暨南大学应用数学硕士答辩模板

1、含有相继时变时滞的系统的稳定性分析暨南大学数学系论文答辩指导教师：作 者：2022-6-9论文结构基础知识基础知识2含有相继时变时滞的中立型系统的稳定性分析5线性系统的稳定性分析3绪论绪论1含有相继时变时滞的线性系统的稳定性分含有相继时变时滞的线性系统的稳定性分析析4网络控制系统的稳定性分析7结论与展望结论与展望8含有相继时变时滞的神经网络的稳定性分析含有相继时变时滞的神经网络的稳定性分析6含有相继时变时滞的线性系统的稳定性分含有相继时变时滞的线性系统的稳定性分析析4含有相继时变时滞的线性系统的稳定性分含有相继时变时滞的线性系统的稳定性分析析4含有相继时变时滞的线性系统的稳定性分含有相继时变时

2、滞的线性系统的稳定性分析析4 4含有相继时变时滞的线性系统的稳定性分含有相继时变时滞的线性系统的稳定性分析析4l 研究背景研究背景 稳定性分析是时滞系统研究的一个重要问题。由于系统元件老化和机器磨损，会导致系统的测量、信号的传递存在时滞. 这往往致系统性能下降，甚至稳定性下降. 时滞作为系统的一种本质特性，不可能被完成消除. 这使得稳定性分析具有重要的理论和实际价值，从而一直成为时滞系统分析理论的一个热点问题. 时滞系统的研究主要有两种方法：频域法和时域法.时域法的理论基础是Lyapunov-Krasovskii稳定性定理和Lyapunov-Razumikhin稳定性定理，通过选取合适的Lya

3、punov函数来得到系统的稳定性的充分条件. 一、论文的研究背景和意义l 常用方法 本文将介绍以下几种常用的方法. (1)自由权矩阵法. 本质上使应用牛顿莱布尼茨公式. (2)积分不等式法. 利用积分不等式对交叉项放大处理. (3) 三重积分法. 构造Lyapunov函数时，引入三重积分项. (4)时滞分割法. 时滞分割法将时滞分割成若干部分。一、论文的研究背景和意义l 研究意义 由于网络传输条件的变化，当信号经过网络，从一端传输到另一端时，会导致产生不同性质的相继时变时滞。如：一、论文的研究背景和意义一、论文的研究背景和意义 评价时滞依赖准则保守性的指标 时滞依赖准则涉及到时滞上确界问题，当

4、时滞在上确界以下时，系统是稳定的. 取得的时滞上确界越大，说明时滞依赖准则保守性越小. 假设 先固定 ，利用准则求解 ，当求得的 越大，说明准则的保守性越小，该方法越好。12( ),hh th1h2h2h二 线性系统的稳定性分析 线性系统模型描述其中 是状态向量， 是具 有相应维数的常数矩阵， 是 初始状态函数， 时滞函数可微，且满足 其中， 和 是常数.( )x t1,A A12( ),( )h th t( ) t12,h hd12( )( )( ),0( )( ),0 x tAx tAx th ttx ttth 120( ),( ),0hh thh tdt 二 线性系统的稳定性分析 不确定

5、线性系统模型描述其中不确定参数矩阵 是范数有界不确定性系统，满足 其中， 是具有相应维数的常数矩阵 . 是未知矩阵，且满足 1,AA1,D EE( )F t( )( )TFt F tI112( )( +) ( )(+) ( ),0( )( ),0 x tAA x tAA x th ttx ttth 11( )AADF t E E二 线性系统的稳定性分析 创新之处 用区间时滞中点 将区间时滞分割成相等的两部分. 然而分割点为区间时滞中点时，得到的 的最大允许时滞上界不一定是任意区间时滞分割时获得的时滞上界的最大值. 因此，不是把时滞分割成相等的两个区间，而是用分割点 将时滞区间分割成任意两段，两

