正多边形与圆

1、 九年级上 24.3 正多边形和圆一：知识点导入1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .3. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .4. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .5. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .二：新知识回顾（1） 正多边形:各边相等,各角也相等的多边形是正多边形正多边形的性质：1.正多边形各边相等；正多边形各角相等。2.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称

2、轴都通过正n边形的中心边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心3.边数相同的正多边形相似它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方正多边形的判定：1. 依次连结圆的n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形2. 经过圆的n(n3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形（2） 正多边形和圆的关系:1.将一个圆n（n)3等分（可以借助量角器）,依次连接各等分点所得的多边形就叫做这个圆的内接正多边形,这个圆是这个正多边形的外接圆.正多边形的中心：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径正

3、多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心,中心角的度数是.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距2. 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形,这个圆叫做这个正多边形的内接圆，这个多边形叫做外接正多边形。 3.正多边形外接圆和内接圆的关系定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆(三)正多边形的有关计算1.正边形每一个内角的度数是；2.正边形每个中心角的度数是；3.正边形每个外角的度数是.(四)正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.2

4、.用尺规等分圆对于一些特殊的正边形，可以用圆规和直尺作图.三：例题剖析（ 至少10个例题与习题 ）【例1】已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径 因此，所求的正六边形的周长为6a 在RtOAM中

5、，OA=a，AM=AB=a OM=a 【变式练习】已知，如图，正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的O，求这个八边形的面积.四：思维误区判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形).例2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若分别以A、B、C、D为圆心，以OA长为半径作弧，分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.求证：八边形EFGHKLMN是正八边形.例3:已知：如图，ABC是O的内接等腰三角形，顶角A=36°，弦BD、CE分别平分ABC、ACB

6、.求证：五边形AEBCD是正五边形 【变式练习】某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，是正三角形，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形； 丙同学：我能证明边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形；（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形（不必写已知、求证）；（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）.例4（2013内江）如

7、图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为 cm五：难点讲解例5:已知O的半径为R，求它的内接正三角形ABC的内切圆的内接正方形DEFG的面积例6:右图的花环状图案中,ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形. （1）求证:1=2;（2）找出一对全等的三角形并给予证明.ABCDOMNE图3例7:如图M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON。ABCDOMN图2ACBMNO图1（1）求

8、图1中MON的度数；（2）图2中MON的度数是_，图3中MON的度数是_； （3）试探究MON的度数与正n边形边数n的关系.例8:正八边形有_条对称轴，它不仅是_对称图形，还是_对称图形【提示】正n边形有n条对称轴正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形【答案】8，轴，中心巩固练习(一)填空1.边长为2 a的正六边形的面积为_(二)判断2各角都相等的圆内接多边形是正多边形（ ）【答案】×【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形3正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形（ ）【答案】×【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形(三)选择 4下列图形中，既

9、是轴对称图形，又是中心对称图形的是(     )   A等腰梯形    B平行四边形   C. 等边三角形  D圆例9:如图，O是等边三角形ABC的外接圆，D、E是O上两点，则D °，E °【变式练习】如图,正方形ABCD内接于O,点E在弧AD上,则BEC等于多少?六：拓展讲解例10：如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径（1）请你添加一个条件，使图中的四边形ABCD成等腰梯形，这个条件是 （只需填一个条件）。（2）如果CDAB，请你设计一

10、种方案，使等腰梯形ABCD分成面积相等的三部分，并给予证明七：总结知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形知识点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距3.正多边形的有关计算(1)正边形每一个内角的度数是

11、；(2)正边形每个中心角的度数是；(3)正边形每个外角的度数是.知识点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正边形的半径和边心距把正边形分成2个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.八：家庭作业-温方才能知新A组1、 一起填一填1已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距_2. 一个正多边形绕它的中心旋转60°和原来的图形重合，那么这个正多边形是_3. 有一边长为4的正n边形，它的一个内角是120°，则其外接圆的

12、半径为_4. 正六边形一组对边间的距离为6，那么这个正六边形的半径是_5. 同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是_6. 正九边形的半径为R，则它的边长是_7. 一个正n边形的中心角是它的一个内角的1/5，则n=_.8. 两个正六边形的边长分别是3和4，则这两个正六边形的面积之比是_.2、 判断题(一)判断：1.正多边形的中心角等于它的每一个外角.( ) 2.若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( ) 3.各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )(二)判断下列各种图形是否一定是正多边形（是打“”，不是打“×”）。（1）等

13、边三角形（ ） （2）矩形（ ） （3）菱形（ ）（4）正方形（ ） （5）各角相等的圆内接多边形（ ）（6）各边相等的圆内接多边形（ ）（7）顺次连接正多边形各边中点所得的多边形（ ）（8）既有内切圆又有外接圆，并且这两个圆是同心圆的多边形（ ）B组3、 填空题1.正n边形的中心角等于_，正n边形的每一个内角等于_。正n边形的每一个外角等于_。正n边形内角和_。2.正n边形都是_对称图形，正n边形共有_条对称轴；正n边形满足什么条件时_，那又是中心对称图形，对称中心是_。3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成_个全等的直角三角形，每个直角三角形的边分别是指正n边形的_4.一个外角等于它的一

