第一次课渐近线;广义积分收敛判断;定积分的应用多元微分的应用

1、一。渐进线的计算一。渐进线的计算1.渐近线的定义；渐近线的定义；2.渐近线的计算公式；（求有理函数垂直渐近线的计算公式；（求有理函数垂直渐近线：分母为零的点可能存在垂直渐进线）渐近线：分母为零的点可能存在垂直渐进线）3.例题：例题：14.考研题：考研题：2；22；24；27；29lim( )(lim( )xxf xcf xcyc( )yf xlim( )(- )(lim( )+-)xcxcf xf xxc 或（或）( )yf x函数的渐近线：函数的渐近线：渐近线的统一定义（渐近线的统一定义（参多媒体参多媒体）复习函数的水平及垂直渐近线的求法：复习函数的水平及垂直渐近线的求法：为为一条水平渐近线

2、；一条水平渐近线；为为一条垂直渐近线；（一条垂直渐近线；（几何意义）几何意义）1;arctan ;xyeyx yx1;ln ,tanyyx yxx例如：例如：均有水平渐近线；均有水平渐近线；均有垂直渐近线；均有垂直渐近线；注意点：求水平渐近线时应让注意点：求水平渐近线时应让x分别趋于正负分别趋于正负无穷求极限，如果得不同极限则得不同渐近线无穷求极限，如果得不同极限则得不同渐近线；对于求垂直渐近线类似；对于求垂直渐近线类似22221(1)12(1)(2)(2)xxxxyxxxxx2x lim ( )0 xf xaxb;xyaxb 2.垂直渐近线的求法：（垂直渐近线的求法：（求有理函数垂直渐近线求

3、有理函数垂直渐近线：分母为零的点：分母为零的点可能可能存在垂直渐进线存在垂直渐进线）例如：例如：垂直渐近线垂直渐近线3.斜渐近线斜渐近线： 则表示当则表示当是函数有一条斜渐近线。是函数有一条斜渐近线。( )f xyaxb( )lim ( )0lim0( )( )limlimlim0limxxxxxxf xaxbf xaxbxf xaxbf xaxxxxlim ( )xf xaxb斜渐近线的求法：设斜渐近线的求法：设的斜渐近线为：的斜渐近线为：；1）求）求a因因（斜渐近线之斜率斜渐近线之斜率）2）求出）求出a后再由后再由（斜渐近线之截距）斜渐近线之截距）即可求出一条斜渐近线，即可求出一条斜渐近线

4、，( )limxf xx( )lim0 xf xxlim ( )lim( )xxf xaxf xb注：注：1. 如果如果 不存在或为无穷大，则表示这时无斜渐近线。不存在或为无穷大，则表示这时无斜渐近线。2.如果如果，有水平渐近线有水平渐近线y=b，故在求斜渐近线时顺便故在求斜渐近线时顺便可求出水平渐近线。可求出水平渐近线。1)3)(2(2)(xxxxf)(xf)., 1 () 1 ,(,)(lim1xfx,)(lim1xfx1xxxfx)(lim) 1() 3)(2(2limxxxxx, 2xxxxx21)3)(2(2lim1) 1(2)3)(2(2limxxxxxx, 442 xy例例1求的

5、渐近线的渐近线.的定义域为的定义域为是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线.是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线.解解 易见函数易见函数又又考研题：考研题：1.曲线曲线1(21)xyxe的斜渐近线的方程为的斜渐近线的方程为2.曲线曲线*3.曲线曲线的斜渐近线的方程为的斜渐近线的方程为的斜渐近线的方程为的斜渐近线的方程为221xyx32(1)xyx4.4sin52cosxxyxx的水平渐近线为的水平渐近线为*5.1ln(1)xyex的渐近线的条数为的渐近线的条数为A。0； B。1； C。2； D。3答案：答案：1）. 2x+1；2）1124x 3）32x 4）155）D 二。广义积分敛散性的判

6、别法二。广义积分敛散性的判别法 判定一个广义积分的收敛性判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问是一个重要的问题题. 当被积函数的原函数求不出来当被积函数的原函数求不出来,或者求原函或者求原函数的计算过于复杂时数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来利用广义积分的定义来判断它的收敛性就不适用了判断它的收敛性就不适用了. 因此因此,我们需要其我们需要其它方法来判断广义积分的收敛性它方法来判断广义积分的收敛性.( ), ( )f xg x ,);(0)aa0( )g( ),()f xxax ( )ag x dx( )af x dx0g( )( ),()xfxax ( )ag x dx( )af x