6、种情况进行讨论。第一种情况，当 时；第二种情况，当 时。 结合这两种情况，就得到了新的稳定性准则. 12()/2hhh12(1)hhh1( )hh th2( )h h th二 线性系统的稳定性分析 考虑具有如下系数矩阵的线性系统：1201 0,.00.911AA三 含有相继时滞的线性系统的稳定性分析 线性系统模型描述其中 是状态向量；时滞函数 可微，且满足： 其中， 是常数，并且假设：( )x t1112( )( +) ( )() ( )( ),0( )( ),0 x tAA x tAA x th th ttx ttth 12( ),( )h t h t11110( ),( ),h thh t

7、d 22220( ),( ),h thh td 1212,h h d d12( )( )( ),h th th t1212,.hhh ddd 11( ),AADF t E E( ) ( )TFt F tI三 含有相继时滞的线性系统的稳定性分析 考虑具有如下系数矩阵的线性系统： 对不同 ，系统最大允许时滞上界 1201010,011101AAD11.600.10cos0,( ).00.0500.30sintEEF ttd 0.5 0.9 文献17 0.9322 0.7590 文献18 0.9561 0.8919 定理 3.30.5（） 1.0043 0.9131 定理 4.2 1.0733 1.

8、0686 d三 含有相继时滞的线性系统的稳定性分析 考虑具有如下系数矩阵的线性系统： 对不同 ，系统最大允许时滞上界 1201010,011101AAD11.600.10cos0,( ).00.0500.30sintEEF ttd 0.5 0.9 文献17 0.9322 0.7590 文献18 0.9561 0.8919 定理 3.30.5（） 1.0043 0.9131 定理 4.2 1.0733 1.0686 d四 含有相继时滞的线性系统的稳定性分析 线性系统模型描述其中 是状态向量；时滞函数 可微，且满足： 其中， 是常数，并且假设： 是非线性扰动。( )x t123( ),( )( )

9、h t h th t， 11221122( )( )( )( )( )( , ( )( , ( )( )( , ( )0( )( ),0 x tAx tAx th th tA x ttEf t x tFf t x th th tGf t x tttx ttth ，11112222330( ),( ),0( ),( ),0( ),( ),h thh tdh thh tdthtd 1212,h h d d12123( )( )( ),max,h th th t hhh h1122( , ( ),( , ( )( ),( , ( )f t x tf t x th th tf t x tt四 含有相继

10、时滞的线性系统的稳定性分析 线性系统模型描述其中 是状态向量；时滞函数 可微，且满足： 其中， 是常数，并且假设： 是非线性扰动。( )x t123( ),( )( )h t h th t， 11221122( )( )( )( )( )( , ( )( , ( )( )( , ( )0( )( ),0 x tAx tAx th th tA x ttEf t x tFf t x th th tGf t x tttx ttth ，11112222330( ),( ),0( ),( ),0( ),( ),h thh tdh thh tdthtd 1212,h h d d12123( )( )( )

11、,max,h th th t hhh h1122( , ( ),( , ( )( ),( , ( )f t x tf t x th th tf t x tt四 含有相继时滞的线性系统的稳定性分析 创新之处 由于 ， ，可以得到 或 因此分两种情况来讨论. 第一种情况，当 时；第二种情况，当 时。结合引理引理 对于 向量 满当 时， ， 正定矩阵 若存在 满足 那么下列不等式成立： 1110( ),( )( )h th h th th11( ) ( ),h th t h1( ) , ,h th h11( ) (t),h thh12( ) ,h th h1( )0,1,( )1,Niiik tk

12、t111111*.( )*TNNTiiiiiNNNRSRk tR ( )it( )0ik t ( )0it0,iR (1,1,1,),ijSiNjiN 0,*iijjRSR四 含有相继时滞的线性系统的稳定性分析 考虑如下系统： 其中 当 见下表 121.20.10.60.7010,0.1110.8001cAAAEFGc1201,0,0,0.c1230.2,0.3,0,ddd五 含有相继时滞的神经网络系统的稳定性分析 系统模型其中 为神经状态向量; 为激活函数； 是恒定输入向量； 是连接权重矩阵， 是时滞连接矩阵，时滞函数 可微，且满足： 假设激活函数 有界，且满足 12( )( )( ( )(