14、个内角的正多边形是正_边形.5.正八边形的中心角的度数为_,每一个内角度数为_,每一个外角度数为_.6.边长为6cm的正三角形的半径是_cm,边心距是_cm,面积是_cm.7.面积等于cm2的正六边形的周长是_.8.正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是_cm.9.正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是_cm.10.若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是_11.正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是_12.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是: _13.正三角形的边心距、半径和高的比是_4、 简答题如图：四边

15、形ABCD为正方形，M、N分别是BC和CD中点，AM与BN交于点P，(1)请你用几何变换的观点写出BCN是ABM经过什么几何变换得来的；(2)观察图，图中是否存在一个四边形，这个四边形的面积与APB的面积相等？写出你的结论.(不必证明)(3)如图：六边形ABCDEF为正六边形，M、N分别是CD和DE的中点，AM与BN交于点P，问：你在(2)中所得的结论是否成立？若成立，写出结论并证明，若不成立请说明理由.一、选择题（题型注释）1在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是 （ ） A三条中线的交点 B三条高线交点C三个内角平分线交点D三边垂直平分线交点2三角形的外心是（ ）A各内角的平分线的交点

16、B各边中线的交点 C各边垂线的交点 D各边垂直平分线的交点3如图，O内切于，切点分别为，连结，则等于（ ）A B C D 4正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（ ）A10 B8 C6 D55下列命题中，正确的有（ ）平分弦的直径垂直于弦；三角形的三个顶点确定一个圆；圆内接四边形的对角相等；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等A1个 B2个 C3个 D4个6（3分）如图，正方形ABCD和正AEF都内接于O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）A B C D27如图，正方形ABCD的四个顶点分别在O上，点P在上不同于点C的任意一点，

17、则BPC的度数是（ ）A、45° B、60° C、75° D、90°8如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口的值应是A cm BcmC cm D1cm9若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）A30° B60° C90° D120°10如图，正六边形ABCDEF内接于O，若直线PA与O相切于点A，则PAB=（ ）A30° B35° C45° D60°11如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A B C D12

18、圆内接四边形ABCD，A，B，C的度数之比为3:4:6，则D的度数为（ ）A60° B80° C100° D120° 13同圆的内接正三角形与正六边形的边长之比为（ ）A1：2 B1：1 C：1 D2：114如图，O是正方形ABCD的外接圆，点P在O上，则APB等于（ ）.A30° B45° C55° D60°15已知圆的内接正六边形的周长为36，那么圆的半径为（）A6 B4 C3 D216正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（ ）A B C D17如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前3个五边形，要完成这一

19、圆环还需（ ）个五边形A6 B7 C8 D918（3分）一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）A12mm Bmm C6mm Dmm19如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）A B C D20有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ）A50cm B25c

20、m C50cm D50cm21如图，正六边形ABCDEF内接于O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为（ ）A2， B，C， D，22已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）（A） （B） （C） （D）23边长为1的正六边形的内切圆的半径为 （A）2 （B）1 （C） （D）24如图，一个半径为r（r1）的圆形纸片在边长为10的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（ ） Ar2 B Cr2 Dr2 25如图，O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于O，则图中阴影部分面积为 cm2（结果保留）26正方形的边长为6，则其外接圆

21、半径与内切圆半径的大小分别为（ ）A6， B，3 C6,3 D，27同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（ ） A1 B21 C12 D128半径为的圆内接正三角形的面积是（ ）A B C D29正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（ ）A B2 C3 D230如图，在PQR是O的内接三角形，四边形ABCD是O的内接正方形，BCQR，则AOR=（ ）ARCDPOBQA60° B65° C72° D75°31周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6

22、S3 32如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ ）A B12mm C D33（2014和平区三模）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ）A. B. C. D.34（2014南开区二模）若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）A.6，3 B.6，3 C.3，6 D.6，335（2014河西区一模）正六边形的边心距与边长之比为（ ）A.1：2 B.：2 C.：1 D.：236（2014闵行区三模）如图，在O中，OA=AB，OCAB，交O于点C，那么下列结论错误的是（ ）A.BAC=30° B.弧AC等于弧BCC.线段

23、OB的长等于圆内接正六边形的半径D.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长37（2014东丽区一模）正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（ ）A.4 B.6 C.7 D.838（2014宝坻区一模）圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（ ）A.12 B.6 C.12 D.639（2014汉沽区一模）O的半径等于3，则O的内接正方形的边长等于（ ）A.3 B.2 C.3 D.640（2014建湖县一模）半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（ ） A.8cm B.4cm C.8cm D.4cm41（2014天津）正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（ ）A. B.2 C