第二章第十三节导数的应用（二）

1、一、选择题一、选择题1函数函数 f(x)xex，x0,4的最大值是的最大值是()A0B.1eC.4e4D.2e2解析：解析：f(x)exxexex(1x)，令令 f(x)0，x1.又又 f(0)0，f(4)4e4，f(1)e11e，f(1)为最大值为最大值答案：答案：B2已知已知 f(x)12x2cos x，x1,1，则导函数，则导函数 f(x)是是()A仅有最小值的奇函数仅有最小值的奇函数B既有最大值，又有最小值的偶函数既有最大值，又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数仅有最大值的偶函数D既有最大值，又有最小值的奇函数既有最大值，又有最小值的奇函数解析解析：f(x)xsin x，显然显然 f

2、(x)是奇函数是奇函数，令令 h(x)f(x)，则则 h(x)xsin x，求求导得导得 h(x)1cos x当当 x1,1时时，h(x)0，所以所以 h(x)在在1,1上单调递增上单调递增，有最大有最大值和最小值所以值和最小值所以 f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数是既有最大值又有最小值的奇函数答案：答案：D3函数函数 f(x)x33axa 在在(0,1)内有最小值，则内有最小值，则 a 的取值范围为的取值范围为()A0a1B0a1C1a1D0a12解析解析：y3x23a，令令 y0，可得可得：ax2.又又x(0,1)，0a3，则方程，则方程 x3ax210 在在(0,2)上恰有上恰有_

3、个实根个实根解析：解析：设设 f(x)x3ax21，则则 f(x)3x22axx(3x2a)，由于由于 a3，则在，则在(0,2)上上 f(x)0，f(2)94a0，则方程则方程 x3ax210 在在(0,2)上恰有上恰有 1 个实根个实根答案：答案：1三、解答题三、解答题8已知函数已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线曲线 yf(x)在点在点 x1 处的切线为处的切线为 l：3xy10，若若 x23时，时，yf(x)有极值有极值(1)求求 a，b，c 的值；的值；(2)求求 yf(x)在在3,1上的最大值和最小值上的最大值和最小值解：解：(1)由由 f(x)x3ax2bxc，得得 f(x)

4、3x22axb，当当 x1 时，切线时，切线 l 的斜率为的斜率为 3，可得，可得 2ab0.当当 x23时，时，yf(x)有极值，有极值，则则 f23 0，可得，可得 4a3b40.由由解得解得 a2，b4.由于切点的横坐标为由于切点的横坐标为 x1，f(1)4，1abc4，c5.a2，b4，c5.(2)由由(1)可得可得 f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4，令令 f(x)0，得，得 x12，x223.当当 x 变化时，变化时，y、y的取值及变化如下表：的取值及变化如下表：x3(3，2)22，232323，11y00y8单调递增单调递增13单调递减单调递减9527单调递增单调递增

5、4yf(x)在在3,1上的最大值为上的最大值为 13，最小值为，最小值为9527.9已知函数已知函数 f(x)x2ln x.(1)求函数求函数 f(x)在在1，e上的最大值和最小值；上的最大值和最小值；(2)求证：当求证：当 x(1，)时，函数时，函数 f(x)的图象在的图象在 g(x)23x312x2的下方的下方解：解：(1)f(x)x2ln x，f(x)2x1x.x1 时，时，f(x)0，故故 f(x)在在1，e上是增函数，上是增函数，f(x)的最小值是的最小值是 f(1)1，最大值是最大值是 f(e)1e2.(2)证明：令证明：令 F(x)f(x)g(x)12x223x3ln x，F(x

6、)x2x21xx22x31xx2x3x31x 1x 2x2x1 xx1，F(x)0，F(x)在在(1，)上是减函数，上是减函数，F(x)F(1)1223160.即即 f(x)g(x)当当 x(1，)时，函数时，函数 f(x)的图象总在的图象总在 g(x)的图象的下方的图象的下方10(2012宝鸡质检宝鸡质检)设函数设函数 f(x)ln x12ax2bx.(1)当当 ab12时，求时，求 f(x)的最大值；的最大值；(2)令令 F(x)f(x)12ax2bxax(0 x3)，其图象上任意一点，其图象上任意一点 P(x0，y0)处的切线的斜处的切线的斜率率k12恒成立，求实数恒成立，求实数 a 的取值范围的取值范围解：解：(1)依题意，知依题意，知 f(x)的定义域为的定义域为(0，)当当 ab12时，时，f(x)ln x14x212x，f(x)1x12x12 x2 x1 2x，令令 f(x)0，解得，解得 x1 或或 x2(舍去舍去)当当 0 x0，f(x)单调递增；单调递增；当当 x1 时，时，f(x)0，f(x)单调递减单调递减所以所以 f(x)的极大值为的极大值为 f(1)34，即即 f(x)的最大值是的最大值是34.(2)F(x)ln