直角三角形三边的关系

1、 2002年在北年在北京召开的国际数学京召开的国际数学家大会（家大会（）。在那个）。在那个大会上，到处可以大会上，到处可以看到一个简洁优美看到一个简洁优美的图案在流动，那的图案在流动，那个远看像旋转的纸个远看像旋转的纸风车的图案就是大风车的图案就是大会的会标会的会标 那是采用了那是采用了1700多年前中国古代数学多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图家赵爽用来证明勾股定理的弦图abc1. 直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系三角尺三角尺直角边直角边a直角边直角边b斜边斜边c关系关系12三角尺直角边三角尺直角边a、直角边、直角边b、斜边、斜边c关系关系 测量你的两块直角三角尺测量你的

2、两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长的三边的长度，并将各边的长度填入下表：度填入下表：请猜想三边的长度请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系之间的关系 。 P 、 Q 、 R 的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？等腰直角三角形中等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方 那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?ABCPQRP+Q=RAC2+BC2=AB2正方形正方形P的面积的面积 平方厘米；平方厘米；正方形正方形Q的

3、面积的面积 平方厘米；平方厘米；正方形正方形R的面积的面积 平方厘米平方厘米正方形正方形P、 Q、 R的面积之间的关系的面积之间的关系是是 直角三角形的三边的长度之间直角三角形的三边的长度之间存在关系存在关系 （每一小方格表示（每一小方格表示1平方厘米）平方厘米）91625P+ Q= RAC2+BC2=AB2在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方也成立也成立！ 分分“割割”成若干个直角边成若干个直角边为整数的三角形。为整数的三角形。25144321R 在方格图中，在方格图中，用三角尺画出两条用三角尺画出两条直角边分别为直角边分别

4、为5cm、 12cm的直角三角形，的直角三角形，然后用刻度尺量出然后用刻度尺量出斜边的长，并验证斜边的长，并验证关系关系“两直角边的两直角边的平方和等于斜边的平方和等于斜边的平方平方”对这个直角对这个直角三角形是否成立三角形是否成立5122552+122= 325252= 325成立成立 对于任意的直角三角形，如果对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为它的两条直角边分别为a、 b，斜边为，斜边为c，那么一定有那么一定有a2b2c2。勾股定理勾股定理揭示了揭示了直角三直角三角形三边角形三边之间的关系之间的关系 勾股定理：勾股定理：abc直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两

5、直角边的平方和等于斜边的平方a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方. .做一做：做一做： P62540026xP的面积的面积 =_X=_X=_24322622x24225BACAB=_AC=_BC=_251520求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169X=81+1442Y=169-144Z=625-57622X=15Y=5Z=7S1S2S3S4S5S6S7已知S1=

6、1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值结论结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！3.3.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x例例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离（精确到0.01米）在Rt中，.米，米，.米，米，根据勾股定理可得根据勾股定理可得 .（米）（米）答：答： 梯子上端梯子上端A到墙的底边的垂直距离到墙

7、的底边的垂直距离 约为约为4.96米米 AC2222 . .5.142.16？解解1. 在Rt中， c， a， ACb， B90（1） 已知a6， b10， 求c；（2） 已知a24， c25， 求b3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电视机是多少英寸的?”练习练习2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?用四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成用四个完全相同的直角

8、三角形，然后将它们拼成如图所示的图形如图所示的图形大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 。又可以表示为又可以表示为 对比两种表示方法，看看能不能对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论得到勾股定理的结论(a+b)2=24abC2a2+ b2c2=(a+b)2cab224用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形所示的图形大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 。又可以表示为又可以表示为 对比两种表示方法，看看能不能得到勾股对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论定理的结论22)(abc222cbaab2142

9、2)(abcab214= 读一读读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾勾，较长的直角边称为较长的直角边称为股股，斜边称为，斜边称为弦弦.图图1-1称为称为“弦图弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经周髀算经作法时给出的作法时给出的. 弦弦股股勾勾图1-1 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票

10、。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发

11、现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周

12、髀算经周髀算经中。中。a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方. .勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) ) 如图，为了求出位于湖两岸的两点如图，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离，之间的距离，一个观测者在点一个观测者在点C设桩，使三角形恰好为直角三角设桩，使三角形恰好为直角三角形通过测量，得到形通过测量，得到AC长长160米，长米，长128米问从点米问从点A穿过湖到点穿过湖到点B有多远有多远?如图如图14.1.9，在直角三角形中，在直角三角形中，AC米，米

13、，米，米，根据勾股定理可得根据勾股定理可得 96（米）（米）答：答： 从点从点A穿过湖到点穿过湖到点B有有96米米22BCAC22128160 解解例例如图，大风将一根木制旗如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后十分危急。接警后“119”119”迅速赶到现场，并决定从迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少全区域的半径至少是多少米吗？米吗？9m24m?1. 如图，小方格都是边长为如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边的正方形，求四边形形D的面积与周长的面积与周长练习练习2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，千米，又往北走又往北走2千米，遇到障碍后又往西走千米，遇到