第九章三向应力状态(6,7,8)

1、9-6 9-6 空间应力状态下的变形比能空间应力状态下的变形比能单元体应变能（应变能密度）单元体应变能（应变能密度）单位体积单位体积的应变能的应变能2 2、单元体变形功：、单元体变形功：dydxdzxzyddd11 yzxddd22 zxyddd33 2 13 单向拉伸变形比能：单向拉伸变形比能：. 121v3 3、单元体应变比能、单元体应变比能xzyddd2111dWyzxddd2122zyxddd2133Vzyxdddd21332211 zyxzyxddd/ddd21332211 33221121 VVvdd332211212121v）（）（）（213313223211111EEE)(22

2、1133221232221Ev123mmm1m2m3m变形比能变形比能=体积改变比能体积改变比能+形状改变比能形状改变比能m1233dVvvv)(221133221232221Ev2m2)21 ( 3E1261232E()Vdvvv213232221)()()(61Evd123mmmm13mm2)(221mmmmmm2m2m2mEvV9-189-18求证求证证明：证明：GE)1 (2maxmin( , )0( ,)0 minmax23123221)2(21211EEGvGE)1 (2321,0,maxNmaxAF maxmaxWMz S AFtmaxmax WT*maxmaxSmax bISF

3、zz9-7 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力maxmax（2）材料的许用应力）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯是通过拉（压）试验或纯剪剪试验测定试试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得除以适当的安全因数而得,即根据直接的即根据直接的试验结果建立的强度条试验结果建立的强度条件件.上述强度条件具有如下特点上述强度条件具有如下特点（1）正应力和切应力危险点分别处于）正应力和切应力危险点分别处于单向应力状态单向应力状态或或纯剪切纯剪切应力状态应力状态; 但是对于材料在一般平面应力状态

4、下以及三向应力状态下的但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所以材料强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所以材料破坏的极限应力无法通过试验加以测定。破坏的极限应力无法通过试验加以测定。因而需要通过对材料破坏因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强度破坏的起决定作用的主要度破坏的起决定作用的主要因素，从而得到材料破坏由主要因素引因素，从而得到材料破坏由主要因素引起的假说起的假说强度理论，例如利用单向拉伸试验测得的强度的一些

5、强度理论，例如利用单向拉伸试验测得的强度的一些结果为主要因素，来推断复杂应力状态下材料的强度。结果为主要因素，来推断复杂应力状态下材料的强度。工程中常用的强度理论按上述工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型两种破坏类型分为分为 . . 研究脆性断裂力学因素的研究脆性断裂力学因素的第一类第一类强度理论，强度理论，其中包括其中包括最大拉应力理论和最大拉应变理论最大拉应力理论和最大拉应变理论； . . 研究塑性屈服力学因素的研究塑性屈服力学因素的第二类第二类强度理论，强度理论，其中其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。 (1) 最大拉应力理论最大拉应力理论

6、(第一强度理论第一强度理论)： 这个理论这个理论认为引起材料认为引起材料脆性断裂破坏脆性断裂破坏的主要因素是最大拉应力，的主要因素是最大拉应力，无论在什么应力状态下，当一点处三个主应力中的拉无论在什么应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力伸主应力 1达到该材料在单轴拉伸试验的极限应力达到该材料在单轴拉伸试验的极限应力 u，材料就发生脆性断裂破坏。材料就发生脆性断裂破坏。可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为u1 而而相应的强度条件则是相应的强度条件则是 1其中，其中， 为对应于脆性断裂的许用拉应力，为对应于脆性断裂的许用拉应力， u/n，而，而n为安

7、全因数。为安全因数。三、几个主要的强度理论三、几个主要的强度理论 试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响；此外，它个理论没有考虑其它两个主应力的影响；此外，它对某一点所

