第3章动量传输的基本定律

1、1 流体动力学（包括运动学）是研究流体动力学（包括运动学）是研究，内，内容包括流体运动的方式和速度、加容包括流体运动的方式和速度、加速度、位移、转动等随空间与时间速度、位移、转动等随空间与时间的变化，以及研究引起运动的原因的变化，以及研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能量和决定作用力、力矩、动量和能量的方法。的方法。第三章第三章 动量传输的基本方程动量传输的基本方程2 质量、动量、能量守恒定律质量、动量、能量守恒定律 （1）物质不灭定律物质不灭定律（或质量守恒定律）（或质量守恒定律）连续性方程连续性方程 （2）牛顿第二定律牛顿第二定律（动量守恒定律）（动量守恒定律）动量方程（纳维动量

2、方程（纳维-斯托克斯方程、欧拉斯托克斯方程、欧拉方程）方程） （3）热力学第一定律热力学第一定律（或能量守恒定（或能量守恒定律）能量方程（伯努利方程）律）能量方程（伯努利方程）33.1 质量守恒定律与流体流动的连续性方程质量守恒定律与流体流动的连续性方程3.2粘性流体动量平衡方程粘性流体动量平衡方程(N-S方程）方程）3.3 理想流体动量平衡方程理想流体动量平衡方程欧拉方程欧拉方程3.4伯努利方程伯努利方程43.1 3.1 质量守恒定律与流体流动的质量守恒定律与流体流动的连续性方程连续性方程 由于我们把流体视为连续介质，因为不由于我们把流体视为连续介质，因为不管流体作怎样的流动，质量守恒定律是

3、管流体作怎样的流动，质量守恒定律是必须要满足的，不满足质量守恒的流动必须要满足的，不满足质量守恒的流动形式是不存在的。另一方面，仅由动量形式是不存在的。另一方面，仅由动量守恒导出的运动方程是不封闭的，即未守恒导出的运动方程是不封闭的，即未知量的个数多于方程的个数，要使方程知量的个数多于方程的个数，要使方程封闭，连续性方程也是必须要引入的。封闭，连续性方程也是必须要引入的。 56在直角坐标系中取一空间微元控制体，边长为在直角坐标系中取一空间微元控制体，边长为 dx、dy、dz， 通量：通量：XX 量量/t.A；流量：；流量：XX 量量/t. 质量质量: m=dxdydz A B 单位时间流入的质

4、量称质量流量：单位时间流入的质量称质量流量： m/t=dx/t（dydz） 式式中中 dydz 是是 A 面的面积。面的面积。 从从 A 面流入的质量流量：面流入的质量流量：VxVx（dydz） 从从 B 面流出的质量流量：面流出的质量流量： VxVx（dydz）+d（VxVx（dydz） ） ）=)()(dydzdxxVdydzVxx 7所以所以在在 X 方向净流入量方向净流入量（流入（流入-流出） ：流出） ： VxVx（dydz）-VxVx（dydz）+d（VxVx（dydz） ） ） dxdydzxVx)( 同理，在同理，在 Y 方向方向净流入量净流入量：dxdydzyVy)( 在在

5、Z 方向方向净流入量净流入量： dxdydzzVz)( 公式（公式（3-2）的左边：）的左边： dxdydzzVyVxVzyx)()()( 8公式（公式（3-2）的右边：）的右边：流入的流体使流体微团的质量发流入的流体使流体微团的质量发生变化生变化，分析：，分析： 流体微团的质量流体微团的质量 m=dxdydz 在在 t1时间流体微团的密度为时间流体微团的密度为1 1，故质量为故质量为 m1=1 1dxdydz 在在 t2时间流体微团的密度为时间流体微团的密度为2 2，故质量为，故质量为 m2=2 2dxdydz 单位时间内的质量变化：单位时间内的质量变化： dxdydzttdxdydzttd

6、xdydzdxdydz1212 9100)()()(zuyuxutzyx11对一元恒定流动，连续方程式为：对一元恒定流动，连续方程式为： 222111AvAv （3-6） 若为不可压缩流体若为不可压缩流体21，则，则 2211AvAv （3-7） 注注：式中式中 U、V、u、v 均表示速均表示速度。度。 1213例例 3-1 已知速度场已知速度场 Vx=6（x+y2） ，） ，Vy=2y+z3，Vz=x+y+4z；试分析此流场；试分析此流场是否存在？是否存在？ 解：解： 流场存在的条件是：是否满足连续性方流场存在的条件是：是否满足连续性方程程 4; 2; 6zVzyVyxVx 6+2+40 不

