计一天有多少辆汽车过桥。表5.5 过桥车辆数据时间0:002:004:005:006:007:008:009:0010:3012:30车辆数22025825121012时间14:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:0024:00车辆数79282210911893解答通过matlab进行线性分段插值，然后用复化梯形求积公式求出一天过桥的车辆数，程序如下：x=0,2,4,5,6,7,8,9,1

11、0.5,12.5,14,16,17,18,19,20,21,22,23,24;y=2,2,0,2,5,8,25,12,10,12,7,9,28,22,10,9,11,8 9,3;x0=x+(1/60)*(1/2);y0=y/(1/60);u=(1/60)*(1/2):(1/60):24+(1/60)*(1/2);y=interp1(x0,y0,u);sum=trapz(y)*(1/60)plot(u,y)xlabel(时间/h),ylabel(车辆数),title(线性分段插值)结果如下：sum= 13425五、有一辆汽车在一段限速80km/h的直路上行驶，被交通监控设备观测到以下数据（见表5

12、.6），请回答以下问题：（1）当时，这辆汽车的位置和速度分别是多少？（2）这辆汽车分别从哪个时刻开始和结束超速？（3）在观测的时段内，这辆汽车的最高速度是多少？发生在哪个时刻？表5.6 汽车被交通监控设备观测到的数据时刻/s035813位置/m065121194313速度/(m/s)2026272420解答利用matlab进行三次样条插值，程序如下：t=0,3,5,8,13;y=20,0,65,121,194,313,20; pp=csape(t,y,complete),w=pp.coefss=(t,tj,c)c(1).*(t-tj).3+c(2).*(t-tj).2+c(3).*(t-tj)

13、+c(4); d1s=(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3); d2s=(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2); d3s=(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t); for k=1:pp.pieces c=pp.coefs(k,:); u=t(k):.001:t(k+1); p=s(u,t(k),c); plot(u,p,k),hold on end plot(t,0,65,121,194,313,ko),hold off xlabel(时间/s),ylabel(位置/m),title(汽车位置数据

14、图)结果如下： pp = form: pp breaks: 0 3 5 8 13 coefs: 4x4 double pieces: 4 order: 4 dim: 1w= 0.3008 -0.3469 20.0000 0 -0.6904 2.3605 26.0407 65.0000 0.2757 -1.7820 27.1976 121.0000 -0.1460 0.6997 23.9507 194.0000 运行结果中为分段表达式的系数矩阵。将对求导可得，求分段表达式系数矩阵的程序如下：z=3,2,1,0;3,2,1,0;3,2,1,0;3,2,1,0.*w结果如下：z = 0.9025 -

15、0.6938 20.0000 0 -2.0712 4.7209 26.0407 0 0.8272 -3.5640 27.1976 0 -0.4379 1.3994 23.9507 0绘制汽车速度数据图，程序如下：f1=(x)0.9025*x.2-0.6938*x+20;f2=(x)-2.0712*(x-3).2+4.7209*(x-3)+26.0407;f3=(x)0.8272*(x-5).2-3.564*(x-5)+27.1976;f4=(x)-0.4379*(x-8).2+1.3994*(x-8)+23.9507;plot(0:0.1:3,f1(0:0.1:3),k,3:0.1:5,f2(

16、3:0.1:5),k,5:0.1:8,f3(5:0.1:8),k,. 8:0.1:13,f4(8:0.1:13),k,0:0.2:14,80/3.6,k),hold onplot(t,20,26,27,24,20,ko)xlabel(时间/s),ylabel(速度/(m/s),title(汽车速度数据图)（1）利用matlab求解，程序如下： f=(t)w(4,:).*(t-8)3,(t-8)2,(t-8),1;y_10=sum(f(10)g=(t)z(4,:).*(t-8)2,(t-8),1,0;v_10=sum(g(10)结果如下：y_10 = 243.5325v_10 = 24.9979所以当时，这辆汽车的位置为243.53m，速度为24.998m/s。（2）由汽车速度数据图可知，超速范围大概在2,