8、取的单元体在任何截面上都没有拉应力对某一点所取的单元体在任何截面上都没有拉应力的情况就不再适用。的情况就不再适用。 (2)最大拉应变理论最大拉应变理论( (第二强度理论第二强度理论) ) ：这个理这个理论认为引起论认为引起材料脆性断裂破坏材料脆性断裂破坏的主要因素是最大拉的主要因素是最大拉应变，无论在什么应力状态下，当一点处的最大拉应变，无论在什么应力状态下，当一点处的最大拉应变应变 1达到该材料在单轴拉伸的极限拉应变达到该材料在单轴拉伸的极限拉应变 u，材，材料就会发生脆性断裂破坏。料就会发生脆性断裂破坏。可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为u1 对应

9、于式中材料脆性断裂的极限拉线应变对应于式中材料脆性断裂的极限拉线应变 u， 如果是由单轴拉伸试验如果是由单轴拉伸试验而发生脆性断裂情况下而发生脆性断裂情况下测定的测定的( (例如对铸铁等脆性金属材料例如对铸铁等脆性金属材料) )，那么，那么 u u/E。 EEu3211 亦即亦即 u321 而而相应的强度条件相应的强度条件为为 321 按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。则第二

10、强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：用的如下应力形式表达： 煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。方向，这与第二强度理论的结果相近。 (3) 最大切应力理论最大切应力理论( (第三强度理论第三强度理论) )： 这个理论这个理论认为引起认为引起材料屈服破坏材料屈服破坏的主要因素是最大切应力，无的主要因素是最大切应

11、力，无论在什么应力状态下，当一点处的最大切应力论在什么应力状态下，当一点处的最大切应力 max达达到该材料在轴向拉伸试验中屈服时最大切应力的极限到该材料在轴向拉伸试验中屈服时最大切应力的极限值值 u时，材料就发生屈服破坏。时，材料就发生屈服破坏。第三强度理论的屈服判据为第三强度理论的屈服判据为umax 对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限 s s，从而有，从而有 u s/2的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写为为22s31 s31 即即而而相应的强度条件相应的强度条件则为则为 31 (4) 形状改变比能理论形状改变比能理论(

12、(第四强度理论第四强度理论) ) ：该理论认该理论认为引起为引起材料屈服破坏材料屈服破坏的主要因素是形状改变比能，无论的主要因素是形状改变比能，无论在什么应力状态下，只要一点处的形状改变比能在什么应力状态下，只要一点处的形状改变比能vd达到达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能vdu时，材料即会时，材料即会发生屈服破坏。发生屈服破坏。 第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理简单，故它在

13、工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力论没有考虑中间主应力2的影响，其带来的最大误的影响，其带来的最大误差不超过差不超过15，而在大多数情况下远比此为小。，而在大多数情况下远比此为小。于是，第四强度理论的屈服判据为于是，第四强度理论的屈服判据为dudvv 对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限 s的材料，注的材料，注意到试验中意到试验中 1 s， 2 30，而相应的形状改，而相应的形状改变能密度的极限值为变能密度的极限值为2sdu261 Ev故屈服判据可写为故屈服判据可写为 2s21323222126161 EE213232221)()()(61Evd此

14、式中，此式中， 1、 2、 3是构成危险点处的三个主应力，是构成危险点处的三个主应力，相应的强度条件相应的强度条件则为则为 21323222121 这个理论比第三强度理论更符合已有的一些这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。半采用计算较为简便的第三强度理论。亦即亦即 s21323222121 (5) 强度理论的相当应力强度理论的相当应力 上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：作如下形式： r式中，式中， r是根据不同强度理论

15、以危险点处以主应力是根据不同强度理论以危险点处以主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件条件 中的拉应力中的拉应力 ，通常称，通常称 r为为相当应力相当应力。表。表7- -1示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。相当应力表达式相当应力表达式强度理论名称及类型强度理论名称及类型 第一类强第一类强度理论度理论( (脆性脆性断裂的理论断裂的理论) )第二类强度第二类强度理论理论( (塑性塑性屈服的理论屈服的理论) )第一强度理论第一强度理论 最大拉应力理论最大拉应力理论第二强度理论第二强度理论 最大伸

