第一章-123(频率与概率)

1、 任课教师：任课教师： 刘炳妹刘炳妹 第三组：电气工程与自动化第三组：电气工程与自动化 专业专业 （第（第12, 15周二周二5,6节）节）作作 业业第一组：会计学、金融学、工商管理、人力资源管理、第一组：会计学、金融学、工商管理、人力资源管理、 电子商务、市场营销、国际经济与贸易电子商务、市场营销、国际经济与贸易（第（第14,17周二周二5,6节）节）第二组：电子信息科学类、光信息科学与技术专业；第二组：电子信息科学类、光信息科学与技术专业； 应用物理应用物理 （第（第13,16周二周二5,6节）节）答疑时间：答疑时间：1219周周-周二周二7-8节节 教教1-C300自然界和社会上发生的现

2、象是多种多样的：自然界和社会上发生的现象是多种多样的：1 确定性现象确定性现象：在一定条件下必然发生。：在一定条件下必然发生。2随机随机(不确定不确定)现象现象：在个别试验中其结果呈现出：在个别试验中其结果呈现出不确定性，且在大量重复试验中其结果又具有统计规不确定性，且在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。律性。绪言绪言 研究对象研究对象：概率论与数理统计是研究：概率论与数理统计是研究随机现象统计随机现象统计 起源起源：16-17世纪的赌博和保险业世纪的赌博和保险业。 特点特点： 研究随机现象。研究随机现象。 规律性规律性的一门数学学科的一门数学学科。 它与其它数学分支有紧密的联系它与其它数

3、学分支有紧密的联系(如高数、如高数、线性代数线性代数)，是近代数学的重要组成部分，是近代数学的重要组成部分。 应用性强：遍及所有的科学技术领域、工农业生应用性强：遍及所有的科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中，如：气象、水文、地震预产和国民经济的各个部门中，如：气象、水文、地震预报；自动控制；农业试验；通讯系统中可提高信息的抗报；自动控制；农业试验；通讯系统中可提高信息的抗干扰性和分辨率等。干扰性和分辨率等。内容与学时内容与学时第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第四章第四章

4、 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验(18学时学时)数理统计数理统计(30学时学时)概概 率率 论论第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 第一节第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算 第二节第二节 频率与概率频率与概率 第三节第三节 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) ) 第四节第四节 条件概率条件概率 第五节第五节 事件的相互独立性事件的相互独立性 第一章第一章 第一节第一节随机事件及其运算随机事件及其运算一、

5、随机试验一、随机试验二、随机事件与样本空间二、随机事件与样本空间三、事件间的关系及其运算三、事件间的关系及其运算引例引例：E1 : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。抛一枚硬币，观察出现正反面情况。E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面结果。将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面结果。HHHTTHTHTHTTHTHHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTTE3 :抛一抛一骰子骰子, ,观察出现点数情况。观察出现点数情况。( (色子色子, ,投子投子) ) 1，2，3，4，5，6 H,T一、随机试验一、随机试验1，2，3 E5 :在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,测试它

6、的寿命。测试它的寿命。t | t0分析以上分析以上5个试验个试验,发现发现特点特点：(1) 可重复性可重复性：在相同条件下可重复进行。：在相同条件下可重复进行。(2) 可辨性可辨性：试验的可能结果不止一个，并且能事先：试验的可能结果不止一个，并且能事先(3) 随机性随机性：进行一次试验前，不能明确哪个结果一：进行一次试验前，不能明确哪个结果一概率论中把具有以上特点的试验称为概率论中把具有以上特点的试验称为随机试验随机试验，用，用Ei, i=1,2,3 明确所有可能结果。明确所有可能结果。定会出现。定会出现。字母字母E(experimentation)表示。表示。E4 :对一目标射击对一目标射击

7、, ,首次击中目标所需射击次数。首次击中目标所需射击次数。 二、随机事件与样本空间二、随机事件与样本空间定义定义1随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称为的所有可能结果组成的集合称为E的的样本空间样本空间,记为记为S 或或 ，样本空间的元素，样本空间的元素,即即E的每个的每个结果，称为结果，称为样本点样本点,iSe例如上节引例中：例如上节引例中：1S= H,T 2S=HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT有限个有限个样本点样本点3S=1,2,3,4,5,6可列无穷个可列无穷个4S=1,2,35S= t | t0连续、连续、不可列不可列. 样本空间样本空间例例 将一