7、连续，故流场不存不连续，故流场不存在。在。 143.2粘性流体动量平衡方程（纳粘性流体动量平衡方程（纳维维斯托克斯方程）斯托克斯方程）15粘性流体的动量传输有两种基本粘性流体的动量传输有两种基本方式：方式： 由流体粘性所引起的物性动量传输；由流体粘性所引起的物性动量传输； 在流体质量对流基础上进行的对流动量传在流体质量对流基础上进行的对流动量传输。输。 16直角坐标系直角坐标系N-S方程的推导方程的推导 由流体对流而进行的对流动量传输，其对流动量通量由流体对流而进行的对流动量传输，其对流动量通量有如下有如下：AxXYZux在单位时间流入在单位时间流入Ax面的质量为面的质量为 xxxAuAdtd

8、xdtm17对流动量通量有如下对流动量通量有如下xxxxuAAu对质量通量乘以流体的速度对质量通量乘以流体的速度ux，为动量通量，为动量通量 对流动量通量对流动量通量= xxuu kg/ms2（N/m2） 18微元体对流动量收支差量微元体对流动量收支差量 在流场中取出元体空间dxdydz，按上列定义式确定元体对流动量的收支差量ABdxdydzxyzxxuudxxuuuuxxxx)(19ux ux ux ux ，uy ux ，uz uxuyuy ux uy ，uy uy ，uz uy 9个分量个分量uzuz ux uz ，uy uz ，uz uz20ABdxdydzxyzxxuudxxuuuux

9、xxx)(21222324微元体粘性动量收支差量微元体粘性动量收支差量 25xxxdxxxxxxdxxxxdxdydzxxx与与ux组成，从组成，从A面传入的粘性动量通量面传入的粘性动量通量从从B面传出的粘性动量通量面传出的粘性动量通量故动量通量收支差量故动量通量收支差量=单位时间的粘性动量收支差量单位时间的粘性动量收支差量=26yzdydxdzyxydzdydxzxz同理，速度同理，速度ux分别与分别与组成的粘性动量收支差量有：组成的粘性动量收支差量有： 和和以以ux为准的元体粘性动量的收支差量：为准的元体粘性动量的收支差量： dxdydzzyxzxyxxx)( 27dxdydzzyxzyy

10、yxy)(dxdydzzyxzzyzxz)(同理，以同理，以uy及及uz为准的元体粘性动量收支差量各为准的元体粘性动量收支差量各相应为相应为 28微元体作用力的总和微元体作用力的总和 一般情况下，在流体的动量传输中，微元体上的作用力一般情况下，在流体的动量传输中，微元体上的作用力有：重力、压力。有：重力、压力。 压力压力 如图，如图，A A、B B 面受的压强分别为：面受的压强分别为：P P，P+P+dxxP x、y、z 方向压力合力方向压力合力分别为分别为： dydzdxxP； P P+dP dxdzdyyP； A A B B dydxdzzP x x 29 重力重力 mg mg 在三个坐标

11、轴的分量为：在三个坐标轴的分量为： 分量分量 x x =g =gx xdxdydzdxdydz 分量分量 y y =g=gy ydxdydzdxdydz 分量分量 z z =g=gz zdxdydzdxdydz 所以，微元体在各方向的作用力总和为：所以，微元体在各方向的作用力总和为： 作用力总和作用力总和 x x = =dxdydzgxPx)( 作用力总和作用力总和 y y = =dxdydzgyPy)( 作用力总和作用力总和 z z = =dxdydzgzPz)( 30微元体的动量蓄积量微元体的动量蓄积量 以三个坐标方向的分速度为准的动量以三个坐标方向的分速度为准的动量变化为：变化为： 微元

12、体动量蓄积量微元体动量蓄积量 x x = =dxdydztux)( 微元体动量蓄积量微元体动量蓄积量 y y = =dxdydztuy)( 微元体动量蓄积量微元体动量蓄积量 z z= =dxdydztuz)( 31按三个坐标方向分别整理：按三个坐标方向分别整理： 简化：简化：zuuyuuxuutuxzxyxxx)()()()( = =xzxyxxxgxpzyx)( 同理同理 zuuyuuxuutuyzyyxyy)()()()( = =yyzyyyxygpzyx)( zuuyuuxuutuzzyzxzz)()()()( = =zzzyzxzgzpzyx)( 即粘性流体动量平衡方程式即粘性流体动量