16、长线应变理论最大伸长线应变理论第三强度理论第三强度理论 最大切应力理论最大切应力理论第四强度理论第四强度理论 形状改变能密度理论形状改变能密度理论1r1 321r2 313r 2/1213232221r4 21 表表7-1 四个强度理论的相当应力表达式四个强度理论的相当应力表达式 一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如低温

17、能提影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；高脆性，高温一般能提高塑性； 在高速动载荷作用下在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。无论是塑性材料或脆性材料：无论是塑性材料或脆性材料： 在在三向拉应力接近相等的情况三向拉应力接近相等的情况下，都以下，都以断裂断裂的形式破坏，的形式破坏，所以应采用所以应采用最大拉应力理论最大拉应力理论； 在在三向压应力接近相等的情况三向压应力接近相等的情况下，都可以引起下，都可以引起塑性塑性变形，变形，所以应该采用所以应该采用第三或第四强度理论第三或第四强度理论。一一. .适用

18、范围（适用范围（The appliance range）（2）塑性材料选用第三或第四强度理论）塑性材料选用第三或第四强度理论;（3）在二向和三向等拉应力时）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏脆性破坏,故选用第一或第二强度理论故选用第一或第二强度理论;（1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论）一般脆性材料选用第一或第二强度理论;（4）在二向和三向等压应力状态时）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论故选用第三或第四强度理论.9-8 9-8 各种各种强度理论的强度理

19、论的适用范围适用范围及其应用及其应用二二. .强度计算的步骤强度计算的步骤 （Steps of strength calculation）（1 1）外力分析）外力分析:确定所需的外力值确定所需的外力值;（2 2）内力分析）内力分析:画内力图画内力图, ,确定可能的危险面确定可能的危险面;（3 3）应力分析）应力分析:画危面应力分布图画危面应力分布图,确定危险点并画出单元体确定危险点并画出单元体,求主应力求主应力;（4 4）强度分析）强度分析:选择适当的强度理论选择适当的强度理论, ,计算相当应力计算相当应力, ,然后进然后进行强度计算行强度计算. .三三. .应用举例（应用举例（Example

20、sExamples） 和和 maxminxyxyx2222r3=1-3= 213232221)()()(21 r4=22r422r33,4 注意：注意：在解题时，可直接引用以上两式，而不必在解题时，可直接引用以上两式，而不必推导。推导。、是横截面危险点的应力。是横截面危险点的应力。（a）Dyz（b）MPa904 tpD0MPa90MPa180321 MPa155 )()()(212132322214r MPa1802 tpD （b） （c）70 MPa140 MPa80 MPa（d）50MPa（a）MPa120)0120()120120()1200(212224r 01 MPa12032 MP

21、a120)120(0313r MPa128)140(1103021MPa1402224r313r 1140MPa110MPa2 03 （a） 180MPa-70MPa2 -3140MPa28. 572.9440)23070(2307022minmax MPa72941. MPa2853. MPa502 zMPa2203r MPa1954r MPa44893r. MPa5 .774r 140 MPa80 MPa（c）70 MPa（d）50MPaFFMPa7 .351 . 0700016MPa37. 6101 . 05043t32N WTAF32397 .35)237. 6(237. 6)2(22

22、222minmax MPa32, 0,MPa39321 1 MPa4 .9410)37. 73 . 088. 1(3 . 011 . 2 )(1722 yxxE xyAA GEEExyxyyxzxyyyxx 11yxxE21xyyE21003r7 . 71701701 .183 MPa1 .18310)88. 13 . 037. 7(3 . 011 . 2)(1722 xyyE 0,MPa4 .94,MPa1 .183321 MPa1 .183313r 例例9-24 9-24 其次确定主应力其次确定主应力例例9-25 填空题。填空题。 冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，冬天自来水管冻裂而管内冰

23、并未破裂，其原因是冰处于其原因是冰处于 应力状态，而水管应力状态，而水管处于处于 应力状态。应力状态。三向压三向压二向拉二向拉 石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵截面裂开，这与第截面裂开，这与第 强度理论的论述基本强度理论的论述基本一致。一致。二二例例9-269-26在纯剪切应力状态下：在纯剪切应力状态下：用第三强度理论用第三强度理论和第四强度理论得出塑性材料的许用剪应力与和第四强度理论得出塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比。许用拉应力之比。解解（1）纯剪切应力状态下三个主应力分别为纯剪切应力状态下三个主应力分别为1230,第三强度理论的强度条件为：第三

