海洋定位基础(第三章)

1、第二篇 海洋定位第三章 海洋定位基础海洋定位是海道测量工作的主要工作内容，是其他测量工作的基础。海洋定位通常是指利用两条以上的位置线，通过图上交会或解析计算的方法求得海上某点位置的理论与方法。与陆地定位相比，海洋定位有许多独特之处，其中最显著的就是陆地定位一般在静止状态下进行，并可通过重复观测来提高点位精度，而海洋定位一般在运动中进行，重复观测几乎是不可能的。另外一个重要的不同之处是海洋定位的实时性要求高，一般要求通过位置函数在海上实时得出点位坐标。因此海洋定位在准确性和完整性方面还无法达到陆地测量的精度。目前海洋定位的方法主要有：光学仪器定位、无线电定位、水下声标定位和卫星定位四种方式。3.

2、1 位置函数及其梯度3.1.1 位置函数及其等值线位置函数在平面上的一般式为： （31） 式中：为定位点的坐标。位置函数的等值线为位置函数等于常数时，定位点的轨迹。海上定位的观测量一般有距离、方位、角度和距离差四种，相对应有四种位置函数及其等值线。如图31所示。一、距离位置函数：如图31（a）所示，定位点P至已知点A的距离为S，距离位置函数S为： （32）距离等值线是以已知点A为中心，以S为半径的等距圆弧。二、方位位置函数：如图31（b）所示，已知点A至定位点P的方位角为T，方位位置函数T： （33）方位等值线是过已知点A，方位角为T的直线。三、角度位置函数：如图31（c）所示，定位点P观测已

3、知点A、B的角度为，角度位置函数为： （34）角度等值线是以已知点A、B连线为弦，以为圆周角的等角圆弧。四、距离差位置函数：如图31（d）所示，定位点P至已知点A、B的距离差为r，距离差位置函数r为： （35） S A N P T A 图31（a） 图31（b） r A P B A O B P 图31（c） 图31（d）距离差等值线是以已知点A、B为焦点的双曲线。海上定位求解点位的方法有图解法和解析法两种。图解法是根据两条以上的位置函数等值线的交点来确定点位。解析法是根据两个以上的位置函数方程式解算求得点位。对于利用三条以上位置线计算点位可采用平差的方法，计算其最或然点位。为此需建立位置线方程

4、式和位置线误差方程式。3.1.2 位置函数的梯度一、梯度的定义若在数量场中的一点P处，存在这样的矢量，其方向为函数在P点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量为函数在P点处的梯度。若为位置函数（距离、方位、角度或距离差函数），则位置函数梯度的方向垂直于位置线，即与位置线的法线方向一致，且指向位置函数增大的方向。它的大小就是梯度的模，是位置函数在法线方向上的变化率，即： 在实用上，若在P点处函数的增量为，而其在法线上的增量为，则函数的梯度可由下式表示： （36）若位置函数为平面位置函数，则位置函数梯度为在x、y方向上的变化率的向量和： （37）而梯度的模为： （38） 式

5、中：，下面具体介绍距离梯度、方位梯度、角度梯度和距离差梯度的情况。 P S A 图32二、距离梯度（） 如图32所示，在P点处测得距岸台A的距离为S，则距离等值线为以岸台A为中心，以测得的距离S为半径的圆周。当距离函数有一微小增量，则等值线因此而产生的法向位移，因此，距离梯度的方向为沿P点等值线的法线方向，指向距离增大的方向；距离梯度的模等于1，即： （39） 求距离梯度也可用公式（38）计算，结果是一致的： P T A 图33所以距离梯度的模与测量距离的远近无关。距离梯度的方向为背离岸台，指向距离增大的方向，如图32所示。 三、方位梯度（）如图33所示，在A点处测得A到测点P的方位角为T，则

6、方位等值线为以A为起点，方位为T的射线。当方位函数有一微小增量，则等值线因此而产生的法向位移，故： （弧度/公里） （310）用公式（125）计算如下： （弧度/公里）上式说明方位梯度模与距离S成反比，方位梯度的方向垂直于AP，且指向方位角T增大的方向，如图33所示。 北 A 北 图34四、角度梯度（）如图34所示，在测点P测得的角度是方位角和之差，即。由于梯度是矢量，角度梯度为： （311）利用余弦公式可得： （弧度/公里） （312）用公式（38）计算如下： （弧度/公里） 由上式可知，角度梯度模随（）与而变化。在一定的情况下，与成反比。在一定的情况下，与成正比。角度梯度的方向与位置线相垂

