第3章时域分析法

1、 本章的主要内容本章的主要内容 3.1 3.1 典型控制过程及性能指标典型控制过程及性能指标 3.2 3.2 一阶系统分析一阶系统分析 3.33.3二阶系统分析二阶系统分析 3.4 3.4 稳定性与代数判据稳定性与代数判据 3.53.5稳态误差分析及误差系数稳态误差分析及误差系数 3.1.1 3.1.1 典型输入信号及输出波形典型输入信号及输出波形 3.1.2 3.1.2 控制系统的性能指标控制系统的性能指标什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。3

2、.1.1 3.1.1 典型输入信号及输出波形典型输入信号及输出波形z1）阶跃函数（信号）阶跃函数（信号）000tr(t)Rt单位阶跃函数及拉氏变换单位阶跃函数及拉氏变换ssRttr1)()( 1)(单位阶跃函数波形图单位阶跃函数波形图tAr(t)z（2）斜坡函数（信号）斜坡函数（信号）单位斜坡函数及拉氏变换单位斜坡函数及拉氏变换单位阶跃函数波形图单位阶跃函数波形图000tr(t)Rtt21)()( 1)(ssRtttrtr(t )z3）抛物线信号（加速度信号）抛物线信号（加速度信号）单位抛物线信号及拉氏变换单位抛物线信号及拉氏变换单位阶跃函数波形图单位阶跃函数波形图2( )20Rtr t00t

3、t321)()( 121)(ssRtttrtr(t)z4）脉冲函数（信号）脉冲函数（信号）单位脉冲函数及拉氏变换单位脉冲函数及拉氏变换单位脉冲函数波形图单位脉冲函数波形图01,r(t),h0t和和t h0 t h 1h)(tht01)()()(sRttrz5）正弦函数（信号）正弦函数（信号）单位正弦函数及拉氏变换单位正弦函数及拉氏变换单位正弦函数波形图单位正弦函数波形图)sin()(tAtf22)() ( 1sin) (sAsRttAtrAwtr(t) 单位脉冲函数响应单位脉冲函数响应：1)()(sGsC 单位阶跃函数响应单位阶跃函数响应：ssGsC1)()( 单位斜坡函数响应单位斜坡函数响应

4、：21)()(ssGsC 单位抛物线函数响应：单位抛物线函数响应：31)()(ssGsC典型响应：提示：上述几种典型响应有如下关系：单位脉冲单位脉冲函数响应函数响应单位阶跃单位阶跃函数响应函数响应单位斜坡单位斜坡函数响应函数响应单位抛物线单位抛物线函数响应函数响应积分积分积分积分积分积分微分微分微分微分微分微分3.1.23.1.2控制系统的性能指标控制系统的性能指标在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态过程和稳态过程两部分组成。过程和稳态过程两部分组成。所以控制系统的性能所以控制系统的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。指标，通常由动

5、态性能和稳态性能两部分组成。 1.1.动态过程和动态性能动态过程和动态性能 动态过程动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入（过渡过程、暂态过程）：在典型输入信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。动态响应过程有三种情况动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡型：衰减型、发散型、等幅振荡型动态性能动态性能：当系统的时间响应：当系统的时间响应c(t)中的瞬态分量较大而不能忽中的瞬态分量较大而不能忽略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统的特性。略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统的特性。阶跃响应的性能指标阶跃响应的性能指标：在测定或计算系

6、统的动态性能指标时，由于阶跃函在测定或计算系统的动态性能指标时，由于阶跃函数可以表征系统受到的最严峻的工作状态，动态性数可以表征系统受到的最严峻的工作状态，动态性能指标，一般由能指标，一般由阶跃响应的性能指标来描述。阶跃响应的性能指标来描述。0trtptstymaxy)(y2)(y)(05. 0y)(02. 0y或或td（1） 延迟时间 ：dt输出响应第一次达到稳态值的输出响应第一次达到稳态值的50%所所需的时间。需的时间。（4） 最大超调量（简称超调量） ：%100)()(%maxyyy式中：式中： -输出响应的最大值；输出响应的最大值； maxy)(lim)(tyyt-稳态值；稳态值；（2

7、） 上升时间 ：rt输出响应第一次达到稳态值输出响应第一次达到稳态值y()所需的所需的时间。或指由稳态值的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态上升到稳态值的值的90%所需的时间。所需的时间。输出响应超过稳态值达到第一个峰值输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。所需要的时间。（3） 峰值时间 ：pt（5）调节时间或过渡过程时间 ：st当当 和和 之间的误差达到规定的范围之内之间的误差达到规定的范围之内比如比如 或或 ，且以后不再超出此范围的最小时间。，且以后不再超出此范围的最小时间。)(ty)(y)(%5 y)(%2 ysrpttt,在上述几种性能指标中，在上述几种性能指标中，