24、强度理论的强度条件为：132 () 由此得：由此得：2剪切强度条件为：剪切强度条件为： 按第三强度理论可求得：按第三强度理论可求得： 5 . 0（2 2）第四强度理论的相当应力：第四强度理论的相当应力：按第四强度理论可求得：按第四强度理论可求得：3)()()(21213232221由此得：由此得： 3剪切强度条件为：剪切强度条件为： 578. 03第四强度理论强度条件第四强度理论强度条件 1、三向应力状态中，若三个主应力都等于、三向应力状态中，若三个主应力都等于，材料的弹性模量和泊松比分别为材料的弹性模量和泊松比分别为E和和 ，则三个，则三个 主应变为主应变为 。例例9-27 填空题。填空题。

25、112322313312111EEE（）（）（） 2、第三强度理论和第四强度理论的相当、第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为应力分别为r3及及r4，对于纯剪应力状态，恒，对于纯剪应力状态，恒有有r3r4。例例9-27填空题。填空题。1230 ,r3132 ()r4122232312123()()() 试校核图试校核图a所示焊接工字梁的强度。已知：梁所示焊接工字梁的强度。已知：梁的横截面对于中性轴的横截面对于中性轴z的惯性矩为的惯性矩为 Iz = 88106 mm4；半个横截面对于中性轴；半个横截面对于中性轴z的静矩为的静矩为S*z,max = 338103 mm3；梁的材料为；梁的材料为

26、Q235钢，其许用应力钢，其许用应力为为 170 MPa， 100 MPa。y例例9-28 由由FS和和M图可见，图可见，C偏偏左截面为危险截面，其左截面为危险截面，其应力分布如图应力分布如图d所示，所示， max在横截面的上、下在横截面的上、下边缘处，边缘处， max在中性轴在中性轴处，处，a点处的点处的 a、 a也比也比较大，且该点处于平面较大，且该点处于平面应力状态。该梁应当进应力状态。该梁应当进行正应力校核、切应力行正应力校核、切应力校核，还应对校核，还应对a点用强度点用强度理论进行校核。理论进行校核。(b)(c)yza(e) a max max a(d)(a)例例9-281. 按正应

27、力强度条件校核按正应力强度条件校核 弯矩图如图弯矩图如图c所示，可知最大弯矩为所示，可知最大弯矩为Mmax80 kNm。最大正应力为最大正应力为 MPa4 .136m1088m10150mN10804633maxmaxmax zIyM故该梁满足正应力强度条件。故该梁满足正应力强度条件。(c)例例9-28y2. 按切应力强度条件校核按切应力强度条件校核此梁的剪力图如图此梁的剪力图如图b，最大剪力为最大剪力为FS,max=200 kN。梁的所有横截面上切应力的最大值在梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截段各横截面上的中性轴处：面上的中性轴处： MPa4 .85m109m1088m10338

28、N10200346363*max,max,Smax dISFzz 它小于许用切应力它小于许用切应力 , ,满足切应力强度条件。满足切应力强度条件。(b)例例9-28y3. 用强度理论校核用强度理论校核a点的强度点的强度a点的单元体如图点的单元体如图f所示，所示，a点的正应力和切应力分点的正应力和切应力分别为别为 MPa7 .122m1088m10135mN10804633max zaaIyM MPa6 .64 m109m1088m10)5 . 7135(m1015m10120N102003463333*,max,S dISFzaza a aa(f)y例例9-28 由于梁的材料由于梁的材料Q23

