第一章量子力学基础知识-4

1、假设 ：态迭加原理 假设：如果y1, y2, .,yn是一个微观体系的可能状态，那么它们线性组合所得的状态y也是该体系可能存在的状态。 c1,c2, ., cn为任意常数，称为线性组合系数iiinnccccyyyyy.2211本征态物理量的平均值 如果y1, y2, .,yn是对应的本证值分别为a1, a2, .,an当体系处于y并且已经归一化，物理量A的平均值为 iiiiiiiiiaccAcdAa2*|)()(yyyy非本征态物理量的平均值 如果y不是物理量A算符的本状态，物理量A的平均值为yydAa*1.3 量子力学的简单应用一维势箱中粒子的薛定谔方程及解 举例说明如何用量子力学的原理、方

2、法和步骤来处理微观体系的运动状态及相关物理量一维势箱中粒子的薛定谔方程及解 一维势箱中粒子： 一质量为m，在一维方向上运动的粒子，受如图所示势能限制。lxlxxV0, 00,和把粒子限制在区域中运动，其中V=0在，区域中，粒子不会出现，概率为0，y为0一维势箱中粒子的薛定谔方程及解VEVVVhmx)(082222yy在，区域中，VHamilton算符：082222mVhxyyVdxdmhH82222yyyEVdxdmh22228一维势箱中粒子的薛定谔方程及解 薛定谔方程为：yyEdxdmh22228082222yyhmEdxd2228hmE设0222yydxd二阶齐次方程xcxcysincos

3、21在区域中， V0一维势箱中粒子的薛定谔方程及解0)(, 0)0(lyyxcxcysincos21品优波函数的连续性和单值条件:x=0:0010sin0cos)0(2121ccccyx=l:0sin)(2lcly0, 021ccxcysin2nl 02c一维势箱中粒子的薛定谔方程及解2222228lnhmEln,.3 , 2 , 18222nmlhnE波函数：nl xlncysin2n不能为不能为0 0，也不能为负值，也不能为负值一维势箱中粒子的薛定谔方程及解102ldxy)2sin(4121sin2xxxdxlcdxxlncl21)(sin20222波函数：12ydxlncysin2由归一

4、化条件求c2：箱外y0：一维势箱中粒子的薛定谔方程及解xlncysin2波函数：lc22,.3 , 2 , 1sin2nxlnly一维势箱中粒子的薛定谔方程及解,.3 , 2 , 1sin28222nxlnlmlhnEy综上所述，一维势箱的波函数和能级公式如下：x0, xlyx 00 xl这里得到许多y和许多E，我们用量子数n来标志它，每个n代表可能存在的一种状态，En 代表n状态下的能量。一维势箱中粒子的薛定谔方程及解xlnlmlhnEnysin28,.3 , 2 , 1222.3sin28932sin2842sin281322322221221lxlmlhEnlxlmlhEnlxlmlhE

5、nyyy求解结果讨论（1）能量量子化 相邻两能级的间隔) 12(888) 1(222222221nmlhmlhnmlhnEEEn求解结果讨论（2）零点能效应l能量最低的状态为基态（n=1）l基态能量为零点能2218mlhE 求解结果讨论（3）波函数与几率密度 粒子没有运动轨道只有几率分布，y可为正、负，也可为0，这样的点为节点，数目为n-1求解结果讨论 经典力学与量子力学模型比较经典力学量子力学速度，能量粒子任意运动，速度、动能和能量为任意非负值，能量连续能量不能任意，量子化能量最小值0h2/8ml2, 零点能，基态箱中分布箱内所有位置都一样箱中各处粒子的概率密度不均匀，现波形节点存在节点很难

6、想象y可为正、负，也可为0，节点求解结果讨论.3sin28932sin2842sin281322322221221lxlmlhEnlxlmlhEnlxlmlhEnyyyThe properties of the solutions The particle can exist in many states, y1, y2,. yn Quantization energy The existence of zero-point energy. minimum energy (h2/8ml2) There is no trajectory but only probability distribu

