概率论与数理统计第四章(A)

1、第一节 数学期望第二节 方差第三节 协方差与相关系数第一节 数学期望68246108928471X43214103928172X20610208920282047引例引例 甲、乙两射手的成绩如下甲、乙两射手的成绩如下, ,如何进行评价如何进行评价? ?甲甲(X(X1 1) )环数环数 7 8 9 10 7 8 9 10 乙乙(X(X2 2) )环数环数 7 8 9 107 8 9 10射中次数射中次数 4 2 8 6 4 2 8 6 射中次数射中次数 1 2 3 41 2 3 4一一 数学期望的概念数学期望的概念)(8 . 83 . 0104 . 091 . 082 . 07环10410103

2、910281017)(94 . 0103 . 092 . 081 . 07环 定义定义(P95) (P95) 设离散型随机变量设离散型随机变量X X的概率分布为的概率分布为1()kkkE Xx p(1, 2, ,)kkP Xxpkn数学期望数学期望描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征如果无穷级数如果无穷级数 绝对收敛绝对收敛, ,则称无穷级数则称无穷级数 的和为离散型随机变量的和为离散型随机变量X X的数学期望或均值的数学期望或均值, ,记作记作E(X),E(X),即即1kkkx p1kkkx p(P96)(P96)设连续型随机变量设连续型随机变量X X的密度函数为的密度函数为

3、f(x),f(x),如果广义积分如果广义积分 绝对收敛绝对收敛, ,则称广义积分则称广义积分 的值的值为连续型随机变量为连续型随机变量X X的数学期望或均值的数学期望或均值, ,记作记作E(X),E(X),即即dxxxfXE)()( )xf x dx连续型随机变量连续型随机变量X X的数学期望是离散型的推广。的数学期望是离散型的推广。( )xf x dx例1 设随机变量X的概率密度为othersxxxxxf, 010,101,1)(求数学期望E(X) dxxxfXE)()(解：110011)()()()(dxxxfdxxxfdxxxfdxxxf1100110)1 ()1 (0dxxdxxxdx

4、xxdxx031213121103102013012xxxx10)(xf0 xxf1)(1xxf1)(0)(xf到积分范围从x例2 假设有10只同种电器元件,其中有两只废品,装配仪器时,从这批元件中任取一件,如果是废品,则扔掉重新再取一件,如果还是废品,则继续再取一件.求在取到正品之前,已取出的次品数X的数学期望.)(121AAPXP)(2321AAAPXP4511818191111012CCCCCC,0,1, 2 ;(1,2 ,3).kXAkk 解设取到正品之前已取出的次品数取值为第 次取得的是正品)(01APXP31)(iiixXPxXE故458191811012CCCC8 . 0/110

5、18CC)/()(121AAPAP)/()/()(123121AAAPAAPAP.92451245818 . 00几个重要随机变量的数学期望几个重要随机变量的数学期望1.1. 01 分布的数学期望分布的数学期望ppxXPXi1102. 2. 二项分布二项分布B(n, p)B(n, p)nkkkxXPxXE1)(1)0,1,.kkn knP XkC ppkn)(2211xXPxxXPxXEnkknkknppCk1)1 (nkknkppknknk1)1 (!)( !ppp1)1 (0knknkppknkn)1 ()!()!1(!1) 1(111)1 ()!()!1()!1(knknkppknknn

6、pnpppnpn1)1 (tntntpptntnnpkt)1(10)1 (! )1(!)1(1令tntnttnppCnp1101)1 (., 2, 1, 0,!kekkXPXk泊松分布的概率分布为0)(kiixXPxXE3. 3. 泊松分布泊松分布0!kkekk11)!1(kkke.ee01!tttkte令entntt!2!11!2104. 4. 均匀分布均匀分布U(a, b)U(a, b), 0,1)(其他的密度函数为随机变量bxaabxfXdxxfxXE)()(abbadxxfxdxxfxdxxfx)()()(bbaadxxdxabxdxx010badxabx12ba212()baxbax