7、 dx（一）。（一）。无穷限广义积分的审敛法无穷限广义积分的审敛法比较审敛原理：设比较审敛原理：设 在区间在区间上连续，上连续， 1）如果：）如果：且且收敛，则收敛，则收敛；收敛；2）如果：）如果：且且，发散，发散发散；则发散；则( ),(0)pcg xcx( )f x ,);(0)aa( )0f x ( ),()pMf xa xx ( )af x dx注：注：1.可将广义积分比较原理与级数相应比较法可将广义积分比较原理与级数相应比较法对比，其是类似的；对比，其是类似的；2.可通俗的说：大积分收敛，则小积分收敛；可通俗的说：大积分收敛，则小积分收敛；反反之，小积分发散，则大积分发散。之，小积分

8、发散，则大积分发散。设设在区间在区间上连续，且上连续，且如果存在常数如果存在常数M0,及及p1,使得：使得：则则； Cor1.令令收敛；收敛； 收敛收敛2）如果存在常数）如果存在常数N0,使得：使得：( ),()Nf xaxx 发散；发散；( )af x dx则则( )f x ,);(0)aa( )0f x lim( ),(1)pxx f xp( )af x dxlim( ),(1)xxf xp( )af x dxCor3（极限形式）设（极限形式）设在区间在区间上连续，且上连续，且则则1）当）当存在时存在时收敛；收敛；2）当）当存在或为无穷大时，存在或为无穷大时，发散；发散；( )af x d

9、x( )af x dxDef：绝对收敛：如果积分：绝对收敛：如果积分收敛，则称级数收敛，则称级数定理：绝对收敛级数必收敛定理：绝对收敛级数必收敛绝对收敛绝对收敛1341xdx,111103/4434xxx, 134 （ 二）。例题选讲二）。例题选讲无穷限广义积分的审敛法无穷限广义积分的审敛法例例1 判别广义积分判别广义积分的敛散性的敛散性.解解 因为因为这里这里故由推论故由推论1知，题设广义积分收敛知，题设广义积分收敛.121xxdx, 111lim22xxxx, 12 p例例2 判别广义积分判别广义积分的敛散性的敛散性.解解 因为因为这里这里故由推论故由推论2知，题设广义积分收敛知，题设广义

10、积分收敛.122/31dxxx,1lim1lim2222/3xxxxxxxx例例3 判别广义积分的敛散性的敛散性.解解 因为因为 故根据推论故根据推论2知，题设广义积分发散知，题设广义积分发散.dxxex111x,11xxex1arctandxxx,2arctanlimarctanlimxxxxxx例例4 判别广义积分判别广义积分的敛散性的敛散性.解解 因为当因为当时，时， 故由推论故由推论1知，题设广义积分发散知，题设广义积分发散 .例例5 判别广义积分判别广义积分解解 因为因为 故根据推论故根据推论2知，题设广义积分发散知，题设广义积分发散 .的敛散性的敛散性.0sinbxdxeaxba,

11、. 0a,sinaxaxebxedxeax0dxbxeax|sin|0例例6 判别广义积分判别广义积分的收敛性，其中的收敛性，其中都是常数，且都是常数，且解解 而而收敛收敛 .收敛，故题设广义积分收敛收敛，故题设广义积分收敛 .adxxx23sin)0( a,1|sin|223xxxdxxa21dxxxa|sin|23dxxxa23sin例例7 判别广义积分判别广义积分.解解 由于由于而而收敛，故收敛，故收敛，即收敛，即绝对收敛绝对收敛 .( ), ( )f xg x( , a b0( )g( ),f xx( )ag x dx( )af x dx（三）无界函数的广义积分审敛法（三）无界函数的广