8、表示瞬态过程进行的快慢，是快表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而速性指标；而 反映瞬态过反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。程的振荡程度，是振荡性指标。其中其中 和和 是两种最常用的性是两种最常用的性能指标。能指标。N%,%st2.2.稳态过程和稳态性能稳态过程和稳态性能 稳态过程稳态过程是指当时间是指当时间t趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。稳态误差的信息，用稳态性能来描述。通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作

9、用下的系统稳通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下的系统稳态误差；稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动态误差；稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动性能。性能。ess=c期望- c（ ） 3.2.1 3.2.1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型 3.2.2 3.2.2 一阶系统的单位阶跃系统一阶系统的单位阶跃系统 3.2.3 3.2.3 一阶系统的单位斜坡系统一阶系统的单位斜坡系统 3.2.4 3.2.4 一阶系统的单位脉冲系统一阶系统的单位脉冲系统 3.2.5 3.2.5 三种响应之间的关系三种响应之间的关系3.2 .13.2 .1一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型以一阶微分方程作为

10、数学模型的控制系统，称为以一阶微分方程作为数学模型的控制系统，称为一阶系统。如图所示的一阶系统，其传递函数一阶系统。如图所示的一阶系统，其传递函数为为)(sC-1Ts)(sE)(sR其闭环传递函数为：其闭环传递函数为：11)()()(TssRsCs式中，式中， , ,称为时间常数。称为时间常数。kT13.2 2 3.2 2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应1111111110t /TTC(s)(s)R(s)TsssTsssTc(t )e(t) q 单位阶跃响应函数单位阶跃响应函数：ssR1)(其单位阶跃响应曲线如图其单位阶跃响应曲线如图3-4所示。输出响应从零开始按指数规所示。输出

11、响应从零开始按指数规律上升，最后趋于律上升，最后趋于1。 01T 2T 3T 4T 5T00.20.40.60.80.9510.98tC(t)C()0.632斜率=1/T可见，调整时间只与时间常数可见，调整时间只与时间常数T有关。有关。T越小，系越小，系统响应速度越快。统响应速度越快。3.2.33.2.3一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应设系统的输入信号为单位斜坡函数，即设系统的输入信号为单位斜坡函数，即 。则可求得输出的拉氏变换为则可求得输出的拉氏变换为 21( )R ss,11111)(22TsTssTsTssCtTttTetTtc)(c(t)T0Tt一阶系统单位斜坡响应曲线如图

12、一阶系统单位斜坡响应曲线如图 输出量和输入量之输出量和输入量之间的位置误差随时间的位置误差随时间而增大，最后趋间而增大，最后趋于常值于常值T，惯性越小，惯性越小，跟踪的准确度越高。跟踪的准确度越高。3.2 4 3.2 4 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于R(s)=1所以所以系统输入量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即系统输入量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即1( )1C sTs这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为 1( )t Tc teT(0)t可见，单位脉冲响应中只包

13、含瞬态分量。可见，单位脉冲响应中只包含瞬态分量。 3.2 5 3.2 5 三种响应之间的关系三种响应之间的关系从输入信号看，单位斜坡信号的导数为单位阶跃信号，从输入信号看，单位斜坡信号的导数为单位阶跃信号，而单位阶跃信号的导数为单位脉冲信号。而单位阶跃信号的导数为单位脉冲信号。 从输出信号来看，单位斜坡响应的导数为单位阶跃响应，从输出信号来看，单位斜坡响应的导数为单位阶跃响应，而单位阶跃响应的导数为单位脉冲响应。而单位阶跃响应的导数为单位脉冲响应。 线性定常系统的一个重要性质：某输入信号导数的输线性定常系统的一个重要性质：某输入信号导数的输出响应，就等于该输入信号输出响应的导数；同理，出响应，

14、就等于该输入信号输出响应的导数；同理，某输入信号积分的输出响应，就等于该输入信号输出某输入信号积分的输出响应，就等于该输入信号输出响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定。响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定。 3.3.1 3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 3.3.23.3.2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 3.3.33.3.3高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 3.3.1 3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型二阶系统二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统. .这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简

15、化为二这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。系统典型阶系统。系统典型 结构和传递函数为：结构和传递函数为：2222)()()(nnnsssRsCs 称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡角频率或自然频率。)(sn)2(2nnss)(sR)(sC-122, 1nns特征根为： ，注意：当 不同时，（极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。极点分布如图所示：特征方程为：0222nnss 当时 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。0 当时 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振