7、a0)(xf到积分范围从b)/(1)(abxf0)(xf()/ 2()ab正好为区间的中点 平均值0( )00 xexXf xx随机变量 的密度函数为dxxxfXE)()(00 xxxeedx 5. 5. 指数分布指数分布dxxxfdxxxf00)()(000 xxdxx edx0()xxd e0110 xe二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布记记 号号数学期望数学期望常见分布的数学期望常见分布的数学期望E(X)E(X)npXE)(),(pnBX)(PX)(XE,baUX2)(baXE)(eX1()E X6 6 一般正态分布一般正态分布 N( N( , , 2 2)

8、 )xexfXx,21)(222)(dxexdxxxfXEx222)(2)()(dtetxtt222标准正态分标准正态分布布 N( N(0 0, , 1 1) )xexfXx,21)(22)(02)()(22奇函数dxexdxxxfXEx二 随机变量函数的数学期望定理(P97) 设随机变量Y是随机变量X的函数:Y=g(X),其中g是一元连续函数.(1)若X是离散型随机变量,其概率分布为(1, 2, ,)kkP Xxpkn如果无穷级数 绝对收敛,则随机变量Y的数学期望为1kkkx p1()()()kkkE YE g Xg xp(2)若X是连续型随机变量,其概率密度函数为f(x),如果广义积分 绝

9、对收敛,则随机变量Y的数学期望为( ) ( )g x f x dx()( ) ( )E Xg x f x dx根据这一定理求随机变量Y=g(X)的数学期望时,只需要知道X的分布,无需求Y的分布,这给求解题目提供了极大的方便.例3 设随机变量X的分布律为解解求随机变量Y=X2的数学期望X XP Pk k-1 0 1313131222221112( )()( 1)013333iiiE YE Xx P Xx 例4 设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布,求随机变量函数Y=X2的数学期望.2221212)()()(dxxfxdxxfxdxxfx.,0;21,3/1)(othersxxfXX的密度函数

10、为由题设知随机变量)()(2XEYE于是dxxfx)(222212120310dxxdxxdxx. 1) 18(9191213xx到从积分范围x10)(xfX23/ 1)(xfX0)(xfX解:例5 设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),其密度函数为求随机变量的数学期望.)0( abXaY221( )e();2xXfxx .21)()()()(22bdxebaxdxxfbaxYExX定理(P100) 设Z是随机变量X和Y的函数:Z=g(X,Y),其中g是二元连续函数.如果(X,Y)是二维离散型随机变量,其概率分布为, 2 , 1,jipyYxXPijji则随机变量Z=g(X,Y)的数学期望

11、为11( ) (, )( ,),1,2,ijijijE ZE g X Yg x ypi j这里要求上式右边的无穷级数绝对收敛.如果(X,Y)是二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y),则随机变量Z=g(X,Y)的数学期望为 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(这里要求上式的广义积分绝对收敛.例6 设随机变量(X,Y)的分布律如下，95. 025. 0) 21 (45. 0) 11 (15. 0) 20(15. 0) 10()(),()(ijijjiijijjipyxpyxgXYE解X. )(,)(:YXEXYE求Y2115. 015. 025. 045. 0101 . 2

12、25. 0) 21 (45. 0) 11 (15. 0) 20(15. 0) 10()(),()(ijijjiijijjipyxpyxgYXE例7 设随机向量(X,Y)的联合密度函数为)() 3( ; )()2( ;)() 1 ( :.,0,)(1),(22YXEXYEYXEothersdycbxacdabyxf求解(2)()() ( , )1()()()()()4dbcaE XYxy f x y dxdyab cdxydxdyba dc 2222222222221(3)()() ( , )()()()()()()()1()3bdacbdbdacacE XYxyf x y dxdyxydxdy

13、ba dcxydxdydxdyba dcba dcbabadcdc 2),()(),()()() 1 (dcbadxdyyxfyxdxdyyxfyxYXEdcba 1. E(C)=C, C1. E(C)=C, C为常数为常数; ;三 数学期望的性质证明证明: :()( )( )()E CXCxf x dxCxf x dxCE X则( ),Xf x设连续型随机变量的密度函数为3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)11,()()nnkkkkkkEC XCE X一般地 有4. 4. 若若X X与与Y Y独立独立, ,则则E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E