7、tion The presence of nodes量子效应求解结果讨论,.3 , 2 , 1sin2nxlnly波函数：0sin2sin2)()(00dxlxmllxnldxxxlmlnyyl 正交：l 归一： 之前的推导过程中已引入了归一化条件)cos()cos(21sinsinbababa一维势箱体系的各种物理量adadadAayyyyyy*l求一微观体系某状态时某物理量的平均值： If the wave function is an eigenfunction of ：一维势箱体系的各种物理量3sinsin22022ldxlxnxlxnlxl2sinsin20ldxlxnxlxnlxl

8、xx nncxyy（1）粒子在箱中的平均位置：坐标位置的算符:无本征值！求平均值一维势箱体系的各种物理量nnxcpyy（2）粒子的动量沿x方向的分量px：Y也不是动量算符的本征函数:求平均值02sinsinsinsin2sin20200lxxllxlxnlihlxndlxnlihdxlxndxdihlxnlp一维势箱体系的各种物理量yycpx2nnxlhnlxnldxdhpyy222222224sin24222224dxdhpx（3）粒子的动量平方值px2：2222222842121mlhnlhnmpmTVTEx有本征值这表明箱中粒子的px2有确定的值：n2h2/4l2The general

9、steps in the quantum mechanical treatment:a.Obtain the potential energy functions followed by deriving the Hamiltonian operator and Schrdinger equation.b. Solve the Schrdinger equation. (obtain yn and En)c.Study the characteristics of the distributions of yn.d. Deduce the values of the various physi

10、cal quantities of each corresponding state. 隧道效应Quantum tunnelling 隧道效应由微观粒子波动性所确定的量子效应。 考虑粒子运动遇到一个高于粒子能量的势垒，按照经典力学，粒子是不可能越过势垒的； 按照量子力学可以解出除了在势垒处的反射外，还有透过势垒的波函数，这表明在势垒的另一边，粒子具有一定的概率，粒子贯穿势垒。 隧道效应Quantum tunnelling隧道效应Quantum tunnellingCLASSICAL MECHANICSQUANTUM MECHANICS隧道效应Quantum tunnellingReflecti

11、on and tunnelling of an electron wavepacket directed at a potential barrier. The bright spot moving to the left is the reflected part of the wavepacket. A very dim spot can be seen moving to the right of the barrier. This is the small fraction of the wavepacket that tunnels through the classically f

12、orbidden barrier. Also notice the interference fringes between the incoming and reflected waves. 隧道效应Quantum tunnelling 隧道效应的应用-扫描隧道显微镜 STM(scanning tunneling microscopy)隧道效应Quantum tunnelling 隧道效应的应用-扫描隧道显微镜 STM(scanning tunneling microscopy)例1：丁二烯的离域效应丁二烯有4个C原子，4个电子形成， 两个定域键l一个44离域键l离域效应：粒子活动范围扩大，

13、能量降低的效应例2：花菁染料的吸收光谱 通式为： 总电子： 2m+4 基态时，这些电子占据 m+2 个分子轨道 吸收适当波长的光，可发生电子从最高占据轨道（m+2）向最低空轨道（m+3）的跃迁)52(8)2()3(8222222mmlhmmmlhE例2：花菁染料的吸收光谱 通式为：)52(82mmlhhE)52(8)2() 3(8222222mmlhmmmlhEpm5230. 3)52(822mlmhcmlcpm565248ml例2：花菁染料的吸收光谱 通式为： 计算值与实验值符合得很好：三维势箱中粒子三维势箱中粒子 三维势箱：长宽高分别为a, b, c 箱中： V(x,y,z)=0 箱外：

14、V(x,y,z)=yyEmh2228yyEzyxmh222222228设 )()()(),(zZyYxXzyxyzyxEEEEEXYZXYZzyxmh222222228三维势箱中粒子XEXxmhx22228EXYZzZXYyYXZxXYZmh222222228EzZZyYYxXXmh222222228zyxEEEzZZyYYxXXmh222222228YEYymhy22228ZEZzmhz22228三维势箱中粒子axnaxXXEXxmhxxsin2)(82222cznbynaxnabcXYZzyxysinsinsin822222228cnbnanmhEEEEzyxzyxbynbyYYEYymhy