29、5钢为塑性材料，故用第三或钢为塑性材料，故用第三或第四强度理论校核第四强度理论校核a点的强度。点的强度。MPa166)MPa6 .64(3)MPa7 .122(3%5%6 . 4%100178170-178MPa178)MPa6 .64(4)MPa7 .122(42222r42222r3 aaaa 所以所以a点的强度也是安全的。点的强度也是安全的。 例例9-28 例例9-29 两端简支的工字钢梁承受荷载如图两端简支的工字钢梁承受荷载如图a所示。所示。已知已知材料（材料（Q235钢）的许用应力为钢）的许用应力为 =170MPa和和 = 100MPa。试按强度条件选择工字钢号码。试按强度条件选择工

30、字钢号码。解：首先确定钢梁的危解：首先确定钢梁的危险截面。险截面。 作出梁的剪力图和弯作出梁的剪力图和弯矩图如图矩图如图b和图和图c所示，可所示，可见见C、D截面为危险截面，截面为危险截面，取取C截面计算，其剪力和截面计算，其剪力和弯矩为：弯矩为：kN200max,SS FFCmkN84max MMC(b) 200kN200kNFS图M图(c) 84kNm(a) B0.42 m2.50 mAC200 kN200 kN0.42 m1.66 mD 先按正应力强度条件选择截面型号。因最大先按正应力强度条件选择截面型号。因最大正应力发生在正应力发生在C截面的上、下边缘处，且为单向截面的上、下边缘处，且

31、为单向应力状态，由正应力强度条件可得截面系数为：应力状态，由正应力强度条件可得截面系数为：3663maxm10496101701084MW据此可选用据此可选用28a号工字钢，其截面系数为：号工字钢，其截面系数为：36m10508W 再按切应力强度条件进行校核。对再按切应力强度条件进行校核。对28a号工号工字钢，查表可得截面几何性质为：字钢，查表可得截面几何性质为：46m1014.71zIm1062.242max,zzSIm1085. 02d中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：100MPaMPa5 .951085. 01062.2410200223ma

32、x,max,SmaxdISFzz 可见，选用可见，选用28a号工字钢满足切应力强度条件，号工字钢满足切应力强度条件，简化的截面形状和尺寸以及应力分布如图简化的截面形状和尺寸以及应力分布如图d所示。所示。(d)a12213.728013.78.5126.3126.3maxmax 利用图利用图d所示的截面简化尺寸和已有的所示的截面简化尺寸和已有的Iz，可，可求得求得a点的正应力点的正应力 和切应力和切应力 分别为：分别为： 以上分析仅考虑了最大正应力和切应力作用的以上分析仅考虑了最大正应力和切应力作用的位置，而对工字型截面腹板和翼缘交界处（图位置，而对工字型截面腹板和翼缘交界处（图d中中的的a点）

33、，正应力和切应力都较大，且处于平面应点），正应力和切应力都较大，且处于平面应力状态（见图力状态（见图e），因此还需对此进行强度校核。），因此还需对此进行强度校核。a(e) MPa1 .1491014.711263. 0108463maxzIyMMPa8 .730085. 01014.711022310200663max,SdISFzz其中，其中，Sz为横截面的下缘面积对中性轴的静矩，为：为横截面的下缘面积对中性轴的静矩，为：361022320137. 0140. 00137. 0122. 0mzS 由前例可得，图由前例可得，图e所示应力状态的第四强度理论所示应力状态的第四强度理论相当应力为：相

34、当应力为： 2. 图示平面应力状态为工程中常见的应力状态，图示平面应力状态为工程中常见的应力状态，其主应力分别为其主应力分别为0,)2(222213 将它们分别代入将它们分别代入 r3= 1 1- 3及及)()()(21213232221r4 后，得后，得在解题时，可直接引用以上两式，而不必推导。在解题时，可直接引用以上两式，而不必推导。22r422r33,4 例例9-292234r170MPaMPa4 .1968 .7331 .149322224r 可见，可见，28a号工字钢不能满足要求。改用号工字钢不能满足要求。改用28b号工字钢，按同样的方法可得：号工字钢，按同样的方法可得：MPa2 .1734r误差误差1.88%可用。可用。若用第三强度理论，则相当应力为：若用第三强度理论，则相当应力为：请自行计算最终结果。请自行计算