14、(X)E(Y) 这一性质要求随机变量这一性质要求随机变量X X与与Y Y独立的条件过强了独立的条件过强了, ,其实只其实只要要X X与与Y Y不相关即可得到上述结论不相关即可得到上述结论. .2. E(CX)=CE(X), C2. E(CX)=CE(X), C为常数为常数; ;例例8 8 设随机变量设随机变量X Xe e(1/2),(1/2),Y Y U(0,1),U(0,1),Z Z B(5,0.2),B(5,0.2),且且X,Y,ZX,Y,Z独独立立, ,求随机变量求随机变量U=U=（2X+3Y)(4Z-1)2X+3Y)(4Z-1)的数学期望的数学期望. .例例9 9 设有随机变量设有随机

15、变量.,.,1nXXiiXE)(且求随机变量求随机变量niiXnX11的数学期望的数学期望. .()1/2 ,( )()/21/2( )5 0.21E XE YabE Znp解 依题设条件得)14)(32()(ZYXEUE故)31228(YYZXXZE)3()12()2()8(YEYZEXEZXE)(3)()(12)(2)()(8YEZEYEXEZEXE2/27)2/1 (31)2/1 (122212811()()niiE XEXn解11()niiEXn11()niiE Xn11niin例10 一商店经销某种商品,每周的进货量X与顾客对该商品的需求量Y是相互独立的,且都服从区间10,20上的均

16、匀分布.商店每销售一单位该商品可获利1000元;若供不应求,商店可从外部调剂供应,此时每销售一单位商品商店可获利500元,试计算商店经销该种商品每周所获利润的期望值.解 设 Z表示商店所获利润,则Z与需求量Y和进货量X有关,因需求量Y和进货量X都是随机变化的量,故利润Z是关于X与Y的二维随机变量的函数.1000,();(, )500(),().YYXZg X YXYYX供过于求供不应求.,0;20,10,100/1),(),(othersyxyxfYX的联合密度函数202020101010( ) (, )( , ) ( , )111000500()14166.67().100100yyE ZE

17、 g X Yg x y f x y dxdydyydxdyxy dx于是元例11 对于两个随机变量X和Y,设E(X2)和E(Y2)都存在,证明E(XY)2E(X2)E(Y2)这一等式称为柯西-许瓦兹不等式.证明 对于任意实数 t ,令 g (t)=E(X+tY)2,则由数学期望的性质有E(X+tY)2= E(X2 +2tXY+Y2t2 ) =E(X2)+2tE(XY)+E(Y2)t2因此 g(t)= E(X2)+2tE(XY)+E(Y2)t2由于g(t) 0,可知关于 t 的二次三项式g(t)的判别式小于或等于零,即 =4E(XY)2 4E(X2)E(Y2) 0从而 E(XY)2E(X2)E(

18、Y2)()D X定义定义(P104) (P104) 设设 X X 是一个随机变量是一个随机变量, ,如果如果EX-E(X)2存在存在, 则称之为随机变量则称之为随机变量 X X 的方差的方差, ,记作记作D(X),D(X),即即D(X)=EX-E(X)D(X)=EX-E(X)2 2 212(),()()( ),kkkxE XP XxD XxE Xf x dx离散型情形连续型情形)()(XDX 称称为随机变量为随机变量 X X 的标准差或均方差的标准差或均方差, ,记作记作(X),(X),即即可见可见方差是衡量随机变量取值方差是衡量随机变量取值波动程度波动程度的一个数字特征的一个数字特征.或者说

19、或者说, ,方方差反映了随机变量取值的偏离中间的程度差反映了随机变量取值的偏离中间的程度( (所有取值偏离平均值所有取值偏离平均值的差平方的差平方).).常用的方差公式为常用的方差公式为:D(X)=E(X:D(X)=E(X2 2)-E(X)-E(X)2 2()()XD X例例1 1 设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为10,101,1)(xxxxxf00)1 ()1 (0)()()()()()() 1 (110011110011dxxdxxxdxxxdxxdxxxfdxxxfdxxxfdxxxfdxxxfXE解：6/1)1 ()1 ()()(10201222dxxxdxxxdxx