8、枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次1) 观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况,1S=HHH,HHT2) 观察正面出现的次数观察正面出现的次数,2S=0,1,2,3. 随机事件随机事件定义定义2 试验试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称为的子集称为E的的随机事件随机事件，简称简称事件事件，一般记为，一般记为 A, B, C 等。等。3S1,2,3,4,5,6A 投一投一骰子出现奇数点事件骰子出现奇数点事件 A= 1, 3, 5 B 出现点数大于等于出现点数大于等于3的事件的事件 B= 3, 4, 5, 6 例如例如注意注意： 样本空间的元素是由样本空间的元素是由试验目的试验目的所决定的

9、。所决定的。特殊随机事件：特殊随机事件：1. 基本事件：基本事件：一个样本点组成的单点集一个样本点组成的单点集(试验试验E的每个的每个可能结果可能结果) 例：例：1E有两个基本事件有两个基本事件 H 和和 T 2. 复合事件：复合事件： 两个或两个以上样本点的子集两个或两个以上样本点的子集例：例： 事件事件A为为2E中中“三次出现同一面三次出现同一面” ，A=HHH,TTT3. 必然事件：必然事件： 每次事件中必然发生的事件每次事件中必然发生的事件,记记S(样本空间）样本空间）4. 不可能事件：不可能事件： 每次试验一定不发生的事件每次试验一定不发生的事件,记记某一事件发生某一事件发生它包含的

10、一个样本点出现它包含的一个样本点出现试验试验ES(样本空间样本空间)A(子集子集)必然事件必然事件S样本点样本点不可能事件不可能事件事件事件A基本事件基本事件 包含、相等关系包含、相等关系ABA发生必然导致发生必然导致B发生发生xAxB 称事件称事件A包含于包含于B或或B包含包含A. BA文氏图文氏图(Venn图图)1.1.事件的关系事件的关系三、事件间的关系及其运算三、事件间的关系及其运算ABBA且A与与B相等相等，记为，记为A=B例例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，产品有长度、直径、外观三个质量指标，记记 A=“长度不合格长度不合格”, B=“产品不合格产品不合格”,则则AB例例

11、2: 掷掷骰子骰子, ,A=“出现偶数点出现偶数点”, B=“点数能被点数能被2整除整除”则则 A=B。ABBA事件的和、并事件的和、并( (加法加法) )A和和B两事件中至少有一事件发生的事件两事件中至少有一事件发生的事件称为称为A和和B的的和事件和事件。记为记为AB或或(A+B)|x xAxB或推广推广1niiA1A2AnA称称个事件至少有一个发生；个事件至少有一个发生；称可列个事件称可列个事件12,AA事件的积、交事件的积、交(乘法乘法)事件事件A和和B同时发生同时发生事件事件AB发生发生记为记为AB=AB |x xA且且xB1iiA1A2A至少有一个发生。至少有一个发生。ABBA推广推

12、广 称称1niiA为为n个事件个事件12,nAAA的积事件。的积事件。称称1iiA为可列个事件为可列个事件12,AA的积事件。的积事件。积事件积事件事件的差事件的差(减法减法)事件事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生事件事件AB发生发生 |ABx xA记记但但xB显然显然ABAABABAB互斥事件互斥事件(互不相容互不相容)A,B为互不相容事件为互不相容事件AB (即即AB不同时发生不同时发生)随机事件随机事件E的任何两个基本事件都互不相容。的任何两个基本事件都互不相容。AB对立事件对立事件(逆事件逆事件)A,B为相互对立事件为相互对立事件AB ABS记记BAAB或或AB相互对立相互对立互

13、不相容互不相容2 . .事件的运算法则事件的运算法则交换律交换律ABBAABBA；结合律结合律ABCABCABCABCABCABAC分配律分配律ABCABAC对立事件对立事件(逆事件逆事件)德德摩根律：摩根律：；ABABABAB推广：推广：11nniiiiAA;11nnkkkkAA包含运算：包含运算：ABB，AB ，AB，则，则ABABA，设设ABABAAB,;,;AABBABABA ABB,AAA AAAAABAB例例1 设设A、B、C表示三个随机事件，试用表示三个随机事件，试用A、B、C的的运算关系表示下列事件。运算关系表示下列事件。(1) A与与B发生，而发生，而C不发生不发生ABC(2

14、) A、B、C中至少有一个发生中至少有一个发生ABC(3) A、B、C中恰有一个发生中恰有一个发生ABCABCABC(4) A、B、C中不多于两个发生中不多于两个发生A B CA BCABCAB CABCABCABCABC(A、B、C中至少有一个不发生中至少有一个不发生)ABC(A、B、C不可能同时发生不可能同时发生)例例2 以以A表示表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则，则A为为(A) 甲滞销，乙畅销甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销甲乙两种产品均畅销(C) 甲种产品畅销甲种产品畅销 (D) 甲滞销或乙畅销甲滞销或乙畅销 解解 设设B=“甲产品畅销甲产品畅