13、 ( )( ),x tCx tAg x tBg x td td tu 12( )( )( )( )Tnx tx t x tx t( ( )g x 12Tnuu uuAB12( ),( )h t h t111122220( ),( ),0( ),( ),h thh tdh thh td ( )(1,2, )igin( )( )0,1,2, ,ijgxgyix yR xy inxy五 含有相继时滞的神经网络系统的稳定性分析 定理 对于给定常数 系统(6.1)渐近稳定，如果存在正定矩阵 正定对角矩 阵 ， 任意矩阵 ，使得下列线性矩阵不等式成立： 12120,0,0,0,hhdd123,(1,2,6

14、),P Q iR R R12312,(,)nT T Tdiag (1,4)jWj 120,T 0,1,4,*jjjRWjR3430,*RWR五 含有相继时滞的神经网络的稳定性分析 考虑具有如下系数矩阵的神经网络系统：当 和 时，对于不同的 ，求得的 的 值如表11220100.881,0.3,0.2,( )0.4tanh( ),( )0.8tanh( ).021111TCABuf ss fss120.7,0.1dd120.7,0.2dd1h2h六 网络控制系统的稳定性分析 考虑网络控制系统： 其中 是状态向量， 是输出， 是外部干扰输入， 是控制输入。传感器采用时间驱动方式，量化器、控制器、零

15、阶保持器是事件驱动方式. 网络控制系统如图 11( )( )( )( ),( )( )( )( ),x tAx tAu tEty tCx tC u tFt( )nx t ( )my t ( )lt()ut六 网络控制系统的稳定性分析 网络控制系统如图 六 网络控制系统的稳定性分析 网络控制系统如图 六 网络控制系统的稳定性分析 假设零阶保持器的更新时刻是 ， 在时刻 时，从传感器到零阶保持器的经历的网络时滞是 ，其中 是从量化器到控制器的网络时滞， 是从控制器到零阶保持器的网络时滞. 假设从信号传感器到量化器没有产生网络时滞. 设计如下状态反馈控制器 其中 是状态反馈增益矩阵。ktktkkkk

16、dkd1( )( (),kkkku tKf x tttt K六 网络控制系统的稳定性分析 考虑具有如下系数矩阵的系统： 此时 的特征值为 ， 开环系统的图像如图 110100.3,10 ,0.3,0.3.1210.3AAECCF A2.4142,0.414200.511.522.533.544.550123456789Time/sx(t) x1(t)x2(t) 六 网络控制系统的稳定性分析样本周期设 网络时滞 利用定理 求得可 状态初始值为 对于不同的 ，状态响应图. 10ms,T 10ms,40ms,2,mM -4.1973-1.2504,0.6678.K10.5,012345678-4-3

17、-2-10123Time/sx(t)K=-25.8121 -1.8823 x1(t)x2(t)012345678-3-2-1012Time/sx(t)K=-15.0568 -1.7493 x1(t)x2(t)012345678-1-0.500.511.5Time/sx(t)K=-7.0568 -3.7493 x1(t)x2(t)012345678-1.5-1-0.500.511.5Time/sx(t)K=-11.2369 -11.4589 x1(t)x2(t)K六 网络控制系统的稳定性分析假设摄动输入如下：sin0.8 , 525( )0,ttw t 其他05101520253035-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5Time/sx(t)K=-4.1973 -1.2504 x1(t)x2(t) 六 总结与展望 总结总结: : 本文基于Lyapunov稳定性理论，主要考虑了几类含有2个相继时变时滞的系统的稳定性问题，并且在此基础上，将结果应用到网络控制系统中，并对其进行 性能分析. 展望：展望：(1)如何把时滞分割成任意N部分以及在保证效率的同时，当N取何值时得到的时滞的上确界最大仍是进一步研究的工作. (2) 一个时滞系统可能含有