12、义积分审敛法定理：（比较原理）设函数定理：（比较原理）设函数在区间在区间上连续，上连续， 1）如果：）如果：且且收敛，则收敛，则收敛；收敛；当当x充分靠近点充分靠近点a时有时有0( )g( ),f xx( )af x dx( )ag x dx2）如果：当）如果：当x充分靠近点充分靠近点a时有时有且且发散则发散则发散发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的（即大的收敛则小的也收敛，反之小的发散则大的也发散）发散则大的也发散）( ),(0)()pcg xcxa( )f x( , a b0( )0, lim( )xaf xf x 1q ( ),()()qMf xaxbxa( )af x dx取取Cor

13、3设设在区间在区间上连续，且上连续，且1）如果存在常数如果存在常数M0,及及,使得使得：则则收敛；收敛；( ),()()qNf xaxbxa( )af x dx2）如果存在常数）如果存在常数N0,及及q1,使得使得则则发散发散( )f x( , a b0( )0, lim( )xaf xf x 0lim ()( )qxaxaf x ( )af x dx1q 00lim()()0(lim()() = +)qxaqxaxafxdxafx或( )af x dxCor4.（极限形式）（极限形式）设设在区间在区间上连续，且上连续，且如果存在常数如果存在常数0q1,2）n=1，m=1,2； 3）n=1，m

14、2讨论讨论1I对于对于对于对于2I当当 0p1时时1lim( )(1)0pxf xx故无论故无论 对于任意的对于任意的m，n均收敛，故选（均收敛，故选（D）（罗比达）（罗比达）1I2I三。定积分的应用三。定积分的应用 1.定积分的元素法（参多媒体定积分的元素法（参多媒体） 平面图形面积；直角坐标，极坐标，例平面图形面积；直角坐标，极坐标，例1,7 体积旋转体体积，例体积旋转体体积，例1,4,5；平行截面面积；平行截面面积已知体积，例已知体积，例7；考研题：；考研题：1,3,5,6 物理应用：（物理应用：（1）功例）功例15；（；（2）水压力）水压力例例67（3）引力例引力例89 考研题考研题4

15、,8 定积分的微元法定积分的微元法 定积分的应用定积分的应用 定积分是求某种总量的数学模型，它在定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大面都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力魅力. 也正是这些广泛的应用，推动着也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善积分学的不断发展和完善. 因此，在学习因此，在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和会用定积分解决实际问题的

16、基本思想和方法方法微元法，不断积累和提高数学微元法，不断积累和提高数学的应用能力的应用能力.Ux,ba,ba,dxxxUUdxxfdU)( 内容要点内容要点在应用学科中广泛采用的将所求量在应用学科中广泛采用的将所求量（总量总量）表示为定积分的方法）表示为定积分的方法微元法微元法，这个方法的主要步骤如下：这个方法的主要步骤如下： 一、一、由分割写出微元由分割写出微元 根据具体问题，选根据具体问题，选取一个积分变量，例如取一个积分变量，例如 为积分变量，并确为积分变量，并确定它的变化区间定它的变化区间，任取任取的一个区间的一个区间，求出相应于这个区间微元上部分量，求出相应于这个区间微元上部分量的近

17、似值，即求出所求总量的近似值，即求出所求总量的区间的区间微元，微元，；，并将其表示为，并将其表示为： 微元微元dxxfdU)(UbabadxxfdUU)(二、二、由微元写出积分由微元写出积分 根据根据写出表示总量写出表示总量的定积分的定积分应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：U,ba,baUUU1） 所求总量所求总量关于区间关于区间应具有可加性，即如果把区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间分成许多部分区间, 则则分成许多部分量分成许多部分量, 而而等于所有部分量等于所有部分量之和之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的这一要求是由定积

18、分概念本身所决定的;相应地相应地Udxxf)(UdUdxxf)(dxxfU)(dxdxxfdU)(（2）使用微元法的关键是正确给出部分量）使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式的近似表达式，即使得，即使得. 在通常情况下，要检验在通常情况下，要检验是否为是否为的高阶无穷小并非易事，因此，的高阶无穷小并非易事，因此，的合理性的合理性.在实际应用要注意在实际应用要注意积分的意义积分的意义1.定积分定积分 可看作一个可看作一个“高级高级”的的加加法法即求和与取极限；即将即求和与取极限；即将“微元微元”在区间在区间a,b上进行上进行“累积累积”这就是这就是“元元素法素法”的思想，因此在用元素法计