16、荡过程。10 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1)10(n21n21n0jjn0nj 0n21ss 0j) 0( ) 1( )1(3.3.2 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应当输入为单位阶跃函数时，当输入为单位阶跃函数时， ，有：，有： ssR1)(22212nnnC(s)sss分析： ，1022, 11nnjs极点为极点为：1.欠阻尼情况2222222)()(112)(dnndnnnnnssssssssC0,)1sin(1)1cos(1)(

17、222tttetcnntn2101ntdec(t)sin(t), t 21arctg (/)极点的负实部极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。其周期为为阻尼振荡圆频率。其周期为: :21nddn2221ddnT2.无阻尼情况0极点为：njs222221)()(nnnssssssC0,cos1)(tttcn 此时输出将以频率此时输出将以频率 做等幅振荡，所以，做等幅振荡，所以， 称为无阻尼振称为无阻尼振荡圆频率荡圆频率。nn3.临界阻尼情况1ns2, 1极点为：110ntnc(t)e(t)t 2222)(1121)(n

18、nnnnnsssssssC阶跃响应函数为：阶跃响应函数为：4.过阻尼情况1122, 1nns极点为：23121212( )()()nAAAC ss sssssssss其中，其中，A1、A2、A3为待定系数。据此，可求得输出响应的拉氏为待定系数。据此，可求得输出响应的拉氏反变换反变换 12123( )s ts tc tAAeAe0t （）此时，系统输出时间此时，系统输出时间t单调上升，无振荡和超调。由于输出单调上升，无振荡和超调。由于输出响应含负指数项，因而随着时间的推移，对应的分量逐渐趋响应含负指数项，因而随着时间的推移，对应的分量逐渐趋于零，输出响应最终趋于稳态值于零，输出响应最终趋于稳态值

19、1。 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2 , 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2 , 1重根ns过阻尼，1122, 1nns典型两阶系统的瞬态响应典型两阶系统的瞬态响应典型两阶系统的瞬态响应典型两阶系统的瞬态响应可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实

20、际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。102468101200.20.40.60.811.21.41.61.82ntC(t)5.欠阻尼二阶系统的性能指标) 10(0, )sin1(cos1)(2tttetcddtn(1) 上升时间上升时间 ：根据定义，当：根据定义，当 时，时， 。rtt rt1)(rtc21rdnarccost(2) 峰值时间峰值时间 ：当：当 时，时，ptptt 0)(ptc 221dpdnTt(3) 超调量超调量: %100%21e00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910102030405060708090100上式表明超调量上式表明超调量

21、%的大小的大小只决定于阻尼比只决定于阻尼比值，而与值，而与 的大小无关。工程中，有时的大小无关。工程中，有时把阻尼比和把阻尼比和 %之间的关之间的关系，按计算结果，直接整理系，按计算结果，直接整理成曲线如图所示，应用时由成曲线如图所示，应用时由直接查该图即可得直接查该图即可得%。n(4) 调节时间调节时间 ：st4200935nsn%t(. )% 误差允许范围误差允许范围(1)KKs s( )Cs( )Rs例例3-13-1有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中求该系统（）自然振荡角频率；（）系统阻尼比（）求该系统（）自然振荡角频率；（）系统阻尼比（）超

22、调量和调节时间（）如要求超调量和调节时间（）如要求 怎样改变系统怎样改变系统 值。值。4KK707. 0KK解解 该系统传递函数为该系统传递函数为 2( )( )KKKC sR sss K 2222)()()(nnnsssRsCs对照下式可得对照下式可得 （1 1）自然振荡角频率：）自然振荡角频率：（2 2）阻尼比：由）阻尼比：由 得得2,2nKnK12n25. 0（3 3）超调量：）超调量： 21%100%47%e（4 4）调节时间：）调节时间： stns63（5 5）要求）要求 即即 707. 05 . 0,21, 122nKnnK这时例例3-2 3-2 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如

23、图所示。试确定系统设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示。试确定系统的传递函数。的传递函数。( )c t4300.1t解解 首先明显看出，在单位阶跃作用首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为下响应的稳态值为3，故此系统的，故此系统的增益不是增益不是1，而是，而是3。系统模型为：。系统模型为：2223( )2nnnsss然后由响应的然后由响应的 、 及相应公式，即可换算出及相应公式，即可换算出 、 。 %ptn （s）( )( )4 3%33%( )3pc tcc 1 . 0pt2/ 1%33%e由公式得由公式得1 . 012npt换算求解得：换算求解得：33. 02 .33n 3.2 33.2 3高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析高阶系统的传递函数为：nmasasabsbsbsnnnnmmmm,.)(011011写成零极点形式：nmnnnsspszsksnjnlnlnlljmiig,2,)2()()()(211122112rqnssssszsKsCqjrkkkkjmii2