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1、第三讲第三讲线性变换及其矩阵表示不变子空间一、线性变换的定义和基本性质一、线性变换的定义和基本性质定义：一个集合到它自身的映射，称为该集合的一个变换。定义：设V是数域F上的线性空间，T是V的一个变换，如果满足条件：)()( , )2()()()( , ) 1 (kTkTFkVTTTV则称T是V上的线性变换。线性变换与同构映射的异同.)( )4(.)( , ) 3().()( ,- )2(. 0)( 1IVIFkkVTTVToVo，定义为：恒等变换（单位变换），定义为：数乘变换），定义为：负变换，定义为：，零变换）（几个特殊的线性变换：. )4(0)(0 )()( ) 3().()( )2(.

2、0)0( 11111组量组变成线性相关向量线性变换将线性相关向性组合关系不变线性变换保持向量的线）（线性变换的基本性质：imiimiiiimiimiiiTTTTTTkkkk二、线性变换的运算二、线性变换的运算).( ).()( , )( ).( ).()()( ).()( ).()()( , )( .)( 2121212121212121VLTTTTTTVVLTTVLkTTkkTVFkVLTVLTTTTTTVVLTTVVL（，线性变换的乘积：），（，数量乘法：（，线性变换的和：上所有线性变换的集合为线性空间定理:L(V)对于上述定义的加法和数量乘法构成数域F上的线性空间.).( . )( )(

3、11VLTSTISTTSVLSVLTTT的逆变换，记为称为是可逆的，则称，使得如果存在，定义：设三、线性变换的矩阵三、线性变换的矩阵. 21212121下的矩阵，在基称为线性变换矩阵），（），（，使得的一组基，存在矩阵是，的一个线性变换，是维线性空间，上的是数域设nnnnTAATTTAVVTnFV. 1212121212121换在不同基下的矩阵矩阵可看作同一线性变反之，相似基下的矩阵是相似的；定理：线性变换在不同，则的过渡矩阵为，到，从，和下的矩阵分别为，和，在基的两组基，线性变换是，和，的一个线性变换，是维线性空间，上的是数域设基ACBCBATVVTnFVCnnnnnn四、线性变换的值域与核四、线性变换的值域与核0|ker )(|Im )(TVTTTVLTVTTVTTTVLT的核，集合称为映射成零向量的向量的所有被，定义：设的值域，的全体象的集合称为，定义：设).rank(Im dim 2Im 1 )(.dimker dimIm dim )(2121ATTTTLTTAVVLTVTTVLTnn）（）；，（）（在这组基下的矩阵，则是的一组基，是，定理：设则，定理：设的基和维数。和求在这组基下的矩阵线性变换维线性空间的一组基，是，设例KerIm 2111-10121 3 321五、不变子空间五、不变子空间?. )(数乘变换的不变子

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