19、算定的思想，因此在用元素法计算定积分时关键在于找准积分时关键在于找准“元素元素”及及“累积累积”的区间的区间a,b( )baf x dx( )f x dx2.这种加法是建立在这种加法是建立在“平行平行”意义意义上的，如果是非平行意义，例如非上的，如果是非平行意义，例如非平行力，则要进行平行力，则要进行“平行化平行化”处理。处理。3.要注意定积分的应用是有范围的：要注意定积分的应用是有范围的：其总量必须与某直线段（区间）有其总量必须与某直线段（区间）有关，否则便不能用定积分处理。关，否则便不能用定积分处理。dxxfdV2)(.)(2badxxfV2 ( )dVydy 2 ( ).dcVydy一、

20、一、旋转体的体积旋转体的体积 1.绕绕x轴旋转轴旋转体积微元体积微元, 旋转体的体积旋转体的体积 2.绕绕y轴旋转轴旋转旋转体的体积旋转体的体积 （2） （1）,)(dxxAdV .)(badxxAV 二、二、平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积体积微元体积微元 所求立体的体积所求立体的体积 2( )xf x dx2( )byaVxf x dx注：绕注：绕y轴旋转还可用所谓的轴旋转还可用所谓的“柱壳法柱壳法”：设由函数设由函数y=f(x)，【x，x+dx】 直线：直线：x=a，x=b，x轴围成的曲边梯形绕轴围成的曲边梯形绕y轴旋转：取区间轴旋转：取区间微元：【微元：【x

21、，x+dx】其对应的以】其对应的以dx为底，为底，f(x)为高的矩形绕为高的矩形绕y周旋转的体积微元为周旋转的体积微元为dv=，故绕，故绕y轴旋转的体积为：轴旋转的体积为： （3）sin, (0)yxx12VV2002( )2sin2yVxf x dxxxdx例例1.求求x周所围曲边梯形绕周所围曲边梯形绕y轴轴1的旋转体体积的旋转体体积解解1.如应用公式（如应用公式（2）则化成两个曲边梯形）则化成两个曲边梯形绕绕y轴旋转体积之差轴旋转体积之差（运算麻烦）（运算麻烦）2.应用公式（应用公式（3）(sin ),(1cos )xa ttyat02t 202333022(sin )(1 cos ) (

22、sin )6ayVxydxa ttt d tta例例2.计算摆线计算摆线相应于相应于的图形绕的图形绕x，y轴旋转所得旋转体体积。轴旋转所得旋转体体积。解：方法解：方法1.绕绕y轴旋转：轴旋转： 的一拱，直线的一拱，直线y=0所围成所围成（运算麻烦）（运算麻烦）方法方法2.应用公式（应用公式（3）得：）得：2222332100( )( )6aayVxy dyxy dya 物理应用物理应用例例1 设设40牛的力使弹簧从自然长度牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长厘米拉长成成15厘米厘米, 问需要作多大的功才能克服弹性恢问需要作多大的功才能克服弹性恢复力复力, 将伸长的弹簧从将伸长的弹簧从15厘米处再

23、拉长厘米处再拉长3厘米厘米?SSab例例2 在底面积为在底面积为的圆柱形容器中盛有一的圆柱形容器中盛有一)从点从点处推移到处推移到处处. 计算在移动过程中计算在移动过程中, 气体气体在等温条件下在等温条件下, 由于气体的膨胀由于气体的膨胀定量的气体定量的气体. , 把容器中的一个活塞把容器中的一个活塞(面积为面积为压力所作的功压力所作的功.功功例例3 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为5米米, 底半径为底半径为3米米, 池内盛满了水池内盛满了水. 问要把池内的水全部吸出问要把池内的水全部吸出, 需需作多少功作多少功?例例4 设有一直径为设有一直径为20m的半球形水池的半球形水池, 池内池内贮满水贮满水, 若要把水抽尽若要把水抽尽, 问至少作多少功问至少作多少功.R例例5 一个横放着的圆柱形水桶一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶内盛有半桶水桶水, 设桶的底半径为设桶的底半径为, 水的比重为水的比重为, 计算桶的一端面上所受的压力计算桶的一端面上所受的压力.水压力水压力aa2例例6 将直角边各为将直角边各为及及垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长垂直地浸入水