7、直，指向以AB为弦、圆周角为的圆心O。五、距离差梯度（） 如图3-5所示，在观测点P测得距两岸台1和3的距离差为r，即：，则可得以岸台1、3为焦点，距离差为r的双曲线。 图35 距离差梯度根据向量的运算规则： 由图114可得： ； 所以即为距离差梯度的模。由于，则为等腰三角形。在中，取的中点M与P相连，可得： （130） 用公式（125）计算如下： 可见距离差梯度的模是由位置线交角决定的。在焦点1和3的连线上，距离差梯度的模等于2，为最大值；随着P点远离岸台，距离差梯度的模逐渐减少；在岸台基线的延长线上，距离差梯度的模为零，为最小值。距离差梯度的方向垂直于位置线交角的角平分线，指向距离差增加的

8、方向，如图35所示。3.2 位置线方程式和位置线误差方程式3.2.1 概述由上可知，位置函数等值线除方位等值线是直线外，其它是曲线。曲线对计算点位带来不便，为此引进了位置线。我们用位置函数等值线在定位点处的切线来代替位置函数等值线，该切线即为位置线。在定位点准确位置未知的情况下，可用其概略位置建立位置线方程式。设定位点P的准确点位或最或然点位为，其概略点C坐标为，两者之差为，则： （313）根据位置函数在平面上的一般式，概略点处位置函数为： （314）准确点或最或然点处位置函数为： （315）上式中的很小，可用泰勒公式将上式展开成级数，并取至一次项得： （316）设： ，即概略值与观测值之差，

9、 则（316）式可写为： （317）（317）式即为以概略点C为原点的位置线方程式。 若位置函数观测值的误差为，则位置线误差方程式为： （318） 在定位点处若有三条以上的位置线，则可按（318）建立三个位置线误差方程式，组成法方程式，解算其最或然点位坐标。 海上定位时常常由几种方法联合使用，比如由两距离、一方位（或一水平角）方式定位；由一距离、一方位和一水平角方式定位等。在这种情况下解算其最或然点位坐标时，必须把位置线方程式（317）或位置线误差方程式（318）改化为“法线式”。亦即在位置线方程式或位置线误差方程式的等式两边，除以概略点处位置函数的梯度模。其表达式如下： （319） （320

10、） （319）和（320）分别为位置线方程式和位置线误差方程式的“法线式”。3.2.2 距离位置线方程式及其“法线式” 如图32所示，距离位置函数及在P点处的偏导数可由下式表示： 代入（135）式可得距离位置线方程式：或： （321） 式中：为推算点（概略点）坐标，分别为由控制点A与推算点P的坐标反求得到的距离和坐标方位角。 距离位置线方程式的“法线式”可由（319）式求得，由于距离梯度的模，所以距离位置线方程式与其“法线式”是相同的。 同理，距离位置线的误差方程式与其“法线式”也是相同的，可由下式表示：或： （322）3.2.3 方位位置线方程式及其“法线式” 如图33所示，方位位置函数及在

11、P点处的偏导数可由下式表示： （分/米） （分/米） 代入（317）式可得方位位置线方程式： （323） 式中：为推算点（概略点）坐标，分别为由控制点A与推算点P的坐标反求得到的距离和坐标方位角。该方程式是以“分”为单位的。 方位位置线方程式的“法线式”可由（319）式求得，方位梯度的模可由下式求得：（分/米），所以方位位置线方程式的“法线式”如下式所示： （324） 例如：米，则该方位位置线方程式为： 该方位位置线方程式的“法线式”为： 方位位置线的误差方程式及其“法线式”求法同前，分别如下式所示： （325） （326）3.2.4 角度位置线方程式及其“法线式” 如图34所示，角度位置函数

12、及在P点处的偏导数可由下式表示： （分/米） （分/米） 代入（317）式可得角度位置线方程式： （327） 式中：为推算点（概略点）坐标，分别为由控制点A与推算点P的坐标反求得到的距离和坐标方位角。该方程式是以“分”为单位的。 角度位置线方程式的“法线式”可由（319）式求得，角度梯度的模可由下式求得：（分/米），所以角度位置线方程式的“法线式”如下式所示： （328） 式中：为A、B两点之间的距离。角度位置线的误差方程式及其“法线式”求法同前，分别如下式所示： （329） （330）3.2.5 距离差位置线方程式及其“法线式” 如图35所示，距离差位置函数及在P点处的偏导数可由下式表示：