15、销”，C=“乙产品畅销乙产品畅销”则则ABC，故选，故选(D)ABCBC例例3 关系关系( )成立，则事件成立，则事件A与与B为对立事件。为对立事件。AB (a)(b) ABS(c),ABABS (d)AB与与为对立事件为对立事件解释解释(d)：AB A B ABSAB ABSABS(c)显然成立，显然成立，(d)也成立。也成立。A与与B为对立事件为对立事件第二节第二节 频率与概率频率与概率一、一、频频 率率二、概二、概 率率 第一章 1.定义定义 1 设设 E，S，A为为E中某一事件，在相同条件下做中某一事件，在相同条件下做n次试验，事件次试验，事件A发生的次数为发生的次数为An，则，则An

16、nfAn称为称为A的的频率频率。(frequency)2. 性质性质：01nfA01 1nfS02一、频率一、频率03若若12,kAAA两两互不相容两两互不相容(,)ijij A A 1212nknnnkfAAAfAfAfA 有限可加性有限可加性6P例例：在：在“抛硬币抛硬币”试验中，据表格得出试验中，据表格得出 频率有随机波动性，每次试验频率不一定相等频率有随机波动性，每次试验频率不一定相等 ;在第五章中将证明在第五章中将证明 稳定性稳定性 n充分大时，充分大时，,nnfAP P 称为事件称为事件AP A的的概率概率(probability), 记为记为频率有什么规律？频率有什么规律？试验者

17、试验者蒲丰蒲丰皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊次数次数正面的次数正面的次数正面的频率正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.50051.定义定义2 设设 E, S，对于，对于E的每一事件的每一事件A，赋予一实数，赋予一实数，如果满足以下三个公理：，如果满足以下三个公理： 非负性：对于每一个事件非负性：对于每一个事件 A，有，有P A0 归一性：归一性： 1P S 可列可加性：设可列可加性：设12,AA 两两互不相容两两互不相容(,)ijij A A 则则1212P AAP AP A 则称则称P A为为事件事件 A 的概率的概率。概率概率三公三公理理二

18、、概率（概率的公理化定义）二、概率（概率的公理化定义）P A2. 性质：性质：010P 故由可列可加性故由可列可加性PPP 又因为又因为P 0，所以，所以0P 02有限可加性有限可加性1212kkP AAAP AP AP A 其中其中12,kAAA两两互不相容两两互不相容。证明证明 取取，则，则12AA ,1,2iAi 证明证明 由三公理中的可列可加性，令由三公理中的可列可加性，令,1,iAik 则由性质则由性质1可得可得()()0 ,1,iP APik 1212kkP AAAP AP AP A 所以下式成立所以下式成立03如果如果AB则则P AP BP BAP BP A04AS，0P A10

19、5 ,1AS P AP AP ABP AP BP AB06(加法公式加法公式)推广推广：123123P AAAP AP AP A122313123P A AP A AP A AP A A A11P12nP AAA111niijijkiijnijknP AP A AP A A A 1121nnP A AA 例例1 (天气问题天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知：某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为两天都下雨的概率为0.1试求下列事件的概率：试求下列事件的概率：(2) 第一天不下雨，第二天

20、下雨第一天不下雨，第二天下雨;(4) 两天都不下雨两天都不下雨;(1) 第一天下雨，第二天不下雨第一天下雨，第二天不下雨;(3) 至少有一天下雨至少有一天下雨;(5) 至少有一天不下雨至少有一天不下雨解：设解：设A、B分别表示第一、二天下雨分别表示第一、二天下雨则则0.6,0.3,0.1P AP BP AB(1)0.5P ABP AABP AP AB(2)0.2P ABP BAP BP AB(3)0.8P ABP AP BP AB(4)10.2P A BP AB(5)10.9P ABP AB作业作业1P5：习题：习题1.1EX3，EX6 P9：习题：习题1.2EX1，EX2例例2 (订报问题订

21、报问题) 在某城市中，共发行三种报纸在某城市中，共发行三种报纸A，B，C，订购，订购A，B，C的用户占用分别为的用户占用分别为45%，35%，30%，同时订购同时订购A，B的占的占10%，同时订购，同时订购A，C的占的占8%，同，同时订购时订购B，C的占的占5%，同时订购，同时订购A，B，C的占的占3%，试，试求下列事件的概率：求下列事件的概率：(1) 只订购只订购A(2) 只订购只订购A，B(3) 只订购一种报纸只订购一种报纸(4) 只订购两种报纸只订购两种报纸(5) 至少订购一种报纸至少订购一种报纸(6) 不订购任何报纸不订购任何报纸)(CBAP)(CABP)(CBAP)(CBAP()P