20、fxXE6/ 106/ 1)()()(22XEXEXD. )()2;)() 12XDXD求求2242)()()()2(XEXEXD15/ 1)1 ()1 ()()(10401444dxxxdxxxdxxfxXE180/7)6/1 (15/1)()()(22242XEXEXD例例2 2 设随机变量设随机变量X X的分布律如下的分布律如下, ,kxXPX)(XD求212/1014/112/16/16/13/1()( 1) (1/3)0 (1/6)(1/2) (1/6) 1 (1/12)2 (1/4)1/3kkkE Xx P Xx 解24/25)4/ 1 (2)12/ 1 (1)6/ 1 ()2/

21、1 ()6/ 1 (0) 3/ 1 () 1()(2222222kkkxXPxXE7267912425)()()(22XEXEXD故1. 1. 二项分布二项分布B(n, p)B(n, p)：nkppCkXPknkkn,.,1 , 0)1 (,)(npXEnkknkppknknkXE122)1 (! )( !)(几个重要分布的方差几个重要分布的方差nkknkppknkkn1)1 ()!()!1(!nppnn2) 1()1 () 1()(222pnppnnppnnXD2. 2. 泊松分布泊松分布P( ( ) )：,0,1, 2,.!kXXkekk0122)!1(!)(kkkkkekekkXE)(X

22、E由于由于1)!1()(kkkeXE两边对两边对 求导得求导得ekkkk)1 ()!1(11或或ekkk1)!1(或或)1 ()!1(1kkkek)(XD3. 3. 均匀分布均匀分布U(a, b):U(a, b):.12)()(2abXD21()D X4.4.指数分布指数分布: :例例3 3 已知随机变量已知随机变量X X1 1,X,X2 2,X,Xn n相互独立相互独立, ,且每个且每个X Xi i的的期望都是期望都是0,0,方差都是方差都是1,1,令令Y= XY= X1 1+X+X2 2+X+Xn n, ,求求E(YE(Y2 2) )00)()()(111niniiniiXEXEYE证nX

23、DXDYDniniinii1111)()()(nnYEYDYEYEYEYD0)()()()()()(2222由5 5 一般正态分布一般正态分布N(N( , , 2) )22)()()(dxxfxXDxexfXx,21)(222)(121)()()()(22222dxexdxxfXExXEXEXDx标准正态分布标准正态分布 N(N(0 0, , 1 1) )xexfXx,21)(22二二 方差的性质方差的性质证明证明: :222()() ()D aXE a XE aX222()()a E XaE X222 () ( ) a E XE X2()a D X(1)( )0,( )0,1,()D CD

24、CCP XCCE X反之 若则存在常数 使且2(2)()(),.D aXa D Xa其中 常数(3) D(X+C)=D(X)证明: D(X+C)=E(X+C)-E(X+C)2 =EX+C-E(X)-C2 =EX-E(X)2 =D(X)(4) (4) 若若 X,Y X,Y 独立独立, ,则则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y); 若若 X,Y X,Y 独立独立, ,则则 D(X-Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y);证明证明: :22()() ()D XYEXYE XY22222222()( )()2()( )()()2()( )( ) E

25、XXYYE XE YE XE X E YE YE XE XE YE Y()()2()2()()D XD YE XYE X E Y()()( )XYE XYE X E Y与 独立()()( )D XYD XD Y21211,.,()()nnniiiiiiXXXDC XC D X若相互独立 则以上两式要求以上两式要求X X与与Y Y相互独立的条件过强相互独立的条件过强, ,后续内容将后续内容将要学习到要学习到, ,只要只要X X与与Y Y不相关即可不相关即可. .随机变量的标准化 设随机变量X具有数学期望E(X)=及方差D(X)=20,则称*XX为X的标准化随机变量.例如,若 XN(,2),则*(

26、0,1)XXNCOV(X,Y)=EXCOV(X,Y)=EX E(X)YE(X)Y E(Y)E(Y)易得易得 COV(X,Y)=E(XY)COV(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)E(X)E(Y)2.2.协方差性质协方差性质(1) COV(X,Y)=COV(Y,X); (1) COV(X,Y)=COV(Y,X); (6) E(XY)=E(X)E(Y) (6) E(XY)=E(X)E(Y) 的充要条件是的充要条件是COV(X,Y)=0; COV(X,Y)=0; (2) COV(aX,bY)=abCOV(X,Y), (2) COV(aX,bY)=abCOV(X,Y), 其中其中a, ba, b为常