13、代入（317）式可得距离差位置线方程式： （331）式中：为推算点（概略点）坐标，分别为由控制点A与推算点P的坐标反求得到的距离。 距离差位置线方程式的“法线式”可根据距离差梯度的模：代入（319）式求得。距离差位置线的误差方程式及其“法线式”同样利用（318）和（320）式求得，求法同前。3.3 最或然点位计算数学模型 在实际工作中，如果测得三条以上位置线，则可设立位置线误差方程式，利用最小二乘法解算定位点的最或然点位。设定位点P的坐标为，其概略坐标为，在定位点P处同时观测得到n条位置线，由（318）式可以建立n个位置线误差方程式，其矩阵形式为： （332） 式中： 为求得定位点P的最或然点

14、位，采用最小二乘法原理，平差计算点位。设观测值权阵为P，则由最小，可得： ， 即， 设：，则： （333） 即： P点最或然点位坐标为： （334） 设为单位权中误差，由白塞尔公式求得单位权中误差： （335）设即：则最或然点位中误差为： （m） （336）3.4 定位中误差的普遍式我们前面已经知道，如果用三条以上的位置线确定测点位置，即有多余观测的点位观测，在计算最或然点位位置的同时，可用公式（336）计算其定位中误差，确定点位的定位精度。下面讨论如果只有两条位置线，没有多余观测确定测点的位置时，如何确定定位精度。首先我们讨论最简单的一种情况，即两距离定位时，定位中误差的求法。如果在测量船上

15、同时测得至控制点A、B的距离分别为S1、S2。假定测得的距离没有误差，则两条位置线的交点P即为准确的船位。实际上测距不可能没有误差，若实际测得的点位为，则该次定位真误差为。若测量船固定不动，对测量船进行多次定位，得到一组定位点，其相应定位真误差为，则定位中误差M可按下式计算： （337） M N 图36 我们知道真误差是无法直接测定的。下面研究如何利用测距真误差确定定位真误差。如图36所示，设测距真误差分别为和，则测得的点位应为，即。为计算方便，我们用位置线来代替距离函数等值线，即定位点为两位置线的交点。该次定位的真误差为。在中： 根据余弦定理可得： 上式是某次定位的定位真误差，若进行了n次测

16、定，可得n个与上式类似的关系式，其算术平均值为： （338）由于两个观测值是相互独立的，其协方差为零，即： 则（338）式可写为： 设： ，带入上式： （339） 式中：为定位中误差； 为位置线夹角； 分别为位置线、的法向位移中误差，简称位置线中误差。根据位置函数梯度的定义： ，可得：，带入（339）式可得： （340）（340）式即为定位中误差的普遍式。该式应用很广，适用于各种两条位置线确定点位的定位中误差计算。3.5 误差椭圆及其置信度在海道测量工作中，通常都用定位中误差来评定点位的定位精度。但是定位中误差不能反映出点位在各个方向上误差的大小，尤其是不能反映出哪个方向的误差最大，哪个方向误

17、差最小。为了研究平面上点位误差的分布规律，我们讨论平面上具有相同概率出现的点位误差分布图形，即误差椭圆。误差椭圆既可从面积的大小说明点位的精度，又可从其形状知道点位误差分布的方向性。 x dn2 dn1 y O 图37如图（37）所示，为两条位置线。当观测无误差时，其交点O为测点的真位置。如果两条位置线分别有法向位移，则其交点为N。下面研究点位落在点处微小面积内的概率。位置线法向位移是以O为扩散中心和随机变量，它们是服从正态分布的，中误差为。其概率密度分别为： （341）点位落在处微小窄条内的概率为： （342）由于位置线法向位移是相互独立的随机变量，因而点位落在两微小窄条相交处，亦即落在点处

18、微小面积内的概率，依据独立事件概率的乘法定理可得： （343）由图（37）可知，随着位置线法向位移的变化，点也随着变动，每一处总会有一个相应于公式（343）的值。下面研究值为常数时，点的轨迹曲线，即等概率密度曲线。为便于分析，今取以O为原点，两位置线为轴和轴的斜坐标系。由图（37）可知： 而： 带入（343）式： （344）设： （345）则： （346）由（346）式可知，若值为常数，只要满足下式： （347）故等概率密度曲线为椭圆，称为误差椭圆。它是以为共轭半径的椭圆。在一定时，取不同的值可绘出一蔟形状一样的椭圆。的误差椭圆称为“基本误差椭圆”或“中误差椭圆”。的误差椭圆称为“极限误差椭圆”。的值可由下式计算： （348）误差椭圆的置信度是指点位落在误差椭圆内的概率。我们首先求出误差椭圆内任一点处微小范围内的概率。由（346）式可知，点位落在点处微小面积内的概率为：将（347）式带入上式：