22、ABCABCABC()P ABCABCABC0.30.230.20.73解解 设设A，B，C分别表示分别表示“用户订购用户订购A，B，C 报纸报纸”0.45,0.35,0.3,0.1P AP BP CP AB0.08,0.05,0.03P ACP BCP ABC(1)P AB CP AP ABP ACP ABC0.3()P ABC(2)(3)P AB CABCA BCP AB CP ABCP A BC两两互不相容的两两互不相容的0.07P ABP ABCP AP A BCP A BC10.90.1(4)P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC0.070.050.020.14两两互不

23、相容两两互不相容(5)P ABCP ACP BCP ABC0.9P A B C(6)P AP BP CP ABP ABC1P ABC解解)(CBAP)()()(CPBPAP)()()(BCPACPABP)(ABCPABABC ()()P ABCP AB00)(ABCP)(CBAP125. 075. 0625. 0例例3 已知已知,25. 0)()()(CPBPAP125. 0)(ACP,0)()(BCPABP求求 A,B,C 中至少有一个发生中至少有一个发生的概率。的概率。例例4 证明证明1P ABP A BP AP B证证P ABP A B1P AP BP AB1P AP B例例50.6,0

24、.3P ABP B，求，求P AB解解ABABBBABP ABP ABP B0.3ASBP AB1P AB例例60.5,0.2P AP AB，求P AB解解P AB0.50.20.3P AB0.7SABP AABP AP AB1P AB()0.6,()0.7P AP B第三节第三节 等可能概型等可能概型一、等可能概型一、等可能概型二、几何概率二、几何概率 第一章 12,nSe ee1.定义定义：具备以下两个条件的概率模型称为古典概型，：具备以下两个条件的概率模型称为古典概型，0102有限性有限性 试验的样本空间的样本点数有限；试验的样本空间的样本点数有限；等可能性等可能性 试验中每个基本事件的

25、发生是等可试验中每个基本事件的发生是等可例例：抛硬币，掷：抛硬币，掷骰子。骰子。2.计算公式：计算公式：AkP An事件事件含的样本点的个数含的样本点的个数样本空间含的样本点的个数样本空间含的样本点的个数证证 设设S是是E的样本空间，的样本空间，A是是S的事件的事件 (古典概型古典概型)能的。能的。一、等可能概型一、等可能概型由古典概型的定义得由古典概型的定义得 12nPePePe 1iP SnPe12,iiikAeee 11,2,iPeinn若事件若事件A包含包含k个基本事件，即个基本事件，即12iiikeee其中其中(1, 2,ki ii表示表示1,2,n中的中的k个不同的数个不同的数)k

26、P An则有则有3.方法：方法：01构造构造A和和S的样本点的样本点(当样本空间当样本空间S的元素的元素较少时，先一一列出较少时，先一一列出S和和A中的元素，直中的元素，直接利用接利用kP An求解求解)02用排列组合方法求用排列组合方法求A和和S的样本点数的样本点数预备知识预备知识. 加法原理加法原理：完成一项工作：完成一项工作m种方式，第种方式，第i种方式有种方式有in种方法，种方法，(i=1,2, m)，且完成该项工作只需选，且完成该项工作只需选择这择这m种方式中的一种，则完成这项工作一共有种方式中的一种，则完成这项工作一共有12mnnn 种方法。种方法。.排列排列：从从n个元素中取出个

27、元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，个元素，按一定顺序排成一列，称为从称为从n个元素里每次取个元素里每次取r个元素的个元素的排列排列。(n，r均为均为整数整数)(无放回选取无放回选取)对于无重复排列对于无重复排列(这这n个元素全不相同个元素全不相同时，上述排列即是时，上述排列即是)，当，当rr)个盒子中，个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，记设各个球放入每个盒子是等可能的，记:A: 指定的指定的r个盒子，每个盒子各有个盒子，每个盒子各有1个球。个球。B: 恰有恰有r个不同的盒子，每个盒子各有个不同的盒子，每个盒子各有1个球。个球。C: 在某一个指定的盒子中有在某一个指定的盒子中有k(

28、kr)个球。个球。求事件求事件A，B，C的概率。的概率。解解:rSn:!rrAPr:!rrrnrnBC PCr!rrP An!rnrCrP Bn()(1)/krkrrP CCnn36511365nnPP BP A例例7(生日问题生日问题) 设每个人的生日在一年设每个人的生日在一年365天中的任一天中的任一天是等可能的，即都等于天是等可能的，即都等于1365，那么随机选取，那么随机选取n(365)人。人。(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？他们的生日各不相同的概率为多少？(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解解 (1) 设设 A= “n个人的生日各不相同个人的生日各不相同”365365nnPP A (2) 设设 B = “n个