27、数为常数; ;(3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z); (3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z); (5) D(X(5) D(XY)=D(X)+D(Y) Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y). 2COV(X, Y).(7) D(X(7) D(XY)=D(X)+D(Y);Y)=D(X)+D(Y);的充要条件是的充要条件是 COV(X,Y)=0COV(X,Y)=0(4) COV(X,X)=D(X); (4) COV(X,X)=D(X); COV(X,c)=0COV(X,c)=0例1 设随机变量XB(12,0.5),Y N(0,1), CO

28、V(X,Y)=-1,V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y,求: D(V)、 D(W)、 COV(V,W) .35 . 05 . 012)(, 65 . 012)(,) 5 . 0,12(npqXDnpXEBX得由解)134()(YXDVD)42()(YXDWD2(0,1), ( )0,( )1YNE YD Y由得)34(YXD)3 ,4(2)3()4(YXCovYDXD),(24)(9)(16YXCovYDXD.33)1(241931644),(16)(16)(4YXCoVYDXD( ,)(431, 24 )COV V WCOVXYXY(43 , 24 )(1, 24 )COVXYXYCOVX

29、Y(43 , 24 )0COVXYXY(4, 2)(4,4 )(3 , 2)(3 ,4 )COVXXCOVXYCOVYXCOVYY8(,) 16(, )6( ,) 12( , )COV X XCOV X YCOV Y XCOV Y Y )(12),(10)(8YDYXCoVXD22112) 1(1038(P110)定义定义 若随机变量若随机变量X X，Y Y的方差都存在且不等于的方差都存在且不等于零零, ,协方差协方差Cov(X,Y)Cov(X,Y)存在存在, , 则称则称DYDXYXXY),cov(称为称为 X X与与 Y Y的相关系数的相关系数. .当当XYXY=0=0时时, ,称称X X

30、和和Y Y不相关不相关. . 注：若记注：若记DXXEXX)(*称为称为X X的标准化的标准化,易知E(X*)=0，D(X*)=1.且*cov(,)().X YX YE X Y如果 ，我们称X和Y正相关，此时随着X的增大，Y也有增大的趋势；如果 ，则称X和Y负相关，此时随着X的增大，Y有减小的趋势。0XY0XY2(, ):01,.XYX YDxyx例设随机向量在区域内服从均匀分布 求;0),()(dyyxfxfXxdydyyxfxfxxxX21),()(,10时当xyxy 1.,0;,10, 1),(),(othersxyxyxfYX的联合密度函数为由题设知解0),(,1,0, )() 1yx

31、fxxXE时或当先求3/22)()(10dxxxdxxxfXEX0),(,1, 1, )()2yxfyyYE时或当再求dyyyfYEY)()(dxdyyxxyfXYE),()()32(, )()() ( )0003COV X YE XYE X E Y于是;0),()(dxyxfyfYdxyxfyfyY),()(,01时当dxyxfyfyY),()(,10时当111ydxy 111ydxy 0)1 ()1 (1001dyyydyyy0110dyxydxxx.不相关与随机变量故YX.),()(),(不独立与因此但由于YXyfxfyxfYX0XY于是相关系数的性质相关系数的性质 例例3 3 设设(X

32、,Y)(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0yxD:0 x1,0yx上的均匀分布上的均匀分布, ,求求X X与与Y Y的相关系数的相关系数D D1 1x=yx=yothersDyxyxf0),(2),(解解(1) |(1) | XYXY| | 1 1；(2) |(2) | XYXY|=|=1 1存在存在常数常数a, b a, b 使使PY= aX+b=1PY= aX+b=1；(3) X(3) X与与Y Y不相关不相关 XYXY=0;=0;322)(100 xdyxdxXE312)(101ydxydyYE181)32(2)(21002xdydxxXD181)31(2)(21012ydydxyYD361)()()(),(YEXEXYEYXCOV21)()(),(YDXDYXCOVXY412)(100 xxydydxXYE224 1)(0,1),2( 1,1),XYXYXUYXXUYX例求）求解解1)1)454)(,121)(,41)(,31)(,21)(YDXDXYEYEXE968. 0454121/121XY2)2)0)(, 0)(XYEXE0XY5()1, ( )0