13、平衡方程式N N- -S S 方程方程 适用：可压缩、不可压缩，稳定与不稳定均可。适用：可压缩、不可压缩，稳定与不稳定均可。 32333.3 3.3 理想流体动量平衡理想流体动量平衡方程方程欧拉方程欧拉方程34353.4伯努利方程伯努利方程36dxxpdxgdxzuudxyuudxxuuxxzxyxx1dyypdygdyzuudyyuudyxuuyyzyyyx1dzzpdzgdzzuudzyuudzxuuzzzzyzx1设流线上任一微元段设流线上任一微元段ds的各分量为的各分量为dx、dy、dz，对上式两边分别乘以，对上式两边分别乘以dx、dy、dz。则：则：37从流线方程可知：从流线方程可知

14、：dzudyudxuzyxuxdy=uydx，uydz=uzdy，uzdx=uxdz 代代入上式中，得入上式中，得 dxxPpdxgdzzudyyudxxuuxxxxx1)(dxgdxxpduuxxx138dygdyypduuyyy1dzgdzzpduuzzz1)(1dzzpdyypdxxpdzgdygdxgduuduuduuzyxzzyyxx取Z轴垂直地面：gz=-g，gx=0，gy=0；39uduuduuudzyx222221222dpgdzudu101ududpgdz 理想流体一维稳定流动的欧拉方程理想流体一维稳定流动的欧拉方程，它表达了，它表达了沿任意一根流线流体质点的压力、密度、速度

15、沿任意一根流线流体质点的压力、密度、速度和位移（高度上）的微分关系。和位移（高度上）的微分关系。 40沿流线积分，则可确定出流体质点沿流线空间沿流线积分，则可确定出流体质点沿流线空间不同点之间流动时的动量平衡关系式，其积分不同点之间流动时的动量平衡关系式，其积分形式为形式为Cudpgz221在下图的具体条件下对上式积分，并设流体为不可压在下图的具体条件下对上式积分，并设流体为不可压缩流体缩流体22222111211211upgzupgz41（1）（2）xyz0gp1，u1p2，u2z2z112cupgz221122222111211211upgzupgz(3-25)式42gCgupz22对于单

16、位重量的流体，由对于单位重量的流体，由(3-25)式成为式成为式中各项的单位均为长度式中各项的单位均为长度(m)，因，因m=Nm/N，则各项分别代表单位重量流体所具有的位能、则各项分别代表单位重量流体所具有的位能、静能和动能；又相应称为位压头、静压头和静能和动能；又相应称为位压头、静压头和动压头。动压头。43当流体当流体静止时静止时，不存在对流动量传输，不存在对流动量传输，也无粘性动量的传输过程；流体仅是也无粘性动量的传输过程；流体仅是处于压力与重力的平衡状态，仅存在处于压力与重力的平衡状态，仅存在位能与静能的转换，即位能与静能的转换，即constzpcupgz2211Cgupz2244伯努利

17、方程的应用伯努利方程的应用 原则上要符合方程的导来条件，但实际应用中，可修正，原则上要符合方程的导来条件，但实际应用中，可修正，将其应用范围扩大。将其应用范围扩大。 理想流体，稳定流动理想流体，稳定流动 等截面管道或截面变化缓慢和转向曲率很小时， 缓变流，等截面管道或截面变化缓慢和转向曲率很小时， 缓变流，因为近于平行流因为近于平行流 对实际流体要考虑因粘性而产生的摩擦损失对实际流体要考虑因粘性而产生的摩擦损失 h损损 损hupgzupgz2222222111 管流的平均速度及平均动能（实际流体）管流的平均速度及平均动能（实际流体） 层流：以截面平均速度层流：以截面平均速度u计算的动能仅为实际

18、动能平均值的计算的动能仅为实际动能平均值的一半一半 =2 紊流：按平均速度计算动能，其误差可忽略不计紊流：按平均速度计算动能，其误差可忽略不计 =1 450p1，u1 p2，u2（1）（3）p1，u1 p2，u2 z1z2p1，u1 p2，u2（2）4621zz 21uu 损hpp21损hpp211）由）由故位能不变，对不可压缩流体，当管截面不变，由故位能不变，对不可压缩流体，当管截面不变，由连续性方程可知连续性方程可知说明，两截面间的静压力差等于该段的能量损失，表现为。因此因此或或cupgz22114721zgzg22221122upup21uu 21pp 2）因此水平管流，流动中平均位能不变）因此水平管流，流动中平均位能不变所以所以由截面由截面1流向流向2时时理想流体流动中无能量损失理想流体流动中无能量损失h=0，因此有，因此有482222211122ugpzugpz3）此时存在三种能量的相互转换过程，有：）此时存在三种能量的相互转换过程，有：当流体自下向上流动，其位能增加，动能因截当流体自下向上流动，其位能增加，动能