高等数学63定积分物理应用

1、第三节一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 水压力水压力三、三、 引力引力定积分在物理学上的应用 第六六章 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在沿设物体在沿 x 轴方向力轴方向力 F(x) 作用下作用下, 从从 xa移动到移动到 x = b, 求变力所做的功求变力所做的功 .xabxdxx ,d x xx ，在其上所作的功元在其上所作的功元素为素为d( )dWF xx 变力变力F(x) 所作的功所作的功W为为( )dbaWF xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 取小区间取小区间例例1.0.40.2dWw dd5 dwFxx x x x+dx一弹簧，原长

2、一弹簧，原长1m,1m,一端固定一端固定， 压缩另一端，压缩另一端，今将弹簧从今将弹簧从80cm压缩到压缩到 60 cm,1cm 需要需要 0.05N，每压缩每压缩试问需要作多少功？试问需要作多少功？假定假定解：解：,Fkx 力力 ，由由0.01x 0.05,F 得得5/,kNm 从而从而5Fx 时，时，0.4设自由端的坐标为设自由端的坐标为x,o0.21 x固定端固定端自由端自由端o 0.21 x固定端固定端0.40.40.25 dxx 0.3J 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图.在任一小区间在任一小区间 ,d x

3、 xx 上的一薄层水的重力约为上的一薄层水的重力约为229.8 3 (1) d5xx 这薄层水吸出桶外所作的功为这薄层水吸出桶外所作的功为(KN)例例2.蓄满水的圆锥形水桶高为蓄满水的圆锥形水桶高为 5 m, 底圆半径为底圆半径为3m, xdxx 3m5moxy( , )x y A(0,3)B(5,0)AB方程：方程：3(1)5xy 22d9.8 3 (1) d5xwxx 功功50dWw 577.25( KJ )52209.8 3 (1) d5xxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 面积为面积为 A 的平板的平板二、水压力二、水压力设水的密度为设水的密度为 深为深为

4、 h 处的压强处的压强: gph h当平板与水面平行时当平板与水面平行时, PpA 当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为 压力压力P压强压强 p 受力面积受力面积 A当平板垂直（倾斜）放在水中当平板垂直（倾斜）放在水中板上各点水深不同板上各点水深不同压强不同压强不同整块板上所受压力不容易计算整块板上所受压力不容易计算小窄条上各点的压强小窄条上各点的压强gpx 32g3R 例例3.为为 的的液体液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 半圆的半圆的22

5、yRx (0)xR利用对称性利用对称性 , 侧压力元素侧压力元素0RP 222gdxRxx oxyRx dxx 222Rx dP gx 端面所受侧压力为端面所受侧压力为dx机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为R 的圆桶的圆桶,内盛半桶密度内盛半桶密度22204RgR cosdt t 222d ,Rxx 说明说明:当桶内充满液体时当桶内充满液体时,g(),Rx 小窄条上的压强为小窄条上的压强为侧压力元素侧压力元素dP 故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为222g()dRRPRxRxx 奇函数奇函数3gR g()Rx 2204gdRRRxx sinx

6、Rt 令令oxyRxdxx 3202R g(1cos2 )dtt 三、引力问题三、引力问题质量分别为质量分别为12,mm的质点的质点 , 相距相距 r ,1m2mr二者间的引力二者间的引力 :大小大小:122m mFGr 方向方向:沿两质点的连线沿两质点的连线oxLmMa例例4. 一质点的质量为一质点的质量为 m ,与该点在同一水平线上与该点在同一水平线上有一条长为有一条长为L质量为质量为M的均匀细棒的均匀细棒,求棒对质点的引力求棒对质点的引力. ,d x xx 解解的小段近似地看作一个的小段近似地看作一个质点，质点，d ,MxL此小段棒对质点的引力为：此小段棒对质点的引力为：2dd()m M

7、xFGL xa 这小段的质量为这小段的质量为沿棒从沿棒从0到到L积分，积分，得棒对质点的引力为：得棒对质点的引力为：20d()Lm MxFGL xa ()GmMa aL dx xx 2m122m mFkr 1mr对应对应内容小结内容小结(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式先用微元分析法求出它的微分表达式 dU一般微元的几何形状有一般微元的几何形状有:扇、扇、片、片、壳壳 等等.(2) 然后用定积分来表示整体量然后用定积分来表示整体量 U, 并计算之并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量用定积分求一个分布在某区间上的整体量 U 的步骤的步骤:2.定积分的物理应用定积分的物理应用

8、:变力作功变力作功 ,侧压力侧压力 , 引力引力机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 条条、段、段、环环、带、带、习习 题题 P249250 2； 3； 4； 6； 8 锐角锐角 取多大时取多大时, 薄板所受的压力薄板所受的压力 P 最大最大 .备用题备用题1.斜边为定长的直角三角形薄板斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于垂直放置于解解: 选取坐标系如图选取坐标系如图. 设斜边长为设斜边长为 l ,水中水中, 并使一直角边与水面相齐并使一直角边与水面相齐, cotcosyxl dgyxx sin20(cotcos )dlgxlxx 33(coscos)6g l loy

9、xy则其方程为则其方程为问斜边与水面交成的问斜边与水面交成的xdxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 sin0lP 33(coscos)6g lP 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 d0,dP 令令03arccos3 故得唯一驻点故得唯一驻点 故此唯一驻点故此唯一驻点0 即为所求即为所求. 由实际意义可知最大值存在由实际意义可知最大值存在 ,即即2sin3cossin0(0,),2 loyxyxdxx S2.体体, 求移动过程中气体压力所求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为把容器中的一个面积为

10、S 的活塞从的活塞从点点 a 处移动到点处移动到点 b 处处 (如图如图), 作的功作的功 .ab建立坐标系如图建立坐标系如图.xdxx 由波义耳由波义耳马略特定律知压强马略特定律知压强 p 与体积与体积 V 成反比成反比 , 即即,kxS kpV 功元素为功元素为dW dF xdkxx 故作用在活塞上的故作用在活塞上的Fp S kx 所求功为所求功为dbakWxx lnbakx lnbka 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 力为力为在底面积为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气的圆柱形容器中盛有一定量的气 2 myx例例3. 有一半径为有一半径为 R ，中心角为，中心角为 其线密度为常数其线密度为常数 求该细棒对质点的引力。求该细棒对质点的引力。, 对应区间对应区间,+d解：解：小弧段对质点小弧段对质点 的引力为：的引力为：2dddRmmFGGRR ddcosxFF 故水平分力元素为故水平分力元素为的圆弧形细棒，的圆弧形细棒，在圆心处有一质量为在圆心处有一质量为 m 的质点，的质点，dyFdxFdFd 机动机动 目